1、應(yīng)用舉例利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：一、測量問題例1、如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個(gè)三角形可確定解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”二、遇險(xiǎn)問題例2、某艦艇測得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后

2、又測得燈塔在它的東30北若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測得S在東30北的方向上 在ABC中，可知AB=3005=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30=75這表明航線離燈塔的距離為75海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)

3、出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解三、追擊問題例3、如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=1804515=120根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile根據(jù)正弦定理，得，又=120，為銳角

4、，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值四、最值問題例4、某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積盡可能大，請問如何裁剪？分析：從實(shí)際出發(fā)，盡可能使面積最大，有兩種裁剪方法一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑上，分別計(jì)算出這兩種情況下的最大

5、值，再比較結(jié)果的出最佳方案解：方案一，如圖1，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，設(shè)AOP =，則PM = asin，扇形中心角為，PQO =，由正弦定理，得：=，即PQ =asin（），矩形的MPQR的面積為：S=PMPQ =asinsin（） =acos（）cosa（1） =a，當(dāng)=時(shí)，cos（） = 1，S取得最大值a方案二，如圖2，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上，設(shè)AOM =，MRA =，MRO =，由正弦定理，得：=，即RM = 2asin，又=，OR = 2asin（），矩形的MPQR的面積為：S= MRPQ = 4asinsin（） = 2acos（）cos2a（1） = （2）a即在此情況下，AOM =時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大由于SS