1、1.1計數原理（3）【學習目標】對兩類計數原理的應用加以分類.【重點難點】重 點: 掌握兩類計數原理的分類.難 點:如何對兩類分類計數題型進行計數.【學法指導】區(qū)分兩個計數原理的異同點，學會在應用加以綜合應用.【學習過程】一課前預習正確區(qū)分和理解兩個原理(1)分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區(qū)別在于：分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事(2)用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析，確定需要分類還是分步分類要

2、做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數分步要做到“步驟完整”完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數對于較為復雜的既要用分類加法計數原理，又要用分步乘法計數原理的問題，我們可以根據題意恰當合理地畫出示意圖或者列出表格，使問題的實質直觀地顯現出來，從而便于我們解題二學習過程利用模型法解決計數問題例1. 3個人要坐在一排8個空座位上，若每個人左右都有空座位，不同坐法有多少種？解3個人在一排8個空座位上坐下后，只剩下5個空座位，我們可以構造這樣的解題過程

3、，依次將3個人連同他的座位逐個地插入5個空座位形成的空座位當中如圖所示：(1)(2)(3)(4)表示沒有坐人的空位表示已經坐人的位置由于每人左右都要有空位子，因此將第一個人連同他的座位插入時，不能插在兩邊，所以有4種插法(如圖中的(1)到(2)；然后將第二個人連同他的座位插入時，只有3種插法了(如圖中的(2)到(3)；最后將第三個人連同他的座位插入時，只有2種插入的方法了(如圖中的(3)到(4)這時，我們再根據分步乘法計數原理，可以得到插入的不同的方法共有43224(種)【反思感悟】本題用“”表示沒有坐人的空位，用“”表示已經坐人的位置，畫圖分析為我們構建分步乘法計數原理的模型鋪平了道路模型法

4、就是通過構建相關圖形，利用形象直觀的圖形來構建兩個原理的模型模型法不僅可以幫助我們準確理解題意，而且還可以幫助我們有效地分析問題，從而建立兩個原理的模型，使問題順利地解決二、利用轉化法解決計數問題例2把20個不加區(qū)別的小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，要求每個盒子內的球數不小于它的編號數，則不同的放法共有_種答案120解析不妨設編號為1,2,3的三個盒子中分別放入了x1，x2，x3個小球，依題意有問題轉化為在條件下求不定方程的解的個數，可考慮用分類計數的方法當x11時，x22,3，16，這時x3隨之而定，從而共有15種放法當x12時，x22,3，15，這時x3隨之而定，從而共有14種放法當

5、x115時，只有x22，x33，僅有一種放法根據分類原理，符合要求的放法共有N151421120(種)【反思感悟】將問題轉化為不定方程的整數解組數問題，利用計數原理計數三、涂色問題例3 用5種不同的顏色(給如圖所示的5個區(qū)域涂色)，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，所有不同的涂色方法有多少種？解第1步涂A區(qū)域有5種不同的涂法，第2步涂B區(qū)域有4種不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E區(qū)域，都有3種不同涂法依據分步乘法原理，所有不同的涂色方法有54333540(種)【課堂小結】1對于有些計數問題的解決，對它們既需要進行“分類”，又需要進行“分步”，那么此時就要注意綜合運用兩

6、個原理解決問題首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”；其次，在“分類”和“分步”的過程中，均要確定明確的分類標準和分步程序2一些非常規(guī)計數問題的解決方法(1)枚舉法將各種情況一一列舉出來，它適用于計數種數較少時，分類計數時將問題分類實際也是將分類種數一一列舉出來(2)間接法若計數時分類較多，或無法直接計數時，可用間接法先求出總數，再減去不可能的種數，即正難則反(3)轉換法轉換問題的角度或轉換成其他已知的問題在實際應用中，應根據具體問題，靈活處理(4)模型法模型法就是通過構造圖形，利用形象直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法模型法是解決計數問題的重要方法【當堂檢測】1.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分一球隊打完15場，積33分若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況有()A3種B4種C5種D6種答案A解析設該隊勝x場，平y(tǒng)場，則負(15xy)場，由題意，得3xy33.y333x0，x11且xy15，因此，有以下三種情況，應有3種情況13242. 用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？解完成該件事可分步進行涂區(qū)域1，有5種顏色可選涂區(qū)域2，有4種顏色可選涂區(qū)域3和區(qū)域4可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選；若區(qū)域3的