1、 小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)應(yīng)用題那為什么要改成“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”呢？這是您和張先生新的研究進(jìn)展嗎？但這樣一改，似乎包含的研究對(duì)象范圍有所增加，而且日常一線教師常說道、研究的是“算術(shù)應(yīng)用題”。的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模 對(duì)話者：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 張奠宙 教授浙江杭州上城區(qū)教育學(xué)院（新思維教育培訓(xùn)中心） 唐彩斌一引言與現(xiàn)狀。張奠宙： 今天我們來談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)。你多年從事這方面的研究能說一下你的感受嗎？唐彩斌：還是從你引進(jìn)的一道那道特殊的應(yīng)用題說起吧。題目是“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請(qǐng)問船長幾歲？”人們習(xí)慣稱它為“船長的年齡問題”。20年前，法國數(shù)學(xué)教育家用此題測試，為許多孩子得到“結(jié)果”而深思。 在我國

2、的幾所中學(xué)測試測試數(shù)據(jù)更表明“用兩個(gè)數(shù)直接加減得出結(jié)果”的居然高達(dá)90，如今，20年過去了，如果再次測試，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？近期，我們又對(duì)不同地區(qū)的922名學(xué)生進(jìn)行測試的時(shí)候，一個(gè)讓我們震驚的數(shù)據(jù)產(chǎn)生了：62。你可能會(huì)懷疑測試過程中，是否有教師的暗示？沒有，測試在無聲中進(jìn)行；測試是否集中在一個(gè)薄弱學(xué)校一個(gè)低年級(jí)，不，我們的測試數(shù)據(jù)來自不同的學(xué)校，更有不同的年級(jí)，并且客觀地說高年級(jí)學(xué)生做出結(jié)果的所占的并不少張奠宙：這本來是沒有答案的題目， 可是學(xué)生竟然做出來了。仔細(xì)一想，這怪不得學(xué)生?？梢圆孪?， 每個(gè)學(xué)生在回答時(shí)一定猶豫過， 這題好像不能做??？ 可是一想學(xué)校里的題目都是有答案的。老師布置的作業(yè)也一

3、般都是有答案的。不給答案肯定沒有分，亂寫一個(gè)答案也許有分。，就是這些“潛規(guī)則”，使得學(xué)校把學(xué)生把題做出來了越教越笨。所以學(xué)校要讓學(xué)生獨(dú)立思考，要自信。不能堅(jiān)持真理，對(duì)自己的正確想法不能堅(jiān)持， 可是人生的大問題。進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科德育，這是一個(gè)好的切入點(diǎn)。唐彩斌：應(yīng)用題教學(xué)的成效果如何？ 最近我們對(duì)浙江課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)區(qū)的3個(gè)隨機(jī)選擇不同地區(qū)的300名五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了常規(guī)的應(yīng)用題的檢測，結(jié)果如下：問 題通過率1水果店運(yùn)來蘋果和梨共650千克，蘋果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？942一張凳子售價(jià)25元，桌子的售價(jià)比一條凳子售價(jià)的4倍少1元，一張桌子售價(jià)多少元?943一個(gè)工程隊(duì)用同樣的速度

4、修兩條水泥路，第一條長256米，第二條長448米，修完第一條路用了4天。照這樣的速度，修第2條路用的時(shí)間比修第一條路用的時(shí)間多多少天？814有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年660萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)劃多產(chǎn)22萬噸，實(shí)際多少月完成？675工廠食堂有4噸大米，7天用了1120千克，照這樣計(jì)算，這些大米還可以用多少天？666電視機(jī)廠原計(jì)劃20天生產(chǎn)一批電視機(jī)，實(shí)際每天生產(chǎn)25臺(tái)，提前4天完成了任務(wù)。原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)？667600元錢去買玩具，買了24個(gè)玩具后還剩120元，照這樣計(jì)算，一共可以買多少個(gè)玩具？658某煤廠原計(jì)劃每天運(yùn)煤498噸，15天可運(yùn)完。實(shí)際運(yùn)了18天才運(yùn)完，求每天比原計(jì)劃少運(yùn)多少

5、噸煤？589甲乙兩人同時(shí)從相距168千米的公路兩端相向而行，甲騎車每小時(shí)行20千米，乙行4小時(shí)后兩人相遇，求乙每小時(shí)比甲多行多少千米？5010一條公路長2400米，AB兩支施工隊(duì)同時(shí)從公路的兩端往中間鋪柏油路，A隊(duì)的施工速度是B隊(duì)的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊(duì)每天鋪路多少米？41沒有找到若干年前的同樣試題的測試結(jié)果，自然所以沒有充足的證據(jù)來描述是否改為“比較二期課改前后？”當(dāng)前學(xué)生解決應(yīng)用題的現(xiàn)狀。蔡金法教授最近在文章中引用了一個(gè)調(diào)查結(jié)論，我國大陸新課程改革以來，學(xué)生在解決復(fù)雜問題上顯著優(yōu)于傳統(tǒng)課程的學(xué)生，但是在計(jì)算和解決簡單問題上反而不如以前。您怎么看這樣的調(diào)查結(jié)果？張奠宙： 謝

6、謝你提供了許多珍貴的第一手資料。五年級(jí)學(xué)生能夠有這樣的“通過率”， 我覺得不能說“差”。10個(gè)題目7個(gè)的通過率在65%以上，相當(dāng)不容易了。要知道，同齡人中數(shù)學(xué)天賦不同， 聰明孩子可以討厭數(shù)學(xué)， 語文差的孩子看不懂題目，煤礦， 水泥路，電視機(jī)廠， 學(xué)生都是沒有見過的， 并非日常生活實(shí)際。所以，以上數(shù)據(jù)說明大多數(shù)中國小學(xué)生會(huì)解常規(guī)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，是一個(gè)不錯(cuò)的成績。記得數(shù)學(xué)大家陳省身說：“中國數(shù)學(xué)教育在實(shí)踐上肯定比美國好”，。大致是不錯(cuò)的。 中國經(jīng)濟(jì)起飛，有賴于勞動(dòng)力的質(zhì)高與價(jià)廉。農(nóng)民工一般民眾有這樣的應(yīng)用題思考能力，是小學(xué)數(shù)學(xué)老師對(duì)國家的重大貢獻(xiàn)。 當(dāng)然，肯定成績， 不是盲目自滿，而要繼續(xù)改革，不斷

7、前進(jìn)。 例如，第十題是得分率低于50%的唯一的一個(gè)。 我們成年人一看， 這個(gè)題目很好算。 A隊(duì)與B隊(duì)的比例是2：1，那么2400米，分三段， 每段800米。 A隊(duì) 1600米，每天400米，B隊(duì) 共800米，每天200米。這是“比例”的思想，五年級(jí)學(xué)生可能沒有學(xué)過？我們可以研究一下，逐步改進(jìn)。二什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題。唐彩斌：張老師把今天談話的題目取名為小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模，是給我們一線教師“打氣”的，現(xiàn)在，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)都不太有勇氣說“應(yīng)用題”，深怕自己太“落后”，也不太有底氣說“數(shù)學(xué)建?！?，總覺得還沒有那 “功底”，今天張老師把“應(yīng)用題”亮堂堂地為大家說出來，有一種釋懷的感覺。不

8、過，在日常小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多名詞盤繞其中，錯(cuò)綜繁雜，讓老師們很是煩惱?！皢栴}”“習(xí)題”“文字題”“應(yīng)用題”“問題解決”“解決問題”“綜合應(yīng)用”“實(shí)踐活動(dòng)”“它們之間到底是一種怎樣的關(guān)系”？ 當(dāng)面對(duì)很多新課標(biāo)教材把“應(yīng)用題”改為“解決問題”，常常引人有人反問：把名字改為“解決問題”就解決問題了嗎？張老師，您從歷史的角度給我們做點(diǎn)解析有怎樣的看法？張奠宙：應(yīng)用題的出現(xiàn)淵遠(yuǎn)流長。古埃及的紙草書、中國的算數(shù)書等古代數(shù)學(xué)典籍， 都是應(yīng)用題的匯編。數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個(gè)原動(dòng)力， 一是要解決大自然和社會(huì)現(xiàn)實(shí)提出的數(shù)學(xué)問題，二是要解決數(shù)學(xué)內(nèi)部生成的數(shù)學(xué)問題。 前者的研究成果是應(yīng)用數(shù)學(xué)， 后者的研究成果成為純粹數(shù)學(xué)

9、。（插圖：哥德巴赫猜想和漢字排版系統(tǒng)），這二者相輔相成，相互滲透， 共同發(fā)展。 不過，歸根結(jié)底，社會(huì)生產(chǎn)力和文化發(fā)展的現(xiàn)實(shí)需要是數(shù)學(xué)成長的本源。 小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴(kuò)展以及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則， 屬于純粹數(shù)學(xué)范圍， 將這些規(guī)則和現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系， 并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)， 則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問題驅(qū)動(dòng)的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。 如果說，應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的， 那么數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)也是永存的。 只不過要“與時(shí)俱進(jìn)”， 不斷改革而已。20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步是應(yīng)用，“誰用的好， 誰就贏了”（姜伯駒語）。計(jì)算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之后，應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)進(jìn)展， 是對(duì)一個(gè)個(gè)

10、的具體問題建立一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)模型。 因此，用建立數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的參照基點(diǎn)。唐彩斌：看來，小學(xué)算術(shù)是否應(yīng)改為“數(shù)學(xué)”應(yīng)用題的教學(xué)本身有其價(jià)值存在，關(guān)鍵是用怎樣的高觀點(diǎn)來統(tǒng)領(lǐng)它。為了方便我們后續(xù)的研討，我們需要從數(shù)學(xué)的角度對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題”做概念的界定？，張老師您怎么來界定？張奠宙： 小學(xué)數(shù)學(xué) “算術(shù)是否應(yīng)改為“數(shù)學(xué)”應(yīng)用題”， 可以理解為：用算術(shù)方法求解的、用自然語言表達(dá)的復(fù)雜情景問題。這里有三個(gè)要素：（1）算術(shù)方法求解（包括一些簡易代數(shù)的思考）；數(shù)學(xué)應(yīng)用是一個(gè)很大的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。這里只研究用小學(xué)數(shù)學(xué)方法可以求解的數(shù)學(xué)問題。解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一

11、些簡易的代數(shù)思想。（2）用自然語言表達(dá)， 即用文字?jǐn)⑹龅膯栴}。這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要特點(diǎn)。西方有時(shí)把小學(xué)應(yīng)用題稱作“文字題（word problem）”， 即用自然語言表達(dá)的數(shù)學(xué)問題。 文字題需要將自然語言文字翻譯為“數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的算式”， 然后再用數(shù)學(xué)方法求解。 （3）具有復(fù)雜的情景。應(yīng)用題必須表達(dá)一種具體“情景”，無論是體現(xiàn)生活實(shí)際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動(dòng)的具體情境，不能是純粹的數(shù)學(xué)問題。情境往往有一些特定的常識(shí)性規(guī)律，在解題時(shí)需要加以剖析和運(yùn)用。作為一種具有較高思維價(jià)值的問題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境，應(yīng)當(dāng)具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進(jìn)新內(nèi)容時(shí)所呈現(xiàn)的簡單情景。例如，5個(gè)

12、學(xué)生每人有3本書，一共有幾本書？答案只要寫出 5 3 = 15 就是。這也是應(yīng)用性問題，卻不是我們要研究的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模唐彩斌：剛才，您特別強(qiáng)調(diào)“用建立數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的根本出路參照基點(diǎn)?！笔裁词菙?shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)？數(shù)學(xué)建模與解答應(yīng)用題是一種怎樣的關(guān)系？張奠宙：數(shù)學(xué)建模是 20世紀(jì)下半葉， 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。 目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。數(shù)學(xué)模型，一般地說， 乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來說， 本身就是一種數(shù)

13、學(xué)模型：自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的 數(shù)學(xué)模型；分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算；500人的學(xué)校里一定有兩個(gè)人一起過生日，其數(shù)學(xué)模型叫做抽屜原理；雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程等等。在這個(gè)意義上， 我們每堂數(shù)學(xué)課都在建立數(shù)學(xué)模型。不過， 應(yīng)用數(shù)學(xué)在的數(shù)學(xué)建模， 是在狹義的意義下進(jìn)行的。 也就是說， 數(shù)學(xué)建模， 專指對(duì)一個(gè)個(gè)比較復(fù)雜的具體情境， 建立一個(gè)特定的專用數(shù)學(xué)模型， 并用模型來解決非常具體問題。比如，中國人口增加模型， 甲型流感傳染模型、太湖水質(zhì)模型等等， 非常具體、專門。這樣一來， 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題就和數(shù)學(xué)建模很相似了。 二者都是對(duì)一個(gè)個(gè)具體情境

14、給出數(shù)學(xué)描述， 并解決這個(gè)特定的問題。也就是說， 數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，則是對(duì)一種比較復(fù)雜的特定情景給出一個(gè)具體的模型。例如，雞兔同籠是一個(gè)特定的問題， 我們可以給出一種解法， 它的代數(shù)模型是二元一次聯(lián)立方程。唐彩斌：你說“數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建?！?，我覺得非常重要。 以下是我的理解， 你看對(duì)不對(duì)？有專家畫了“數(shù)學(xué)建模的工作流程圖”， 好像和應(yīng)用題求解的過程很類似。我國小學(xué)數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題，一般分為以下四步：1.理解題意；2.做解題計(jì)劃；3.按計(jì)劃解答；4.回答和檢驗(yàn)。 審題 列式 解答 驗(yàn)證 張奠宙：對(duì)??！ 兩者在基本步驟上大體相同， 只不過小學(xué)應(yīng)用題內(nèi)容比較簡單而已。我做的一張表格， 也是描

15、述了二者之間的相似性。 數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例背景考察：搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征審題。 對(duì)問題設(shè)置的情景仔細(xì)揣摩體察。弄清問題的目標(biāo)。知道速度， 位移，時(shí)間的關(guān)系；適度簡化 ：如假定為勻速行駛在直線 型的道路上，等。構(gòu)作模型根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。列式將問題中用自然語言表述的情景，翻譯成數(shù)學(xué)語言，借助數(shù)學(xué)符號(hào)、圖象、邏輯等手段， 構(gòu)成可以反映問題本質(zhì)的算式。根據(jù)情景，尋找數(shù)量規(guī)律。 例如找出一些不變量，借以構(gòu)成數(shù)學(xué)等式。根據(jù)行程問題的不同情景進(jìn)行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同

16、時(shí)啟動(dòng)，分別以速度a、b相對(duì)而行，由于二者相遇時(shí)所用的時(shí)間x相同，據(jù)此列出等式ax+bx=c，或者算術(shù)地說明各量間的相等關(guān)系。根據(jù)問題內(nèi)容，如相向而行， 還是相對(duì)而行之類概念，例如 同時(shí)啟動(dòng)相對(duì)而行時(shí)，二者相 遇時(shí)所用的時(shí)間相同等。據(jù)此列出等式：ax+bc=d數(shù)月前看張先生的文章時(shí)，我曾提出過意見：表達(dá)不夠清晰，不通順。張先生接受了，并將其改為：根據(jù)行程問題的不同情景進(jìn)行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同時(shí)啟動(dòng)，分別以速度a、b相對(duì)而行，由于二者相遇時(shí)所用的時(shí)間x相同，據(jù)此列出等式ax+bx=c，或者算術(shù)地說明各量間的相等關(guān)系。模型求解：采用各種數(shù)學(xué)方法，求得滿足模型的解答。 求解：對(duì)算式進(jìn)

17、行變換和計(jì)算，求得結(jié)果。x=c/（a+b），或算術(shù)地求解。用算術(shù)方法或者代數(shù)方法， 進(jìn)行變換， 依照計(jì)算程序獲得結(jié)果， 求得解答。 如 X = (d-bc)/a相應(yīng)地，此答案改為“c/（a+b），或算術(shù)地求解?！贝鸢阜治鰴z驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾_， 解答是否符合實(shí)際。驗(yàn)證：驗(yàn)證解答是否正確， 能否符合題意。將x 代入原式進(jìn)行驗(yàn)算。模型改進(jìn)對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，反思考察解題過程中使用的 數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)本題的思考方法，對(duì)行程問題的 關(guān)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行反思，尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價(jià)值， 在于能將情景“數(shù)學(xué)化”；即將文字的表述， 轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖像的

18、表示； 將蘊(yùn)藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式；用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過檢驗(yàn)肯定“解答”的適切性。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)， 為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的 “數(shù)學(xué)建?！?，做好必要的準(zhǔn)備 。因此，可以說，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，乃是將來學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模”的基礎(chǔ)。四“問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)改革唐彩斌：剛才張老師幫助我們溝通“數(shù)學(xué)建?！迸c“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”之間的關(guān)系，盤旋在我們腦子里的類似的關(guān)系一定還不少？如“問題解決”與“應(yīng)用題”。大家都知道“問題解決”的提出源自美國，從國際數(shù)學(xué)教育比較的角度，怎么理解“問題解決”？張奠宙：1960年代的美國新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)，到1970年代歸于失敗。當(dāng)時(shí)提出的 口號(hào)叫做“回到基礎(chǔ)”。又過了10年，

19、美國數(shù)學(xué)教育界覺得僅僅強(qiáng)調(diào)“打基礎(chǔ)”是不夠的，因而在1980年提出了“問題解決”的口號(hào)，意在提倡“探究”性的思考，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力。2008年， 美國總統(tǒng)授命組成的 “全美數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì)”， 又提出“成功需要基礎(chǔ)（Foundations for Success）”的口號(hào)。這是美國式的“折騰”。 因此，“問題解決”， 是一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號(hào)，并非針對(duì)應(yīng)用題改革而提出。說起來很簡單地說，美國數(shù)學(xué)教育界提出的所謂所謂“問題解決”在張先生的文章中，我提出根據(jù)下文，此“問題解決”應(yīng)專指美國的，與中國的有差異。因此，張先生為其增加了定語“美國數(shù)學(xué)教育界提出的”，專指解決“非常規(guī)問題”。 目的

20、是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認(rèn)知水平上，要解決非常規(guī)問題，沒有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題求解模式可以模仿，需要獨(dú)立思考， 通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過程。唐彩斌：國外的“問題解決”的觀念”對(duì)我國的應(yīng)用題教學(xué)有什么借鑒與啟示呢？張奠宙：我國在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上，成績很好。例如用分?jǐn)?shù)求解一些現(xiàn)實(shí)生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運(yùn)算的一步或兩步應(yīng)用題，掌握得也很不錯(cuò)。但是，在提出問題，分析發(fā)展問題，靈活地處理應(yīng)用性問題上面，比起歐美諸國的教學(xué)，有一些弱點(diǎn)【2】。在非常規(guī)的應(yīng)用問題教學(xué)上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學(xué)。例如行程問題、工程問題等等

21、，有專門的訓(xùn)練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏。 總之，“問題解決”作為一種數(shù)學(xué)教育的全局性理念，有助于作為問題一部分的應(yīng)用題教學(xué)的改革。唐彩斌：現(xiàn)在， 我們有一種觀點(diǎn)如果用“問題解決”代替“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”教學(xué)，您覺得是否合適呢？張奠宙： 我認(rèn)為不夠妥當(dāng)。 理由有二。第一、問題解決和數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)是從屬關(guān)系。應(yīng)用題只是問題的一部分，問題解決是解應(yīng)用題的上位概念。 因此， “用問題”的共性， 取代了“應(yīng)用題”的特性，混淆了二者間的邏輯關(guān)系。例如， 我們本來是研究“男生問題”， 記過結(jié)果卻用了“研究學(xué)生”的標(biāo)題?！按竺弊印卑研栴}的特性掩蓋了。第二、問題解決是針對(duì)“回到基礎(chǔ)”提出來的口

22、號(hào)。 意思是強(qiáng)調(diào)“探究”、“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”。 可是實(shí)行了多年之后， 美國又提出“成功需要基礎(chǔ)”， 又強(qiáng)調(diào)其基礎(chǔ)來。 所以，應(yīng)用題教學(xué)， 不能只強(qiáng)調(diào)“自主創(chuàng)新”， 還要注意“打好基礎(chǔ)”。 沒有基礎(chǔ)怎么創(chuàng)新？ 五應(yīng)用題要有類型， 但是不要“類型化”。唐彩斌：倡導(dǎo)問題解決仍然需要扎實(shí)的基礎(chǔ)，要解決非常規(guī)的問題仍然需要常規(guī)問題解決的基礎(chǔ)。雖然問題解決來自國外，其實(shí)道理是相通的。好比中華武術(shù)的境界“無招勝有招”，但是要達(dá)到“無招”還是要從“基本招術(shù)”開始。如果沒有基本的招術(shù)，結(jié)果不是無招，而是沒招。下面， 我們討論一個(gè)大家關(guān)心的問題：應(yīng)用題的分類。按理來說，分類是認(rèn)識(shí)事物的第一步， 也是一種一般方法，

23、分類是很自然的事。但近來一說起應(yīng)用題的分類總有提倡機(jī)械記憶、套用公式之嫌？應(yīng)用題到底要不要分類？該怎么分類？請(qǐng)談?wù)効捶ā?張奠宙：我想應(yīng)用題要分類， 要有類型， 問題是不要“類型化”。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類。（1）按數(shù)學(xué)模型分類；四則運(yùn)算的算術(shù)模型；統(tǒng)計(jì)模型；隨機(jī)模型，一元一次方程的代數(shù)模型；等等。（2）按情景熟悉程度分類。如日常生活情景模型， 模擬現(xiàn)實(shí)情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等（3）按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類。如行程問題，工程問題，流水問題，折扣問題等等。唐彩斌：按數(shù)學(xué)模型來分，從小學(xué)數(shù)學(xué)的幾個(gè)領(lǐng)域來看，似乎還少了圖形與幾何方面的應(yīng)用題？張奠宙：小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容比較簡單，方程、函數(shù)、曲線、

24、都無法觸及， 更不談微積分。 所以根據(jù)小學(xué)數(shù)應(yīng)用題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，大多都?xì)w結(jié)為“四則運(yùn)算”模型。 小學(xué)里圖形與幾何方面的問題主要是求周長、面積和體積，其實(shí)質(zhì)還是四則運(yùn)算模型。六關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)與聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際唐彩斌：第二種分類維度是從問題情景的熟悉程度以及問題的來源。應(yīng)用題需要應(yīng)用，當(dāng)然必須與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連。但過分拘泥于生活原型，難免出現(xiàn)牽強(qiáng)附會(huì)的案例。應(yīng)用題與生活情境到底是一種怎樣的關(guān)系呢？張奠宙： 顧名思義，數(shù)學(xué)應(yīng)用題要有用，自然要聯(lián)系實(shí)際情境。能把學(xué)生自己的生活體驗(yàn)融進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，是大家的共同追求。問題在于，學(xué)生的生活情境畢竟是有限的。應(yīng)用題中能夠直接和學(xué)生的生活相聯(lián)系的只能是少數(shù)。 應(yīng)

25、用題教學(xué)中，大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問題中速度、時(shí)路程之間的關(guān)系，乃是物體運(yùn)動(dòng)的在物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實(shí)模型。比如雞兔同籠問題， 完全是一種假想的模擬情景。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實(shí)情景更真切。一個(gè)不爭的事實(shí)是，現(xiàn)在的孩子愛看動(dòng)畫片，那里出現(xiàn)的都是模擬的假想的情景?！皩O悟空”、“大灰狼”、“圣誕老人”、“白雪公主”等等都是虛擬的。數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，著名的雞兔同籠問題就是虛擬情境，比有些矯揉造作的 “現(xiàn)實(shí)情境”要高明得多。記得1930年代，任何小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問題：“一共有100個(gè)和尚和100個(gè)饅頭。大和尚一人吃三個(gè)饅頭，小和尚三個(gè)人吃一個(gè)饅頭，問各有大小和尚幾人”

26、。這是很有童趣的問題，現(xiàn)在卻不見了，很是遺憾。唐彩斌：其實(shí)，有些數(shù)學(xué)名題，即使是現(xiàn)在也能激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣。說起真實(shí)性，有一道題是最典型的，常常被文化名人所提及：記得曾有相聲演員編了這樣的段子：有一個(gè)水池，打開進(jìn)水管注滿水池要3小時(shí)，打開出水管放出整池水要2小時(shí)，現(xiàn)在同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，要多少時(shí)間才能把一池水放完？日常生活中那會(huì)同時(shí)打開出水管和進(jìn)水管（除非忘記了），真是吃飽沒事干。張老師您怎么看待這樣的諷刺？張奠宙：這樣的情境以前農(nóng)田的灌溉中偶爾能碰到，也不是很典型的。 實(shí)際上，作為一種數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中還是有的，如：飛機(jī)的能源消耗與補(bǔ)充、排隊(duì)進(jìn)場與出場、草場里草的生長與割去、人體的新

27、陳代謝、社會(huì)人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出等等，這些現(xiàn)象都是正、反兩個(gè)方面同時(shí)進(jìn)行著的，都類似于水池同時(shí)進(jìn)水與出水的情景。 這種數(shù)學(xué)模型反映了一種動(dòng)態(tài)平衡的問題。 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，能夠和學(xué)生生活情境相聯(lián)系的多半涉及 “買賣關(guān)系”。我們應(yīng)該充分利用。但也不能“除了超市，就是商店”，還應(yīng)努力開辟一些小學(xué)生喜聞樂見的現(xiàn)實(shí)情景，我們?cè)诒疚牡淖詈蟛糠纸榻B一些國內(nèi)外的有一些優(yōu)秀實(shí)例值得我們借鑒。比較閱讀后，我感覺您更側(cè)重于從一線教師希望了解的課改前后各種理念、名詞的聯(lián)系與解讀。這對(duì)我們的讀者而言是非常有吸引力的。而您為了篇幅的考慮，沒有呈現(xiàn)更多的例題；這讓我覺得頗有遺憾。張先生的文章里面的

28、例子（巨人手印、花壇設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)碼、瓷磚數(shù)、算法設(shè)計(jì)、鐘面數(shù)字問題、簡單郵路問題等）我看過，韓老師也看過，我們覺得這些例子也能為一線老師在練習(xí)設(shè)計(jì)、試卷設(shè)計(jì)方面給予啟發(fā)，不展示挺可惜的。您看是否在文中呈現(xiàn)這些例子，或者以附錄的形式在文后做簡要介紹？我們可以考慮在合刊中刊登這篇文章，以給予足夠的展示空間。唐彩斌：生活情境是表面的，數(shù)學(xué)模型才是最為根本的。你說的第三種分類：即按情境內(nèi)容分為“行程問題”、“工程問題”等等， 是否必要？ 如何對(duì)待呢？張奠宙：將問題按照情景內(nèi)容進(jìn)行分類是正?，F(xiàn)象。在微積分課程里要討論瞬時(shí)速度問題， 切線問題，曲邊梯形問題； 微分方程課程里有熱傳導(dǎo)方程， 電磁波方程； 中學(xué)

29、數(shù)學(xué)也要研究拋物問題、單擺問題、等周問題，投影問題，擲骰子問題等。 小學(xué)里常用的有類型有：行程問題 路程 = 速度時(shí)間工程問題 工作量 = 工作時(shí)間 工作效率價(jià)格問題 總價(jià)格 = 單價(jià) 數(shù)量利息問題 利息 = 本金 利率利潤問題 利潤 = 成本 利潤率折扣問題 金額 = 價(jià)格 折扣率百分?jǐn)?shù)問題 數(shù)量 = 總量 百分比其中涉及的利息、利潤、速度、效率等概念，并非數(shù)學(xué)內(nèi)容， 而是屬于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)的問題。今天，國家實(shí)行社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)模式，經(jīng)濟(jì)學(xué)的一些初級(jí)術(shù)語在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)， 語文課、社會(huì)課又不詳細(xì)研究， 責(zé)任就落在數(shù)學(xué)課身上。 讓孩子們了解這些規(guī)律，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分， 責(zé)無旁貸

30、。實(shí)際上，應(yīng)用題的分類不是我們要不要的問題， 而是客觀存在的現(xiàn)象。 將一類情景中發(fā)生的問題給以特殊的名稱。說到底， 不是我們數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)行這樣的分類， 而是客觀世界本來就有這樣的不同的情境。唐彩斌：對(duì)于這種分類，過去搞得過分， 異化了。當(dāng)學(xué)習(xí)完“梨樹有20棵，蘋果樹比梨樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”，老師強(qiáng)調(diào)：看到“多”就想到“加”，于是，當(dāng)學(xué)生看到“梨樹有20棵，比蘋果樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”學(xué)生總是先想到“加法”，結(jié)果錯(cuò)了。當(dāng)學(xué)習(xí)完“科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本”，老師強(qiáng)調(diào)：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，當(dāng)學(xué)生看到“科技書有20本，

31、比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本”時(shí)，學(xué)生總是先想到用“乘加”，結(jié)果又錯(cuò)了。張奠宙：以上的異化現(xiàn)象，都來自固化數(shù)學(xué)的某種模型。講死了，思維變得機(jī)械了。實(shí)際上，一類問題， 比如行程問題，都只是一個(gè)名詞，便于稱呼而已，并非一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。盡管題目花樣翻新，也可以出得很難，但總不過是 s = vt 這樣的數(shù)量關(guān)系的各種不同的變式。宏觀地看，沒有單獨(dú)設(shè)立一個(gè)數(shù)學(xué)課題的必要。但是，也不能走向另一個(gè)極端：不講類型。有的地方不準(zhǔn)叫“應(yīng)用題”， 今天學(xué)“鉛筆有幾枝”，明天學(xué)“燕子飛走了”，不做一些基本的分類和概括，實(shí)際上是作繭自縛，矯枉過正的表現(xiàn)?？傊愋?， 但是不要“類型化”。這就是我們們的結(jié)論結(jié)論

32、。唐彩斌：那么， 你怎樣看傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類呢？ 過去傳統(tǒng)應(yīng)用題還的分類方法是：先按步數(shù)分：一步，兩步和多步應(yīng)用題；按內(nèi)容和難易來分，可分為一般應(yīng)用題、復(fù)合應(yīng)用題和典型應(yīng)用題。典型應(yīng)用題中就有和差問題、和倍、差倍問題；追及問題、盈虧問題、相遇問題等等。這樣分類合適您怎么看嗎？張奠宙：這些分類， 都是從教學(xué)需要出發(fā)的。 由易到難， 循序前進(jìn)， 總要按部就班地排除一個(gè)次序來。 因此是教學(xué)需要的， 有必要的。 不過，這種分類不涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生并不需要知道。至于和差，和倍、差倍這樣的分類，我覺得可能太細(xì)了。臨時(shí)作為一個(gè)名詞叫叫， 未嘗不可。對(duì)于數(shù)學(xué)的困難生，為了辨別各種不同的算式，可能起一

33、定的作用。但是，它畢竟只起一個(gè)臨時(shí)“標(biāo)簽”的作用， 并不是非學(xué)不可的 “知識(shí)內(nèi)容”。分類是人類認(rèn)識(shí)事物的一般方法。分類可以越分越細(xì)，沒完沒了地分下去。但是， 只有被廣泛承認(rèn)和使用的分類才有“知識(shí)性”價(jià)值。否則則只是在小范圍使用， 不過是一種臨時(shí)使用“標(biāo)簽”而已， 不需要長期記住。打個(gè)比方， 作為地理學(xué)知識(shí)，中國，分為?。ㄉ綎|）， 省分為市（煙臺(tái)），就為止了。 至于煙臺(tái)下面分為各個(gè)區(qū)， 就不是大眾需要的知識(shí)， 是地方的標(biāo)簽， 大眾不需要長期記憶。因此， 我認(rèn)為，“和倍”、“差倍”這樣的分類， 沒有知識(shí)價(jià)值，不需要長期記憶。臨時(shí)作為一個(gè)名字稱呼一下， 當(dāng)個(gè)“標(biāo)簽”，對(duì)于有些學(xué)生可能有些幫助，但是過

34、后就忘了。七 小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)模型與代數(shù)模型唐彩斌：從數(shù)學(xué)上看， 有些分類具有較高的知識(shí)價(jià)值。比如， 算術(shù)模型和代數(shù)模型就需要加深理解，具有長遠(yuǎn)的記憶價(jià)值。那么我想， 先要問“什么是算術(shù)， 什么又是 代數(shù)呢？張奠宙：算術(shù)中的基本對(duì)象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算等。算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運(yùn)算流程。代數(shù)中的基本對(duì)象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對(duì)象：符號(hào)。代數(shù)模型是方程或函數(shù)，包含未知數(shù)符號(hào)的等式關(guān)系或其它他結(jié)構(gòu)。 什么是“代數(shù)”“？代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運(yùn)算”。 一個(gè)習(xí)慣的說法是：“代數(shù)就是用文字代表數(shù)”。其實(shí)不妥。比如，小學(xué)里講自然數(shù)的交換律，就寫了AB

35、=BA, 這里， 用A,B代表任意的自然數(shù)，可是和代數(shù)無關(guān)。代數(shù)的實(shí)質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，而且由文字代表的“未知數(shù)”和已知數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算，即進(jìn)行“式”的運(yùn)算。從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段學(xué)生從“數(shù)的運(yùn)算”過渡到“式的運(yùn)算”，好象人發(fā)明了汽車那樣，運(yùn)行速度大幅提高。代數(shù)運(yùn)算的通性通法，取得了極高的思維效率。但是，人不能每時(shí)每刻都在坐車，走路仍然是必須的、基本的。這就是說，算術(shù)方法依然有其重要的存在價(jià)值。唐彩斌：算術(shù)方法與代數(shù)方法有怎樣的區(qū)別？當(dāng)時(shí)人教版教材上有一道題被廣泛認(rèn)為是傳統(tǒng)應(yīng)用題中的難題教材上最難的應(yīng)用題，“有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年660萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)

36、劃多產(chǎn)22萬噸，實(shí)際多少月完成？”能不能以此來說明一下？張奠宙：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，用列方程的方法解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，都以四則運(yùn)算和常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析題里的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)四則運(yùn)算的意義解答，這是它們的共同之處。但用代數(shù)的方法解決問題和用算術(shù)的方法是不同的建模過程。讓我們看下面的例子：【1】算術(shù)建模，是給出一種算法：(張?zhí)煨⒗蠋煼Q之為 “計(jì)算表征”)實(shí)際每月完成數(shù)是(6606)+22，于是有答案：完成時(shí)間 = 660 (6606)+22 = 5這是通過一串已知數(shù)字的運(yùn)算組合，最后得到結(jié)果?！?】代數(shù)建模。 是給出一個(gè)算式。(張?zhí)煨⒗蠋煼Q之為 “數(shù)量關(guān)系表征”)設(shè)實(shí)際完成月數(shù)

37、是， 那么（660 ）是每月實(shí)際完成數(shù)。 110 = 每月計(jì)劃完成數(shù) = （660 ） - 22于是得到有符號(hào)的算式 代數(shù)模型：（660 ）- 22 = 110 （1）我們無法直接計(jì)算出， 但是可以進(jìn)行“式 ”的運(yùn)算：（660 ）= 110 +22 = 132 （2） （660 132）= = 5 （3）這里，(1),(2),（3）中 的值是相同的。【3】 用符號(hào)的算術(shù)模型。我們還可以這樣思考： 設(shè)實(shí)際完成月數(shù)是，那么 = 660 （實(shí)際完成數(shù)）= 660 （計(jì)劃完成數(shù)+22）= 660 （110+22） = 5這里也有符號(hào)代表數(shù)， 卻完全是算術(shù)思維， 與代數(shù)無關(guān)?！?】用代數(shù)方法啟發(fā)算術(shù)思維

38、由（3）式知 = （660 實(shí)際每月完成數(shù)）=（660 (6606)+22） = 5最后二者是統(tǒng)一的。 算術(shù)思維和代數(shù)思維思考的方向不一樣。打個(gè)比方，如果未知數(shù)在對(duì)岸，那么算術(shù)方法，好象摸著石頭過河找到未知數(shù)，代數(shù)方法好象用繩索將對(duì)岸的未知數(shù)捆好拉過河來，二者的思考方向剛好相反。但是從上面的分析來看， 代數(shù)的表征和算數(shù)算術(shù)的表征是可以相互溝通的。 至于完整的“式”的運(yùn)算， 是學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)以后的事情， 要到初中才能夠完成。 但是在小學(xué)里有所滲透，使得算術(shù)和代數(shù)的思維逐步融合起來， 這是未來努力的方向。唐彩斌：如果學(xué)會(huì)了代數(shù)方法，是不是算術(shù)的方法就沒有價(jià)值了。曾聽說一位數(shù)學(xué)家在回憶自己成長歷程的時(shí)候，

39、特別提到：他在讀小學(xué)的時(shí)候，老師就是要他們做一些“以后用代數(shù)很簡單但是用算術(shù)方法不那么容易”的那些題，對(duì)他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很有幫助。算術(shù)方法是有其獨(dú)特的作用呢？張奠宙： 在面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，我們首先使用算術(shù)方法思維。簡單的問題用算術(shù)模型就解決了。例如我們到商場購物，自然用算術(shù)方法計(jì)算付款找零。這是一切數(shù)學(xué)問題求解的基礎(chǔ)。對(duì)于比較復(fù)雜的應(yīng)用性問題，代數(shù)方法開始顯示優(yōu)勢(shì)， 但是算術(shù)方法在訓(xùn)練學(xué)生獨(dú)特思維，承擔(dān)分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我國古代數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”為例來說明?！敖裼须u兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?”這一問題的代數(shù)模型是解二元一次聯(lián)立方程。 小學(xué)生

40、不可能用這樣高年級(jí)才能掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來解題。 即使成人已經(jīng)掌握了求解聯(lián)立方程的知識(shí)和技能， 也喜歡用算術(shù)模型來求解。唐彩斌：是的。國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家對(duì)中國的古算題雞兔同籠問題情有獨(dú)鐘。波利亞列舉了雞兔同籠問題的四種解法，并特別欣賞“金雞獨(dú)立”這一解法。金雞獨(dú)立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨(dú)立單腳著地，做“金雞獨(dú)立”狀，而這時(shí)籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著地，那么這時(shí)，地上的腳比原先少了一半，只有47只，35個(gè)頭。為什么有47只腳在地上呢?一只雞對(duì)著一只腳著地，而這時(shí)一只兔卻對(duì)著兩只腳著地。每多一只腳，說明就有一只兔。原來有(4735=)12只兔，雞就有(3512)23只了

41、。張景中院士對(duì)于雞兔同籠問題的解法也很巧妙。他假設(shè)雞的兩只翅膀也變成了兩只“腳”，這樣的話，35只頭就一共有(435=)140只“腳”，可實(shí)際上只有94只腳，這說明140只“腳”中，除了真正的94只腳外，其余的(14094=)46只是假腳，即實(shí)際上籠中共有雞(462=)23只，有兔(3523=：)12只。算術(shù)方法也有其教學(xué)價(jià)值的，曾經(jīng)有人設(shè)想， 完全拋棄算術(shù)方法解應(yīng)用題，一開始就向小學(xué)生介紹方程解法。這種設(shè)想看來也是有失偏頗的。張奠宙：是的，如果這樣學(xué)習(xí)代數(shù)， 代數(shù)將成無源之水！正如雙腳走路是基礎(chǔ)， 駕駛汽車不能取代走路。 你總不能把車停在床邊，。 你總要走到車庫里去嘛！實(shí)際上，列方程時(shí)的數(shù)學(xué)

42、思維， 主要還得用算術(shù)方法過度。沒有算術(shù)的第一步， 就難有代數(shù)的第二步。如果使得算術(shù)與代數(shù)完全脫離，使得學(xué)生沒有對(duì)比，看不出算術(shù)的缺點(diǎn)和代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，體會(huì)不到代數(shù)方法的優(yōu)越性，那么代數(shù)也是很難學(xué)好的。八 小學(xué)數(shù)學(xué)里的三種基本代數(shù)模型唐彩斌：那么，從代數(shù)的角度看來，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題有哪幾種常見的代數(shù)模型？張奠宙： 小學(xué)里的數(shù)學(xué)知識(shí)有限， 沒有乘方、開方， 指數(shù)、對(duì)數(shù)、 三角比等概念。因此，從代數(shù)和函數(shù)的觀點(diǎn)來看， 所涉及的數(shù)學(xué)模型都是“線性關(guān)系”和“反比關(guān)系”。 即問題中的未知量或者自變量x都是一次的，或者是線性的正比例關(guān)系，或者當(dāng)變量x出現(xiàn)在分母上，呈現(xiàn)反比例關(guān)系。歸納起來，小學(xué)應(yīng)用題的代數(shù)型的數(shù)

43、學(xué)模型，基本上都是線性組合式。 即形如ab + cd = f 的式子，其中有5 個(gè)不同的量。又可以分為三種情況張先生給我們的文章中指出的三種代數(shù)型模型，與您的文章不同。詳見附件。兩廂比較，我個(gè)人認(rèn)為，張先生文章中的分類更清晰。那會(huì)不會(huì)是張先生在與您對(duì)話后進(jìn)一步思考的結(jié)果呢？：【1】方程模型觀點(diǎn)。5個(gè)量中只有一個(gè)是未知的，因而可以通過四則運(yùn)算由已知數(shù)求出未知數(shù)。這是絕大多數(shù)?！?】比例模型觀點(diǎn)。 因?yàn)榫€性關(guān)系，也是比例關(guān)系。 這時(shí)5個(gè)量中如果有兩個(gè)未知量， 而且它們成比例關(guān)系。那么可以借此求得問題的解。例。比如開頭的10個(gè)題目中的第10題：一條公路長2400米，AB兩支施工隊(duì)同時(shí)從公路的兩端往中

44、間鋪柏油路，A隊(duì)的施工速度是B隊(duì)的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊(duì)每天鋪路多少米？此題中A，B兩隊(duì)的速度都是未知的， 只知道彼此間的比值?！?】 函數(shù)模型觀點(diǎn)。 因?yàn)榫€性關(guān)系中， 如果兩個(gè)量呈現(xiàn)“依賴關(guān)系”， 就表示二者間存在“一次函數(shù)”的關(guān)系。實(shí)際上， 線性組合關(guān)系如果有兩個(gè)未知量， 本質(zhì)上彼此間或者是正例關(guān)系， 或者說反比例關(guān)系。比如行程問題中往往出現(xiàn) s = vt + b 的數(shù)量關(guān)系就是。例。 A,B相距500千米。一輛摩托車，停靠在AB之間距離A點(diǎn)100千米出處， 將以每小時(shí)50千米的速度前進(jìn)。到達(dá)AB中點(diǎn)后， 休息30分鐘后繼續(xù)前進(jìn)。試問， 一小時(shí)后，摩托車距離B點(diǎn)多少千米？

45、 何時(shí)摩托車抵達(dá)終點(diǎn)B？時(shí)間 0 3 3.5小時(shí) 4.5小時(shí) 4.5+44= 48.5 小時(shí)與A點(diǎn)距離 100 250 250 300 500這樣列表考察， 已經(jīng)有一次函數(shù)的意味了。唐彩斌：策略在學(xué)生在解答應(yīng)用題的過程中有著重要的作用，也越來越受到老師們的關(guān)注，那么需要策略，小學(xué)常見的策略有哪些呢，或許最為熟悉的策略可能就是“線段圖”了，我們常常在課堂上聽到老師在學(xué)生一碰到問題的時(shí)候就說啟發(fā)“能不能畫畫線段圖”，似乎成了解決應(yīng)用題的“萬能策略”了。 張奠宙：用線段圖表示數(shù)量關(guān)系是一種有效的教學(xué)方法。 不過線段圖不是目的，只是手段。上海顧汝佐老師曾經(jīng)形象地描述過線段圖是拐杖，不是棍棒。人們認(rèn)識(shí)一

46、種數(shù)量關(guān)系， 要經(jīng)過具象表象抽象的過程?，F(xiàn)實(shí)把線段圖畫在紙上， 可以看， 有具體形象。然后是在腦子里畫圖， 形成表象。最后， 直接面對(duì)數(shù)量關(guān)系， 完全抽象地進(jìn)行思考。比如通過一些關(guān)鍵字詞（對(duì)應(yīng)關(guān)系，文字說明等），也可以幫助學(xué)生理解題意，構(gòu)成概念圖式，圖式也有多種不同的形式。唐彩斌： 在課標(biāo)教材的編寫中，出現(xiàn)了一類以前教材中沒有的單獨(dú)成課的內(nèi)容，“教學(xué)策略的課”，單獨(dú)成課，您覺得這樣的有怎樣的教學(xué)價(jià)值？比如：專門上一節(jié)課“轉(zhuǎn)化的策略”“列舉的方法”等等。您怎么看這樣的安排？張奠宙： 如果上面這樣的題組設(shè)計(jì)的課是與常規(guī)的應(yīng)用題課相比，那么這樣的策略課就是非常規(guī)課，是便于學(xué)生探究、反思、活動(dòng)的課。常

47、規(guī)的是基礎(chǔ)，非常規(guī)的是有益的補(bǔ)充，豐富學(xué)習(xí)活動(dòng)。這種策略的專項(xiàng)教學(xué)，有利于提升學(xué)生解決問題的能力，不過“度”的把握也很重要，如果為“策略”而策略，可能得不償失，應(yīng)該把策略的習(xí)得融入到問題的解決中。唐彩斌：從解決問題的步驟來說，最后一步是回答與檢驗(yàn)。有人認(rèn)為是形式的完整，并不重要。因此在教學(xué)中常常有老師說“由于時(shí)間的關(guān)系，今天的應(yīng)用題就不要答了”。也有人認(rèn)為這是重要的一步，是學(xué)生反思自己解答過程，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確的步驟，更是實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知發(fā)展的重要環(huán)節(jié)。張老師您怎么看？張奠宙： 建立模型的核心是弄清數(shù)量關(guān)系， 并加以表示。真正解決解決問題必然會(huì)檢驗(yàn)。教學(xué)是模擬過程，可以把重點(diǎn)放在構(gòu)作建模型上，但是不

48、能忽視模型的檢驗(yàn)。最好能夠給學(xué)生一些問題單幫助他們反思檢驗(yàn)，比如試問：得到的結(jié)果是否符合實(shí)際情況？計(jì)算的過程是否合理？除了這種方法是否還有更好的方法？這一類問題具有怎樣的特點(diǎn)？這既是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是學(xué)生良好的元認(rèn)知的表現(xiàn)。附錄 一些優(yōu)秀的新型的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題例1 。弗賴登塔爾有一個(gè)經(jīng)典的“巨人手印問題”：昨夜外星人訪問我校，留下了一個(gè)巨大的手印， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？ Freudenthal經(jīng)典情景：巨人的手（通過“量”掌握比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)）黑板上留下巨人的手印，請(qǐng)你為巨人設(shè)計(jì)巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動(dòng)設(shè)計(jì)：用自己的手和巨人的

49、手相比，定下“比值”；量自己的書、桌子、椅子尺寸；用比例放大。過去總是用“照片放大”、“地圖比例尺”等靜態(tài)的 觀察理解“比例”。 這里的 實(shí)例，則用學(xué)生自己的活動(dòng)，獲得比例的 真實(shí)感受。不過，“外星人”依然是虛擬的存在。在 “問題解決”口號(hào)的 推動(dòng)下，國外有許多好的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。例如，弗賴登塔爾就有一個(gè)經(jīng)典的“巨人手印問題”：“昨夜外星人訪問我校，留下了一個(gè)巨大的手印， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？ 這個(gè)題目好懂、有趣自不必言， 尤其是體現(xiàn)比例的思想， 通過測量兩只手大小的比值，將比值用于設(shè)計(jì)椅子高度和鉛筆長度， 這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。

50、問題要求學(xué)生進(jìn)行操作，測量，更是一個(gè)絕好的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這樣的問題，我們還設(shè)計(jì)得太少。僅僅停留在行程問題等類別上，我們的應(yīng)用題范圍就太窄了。新的課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來， 在這方面有許多改進(jìn)，應(yīng)該繼續(xù)努力。例2.（荷蘭）甲離學(xué)校10公里，乙離甲3公里，問乙離學(xué)校幾公里？本題訓(xùn)練學(xué)生的表示能力。首先要問，甲、乙、學(xué)校在一條直線上？如果在一條直線上， 答案有兩個(gè)。如果不在一條直線上，答案無限多，但都位于一個(gè)圓上。 例3.（日本）設(shè)計(jì)一花壇， 使它的面積為矩形場地的一半。，要求美觀。這是數(shù)學(xué)和藝術(shù)相結(jié)合的開放題。，開放度極大。1993年，國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織（PME）在日本舉行時(shí)，日本的一堂公開課上。，日本學(xué)

51、生當(dāng)堂有13種解答。此題可以用作考題。 例如，給出不同的5種設(shè)計(jì)， 每種2分。近期，在杭州上城區(qū)教育學(xué)院附屬小學(xué)一五年級(jí)班測試20分鐘，對(duì)于一個(gè)班級(jí)整體來說，方法多達(dá)四十多種。例 4.身份證、書號(hào)、超市商品號(hào)的最后一位是檢驗(yàn)碼（可以算出來）。 現(xiàn)在是 數(shù)碼時(shí)代。 學(xué)生生活實(shí)際中包括“數(shù)碼”分析。以下是 身份證第18位檢驗(yàn)碼的計(jì)算方法。Ai:表示第i位置上的身份證號(hào)碼數(shù)字值Wi:表示第i位置上的加權(quán)因子十七位數(shù)字本體碼加權(quán)求和公式（1）S = Sum(Ai * Wi), i = 0, . , 16 ，先對(duì)前17位數(shù)字的權(quán)求和 Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8

52、 4 2 （2）計(jì)算用11除所得余數(shù)Y： Y = mod(S, 11) （3）通過模得到對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼Y:0校驗(yàn)碼10x98765431 舉例如下：北京市朝陽區(qū): 111002X7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167. 167除11， 余2， 對(duì)應(yīng) X例5. 瓷磚數(shù)（美國）這是美國2000年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)題目。已經(jīng)知道游泳池內(nèi)部的長度lL和寬度wW, （都是自然數(shù)）， 用邊長為1的瓷磚圍成邊， 需要多都少塊瓷磚？ 例.6 簡單郵路問題（原上海金匯學(xué)校）有三行三列的9個(gè)點(diǎn),左上角為郵局，郵遞員自郵局出發(fā),經(jīng)過9 個(gè)點(diǎn),最后回到郵局，怎樣投遞為最短

53、路線 它們有多少種？9個(gè)村莊位于正方形上， 郵局在左上角。郵遞員從郵局出發(fā)， 跑遍9點(diǎn)后回到郵局，有幾種走法？答案。共有8種不同開口的圖形。彼此之間可以通過軸對(duì)稱和 中心對(duì)稱而得到?？紤]到實(shí)際問題中,每種圖形郵遞員可有兩種行走方向,故原問題的最優(yōu)線路有16種方法。其中四個(gè)由圖形A旋轉(zhuǎn)而得到。另外四個(gè)由A的關(guān)于對(duì)角線的反射圖形B及其旋轉(zhuǎn)得到。例. 7鐘面問題（浙江）。鐘面數(shù)字問題：鐘面上有12個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)谀承?shù)的前面添上加號(hào)或減號(hào)，使鐘面上所有數(shù)之和等于零。此題解決的思路是：1231278，因此相當(dāng)于將12個(gè)數(shù)分成兩組，使這兩組數(shù)的和分別等于39，然后在任意一組的每一個(gè)數(shù)的前面添上負(fù)號(hào)。解題的關(guān)鍵在于從1，2，3，12這十二個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)，使其和為39。由于1231278，因此本題相當(dāng)于“將1，2，3，12這十二個(gè)數(shù)分成兩組，使這兩組數(shù)的和分別等于39，然后在任意一組的每個(gè)數(shù)的前面添加負(fù)號(hào)”。因此解題的關(guān)鍵在于從1，2，3，12這十二個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)，使其和為39。為防止遺漏和重復(fù)，取數(shù)時(shí)我們遵循“由大到小”的原則。注意到這十二個(gè)數(shù)中最大的三個(gè)數(shù)。1211103339,所以至少要取四個(gè)數(shù)，于是有：四數(shù)組（12，11，10，6），（12，11，9，7），（12，10，9，8）。注意到1110983839，所以四數(shù)組中必須包含數(shù)12。每一個(gè)數(shù)組可以都添負(fù)號(hào)，也可以都不添負(fù)