1、第3講 點、直線、平面之間的位置關(guān)系,1 平面基本性質(zhì)即四條公理的“圖形語言”“文字語,言”“符號語言”列表,（續(xù)表）,2.空間線、面之間的位置關(guān)系 3.異面直線所成的角,(0，90,過空間任一點 O 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b. 那么直線 a與 b所成的_，叫做異面直線 a 與 b 所成的角(或夾角)，其范圍是_,銳角或直角,1在下列命題中，不是公理的是(,),A,A平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線 在此平面內(nèi) D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且 只有一條過該點

2、的公共直線 解析：選項 B，C，D 說法均不需證明，也無法證明，是公 理；選項 A 可以推導(dǎo)證明，故是定理故選 A.,2下列命題正確的是(,),C,A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直 線平行 B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則 這兩個平面平行 C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩 個平面的交線平行 D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行,3在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，既與 AB 共面也與 CC1,共面的棱的條數(shù)為(,),C,A3 條,B4 條,C5 條,D6 條,解析：如圖 D51，用列舉法知，符合要求的棱為：BC，CD， C1D

3、1，BB1，AA1.故選 C. 圖 D51,4若 A，B，Al，Bl，Pl，則(,),AP Cl ,BP DP,D,考點1,平面的基本性質(zhì),),例1：若直線 l 不平行于平面，且 l ，則( A內(nèi)的所有直線與 l 異面 B內(nèi)不存在與 l 平行的直線 C內(nèi)存在唯一的直線與 l 平行 D內(nèi)的直線與 l 都相交,解析：不妨設(shè)直線 lM，過點 M 的內(nèi)的直線與 l 不 異面，故 A 錯誤；假設(shè)存在與 l 平行的直線 m，則由 ml，得 l ，這與 lM 矛盾，故 B 正確；C 顯然錯誤；內(nèi)存在 與l 異面的直線，故 D 錯誤故選 B.,答案：B,【規(guī)律方法】直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過直線，如果直線 不在

4、平面內(nèi)，記作l ，包括直線與平面相交及直線與平面平行 兩種情形反映平面基本性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形和研 究點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個公理也是立體幾何作圖和 邏輯推理的依據(jù)公理 1 是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理 2 的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)； 公理 3 是證明三(多)點共線或三線共點的依據(jù),【互動探究】,1下列推斷中，錯誤的個數(shù)是(,),A,Al，A，Bl，Bl； A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共線， 重合； l ，AlA .,A1 個,B2 個,C3 個,D0 個,考點2,空間內(nèi)兩直線的位置關(guān)系,例2：(1)如圖 8-3-1，在正方體 ABCD

5、-A1B1C1D1 中，M，N,),分別是 BC1，CD1 的中點，則下列判斷錯誤的是( 圖 8-3-1,AMN 與 CC1 垂直 CMN 與 BD 平行,BMN 與 AC 垂直 DMN 與 A1B1 平行,解析：取 CC1 的中點 P，連接 MP，NP，則 MPBC，NP C1D1.CC1BC，CC1C1D1，CC1MP，CC1NP.CC1 平面 MNP.CC1MN.故 A 正確取 CD 中點 Q，BC 中點 R，,連接NQ，MR，QR，則NQ,1 2,D1D，MR,1 2,CC1.CC1,D1D，,NQ,MR.MNQR.QRBD，ACBD，ACMN.故B,正確MNQR，QRBD，MNBD.

6、故 C 正確故選 D. 答案：D,(2)(2016年上海)如圖 8-3-2，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中， E，F(xiàn) 分別為 BC，BB1 的中點，則下列直線中與直線 EF 相交的,是(,),圖 8-3-2,A直線 AA1 B直線 A1B1 C直線 A1D1 D直線 B1C1 解析：只有 B1C1 與 EF 在同一平面內(nèi)，是相交的，其他 A， B，C 中的直線與 EF 都是異面直線故選 D. 答案：D,【規(guī)律方法】判斷直線是否平行比較簡單直觀，可以利用 公理4；判斷直線是否異面則比較困難，掌握異面直線的兩種 判斷方法：反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條 直線平行或相交，再由假

7、設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo) 出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面；在客觀題中， 也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面 內(nèi)不過該點的直線是異面直線,【互動探究】 2如圖 8-3-3 所示的是正方體和正四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是_(填上所有,正確答案的序號),圖 8-3-3,3如圖 8-3-4，G，H，M，N 分別是正三棱柱的頂點或所 在棱的中點，則使直線 GH，MN 是異面直線的圖形有_(填 上所有正確答案的序號),圖 8-3-4,解析：圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N 三點在,三棱柱的側(cè)面上，MG與這個側(cè)面相交于G，M,平面

8、GHN，,因此直線 GH 與 MN 異面；圖中，連接 MG，GMHN，因,平面GMN，,此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H 因此GH與MN異面 答案：,考點3,異面直線所成的角,例3：在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中 (1)求 AC 與 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點，求 A1C1 與 EF 所成角 的大小 解：(1)如圖 8-3-5，連接 AB1，B1C.由 ABCD-A1B1C1D1 是正 方體，易知 A1DB1C，從而 B1C 與 AC所成的角就是AC與 A1D 所成的角 AB1ACB1C，B1CA60， 即A1D 與 AC 所成的

9、角為 60.,圖 8-3-5,圖 8-3-6,(2)如圖 8-3-6，連接 AC，BD. 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，ACBD，ACA1C1. E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點， EFBD.EFAC.EFA1C1. 即 A1C1 與 EF 所成的角為 90.,【規(guī)律方法】求異面直線所成角的基本方法就是平移，有 時候平移兩條直線，有時候只需要平移一條直線，直到得到兩 條相交直線，最后在三角形或四邊形中解決問題,【互動探究】 4在空間四邊形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA 上分別取,E，F(xiàn)，G，H 四點，若 EF 與 GH 交于點 M，則(,),AM 一定在 AC 上,A,

10、BM 一定在 BD 上 CM 可能在 AC 上也可能在 BD 上 DM 不在 AC 上，也不在 BD 上 解析：點 M 在平面 ABC 內(nèi)，又在平面 ADC 內(nèi)，故必在交 線 AC 上,考點4,三點共線、三線共點的證明,例4：如圖 8-3-7，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分 別是 AB 和 AA1 的中點求證： (1)E，C，D1，F(xiàn) 四點共面； (2)CE，D1F，DA 三線共點 圖 8-3-7,證明：(1)如圖 8-3-8，連接 EF，CD1，A1B. E，F(xiàn) 分別是 AB，AA1 的中點，EFBA1. 又 A1BD1C，EFCD1. E，C，D1，F(xiàn) 四點共面 1

11、2 四邊形 CD1FE 為梯形,CE 與 D1F 必相交,圖 8-3-8,設(shè)交點為點 P，如圖 8-3-8， 則由點 PCE，CE平面 ABCD，得點 P平面 ABCD.,(2)EFCD1，且EFCD1,同理點 P平面 ADD1A1.,又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，,點 P直線 DA.CE，D1F，DA 三線共點,【規(guī)律方法】要證明 M，N，K 三點共線，由公理 3 知，,只要證明 M，N，K 都在兩個平面的交線上即可,證明多點共線問題：可由兩點連一條直線，再驗證其他 各點均在這條直線上；可直接驗證這些點都在同一條特定的 直線上相交兩平面的唯一交線，關(guān)鍵是通過繪出圖形，作 出兩個適當(dāng)

12、的平面或輔助平面，證明這些點是這兩個平面的公 共點,【互動探究】 5在空間四邊形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA 上分別取,E，F(xiàn)，G，H 四點，若 EF 與 GH 交于點 M，則(,),A點 M 一定在 AC 上 B點 M 一定在 BD 上 C點 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D點 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上 解析：點 M 在平面 ABC 內(nèi)，又在平面 ADC 內(nèi)，故必在交,線 AC 上,A,難點突破 利用平移求異面直線所成的角,解析：如圖 8-3-9，設(shè)平面 CB1D1平面 ABCDm，平 面 CB1D1平面 ABB1A1n，因為平面 CB1D1，所以 m

13、m，nn，則 m，n 所成的角等于 m，n所成的角延 長 AD，過 D1 作 D1EB1C，連接 CE，B1D1，則 CE 為 m， 同理 B1F1 為 n，而 BDCE，B1F1A1B， 則 m，n所成的角即為 A1B，BD 所成的 角，即為 60，故 m，n 所成角的正弦值為,.故選 A.,圖 8-3-9,答案：A,(2)(2014 年大綱)已知正四面體 ABCD 中，E 是 AB 的中點，,)( 導(dǎo)學(xué)號,則 異 面 直 線 CE 與 BD 所 成 角 的 余 弦 值 為 ( 58940140),答案：B,【規(guī)律方法】求異面直線所成角的基本方法就是平移，有 時候平移兩條直線，有時候只需要平

14、移一條直線，直到得到兩 條相交直線，最后在三角形或四邊形中解決問題,1反映平面基本性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形和研究 點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個公理也是立體幾何作圖和邏 輯推理的依據(jù)公理 1 是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)； 公理 2 的 作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公 理 3 是證明三(多)點共線或三線共點的依據(jù),2正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義， 不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”掌握異面直線的兩種判斷 方法：,(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平 行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾， 從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面,(2)客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一