1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識結(jié)構(gòu)圖閱讀教材，并掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，初步了解平行(共線)向量、共面向量的意義及表示方法.,【知識鏈接】 1.平面向量的數(shù)乘：記作b=a，0時a與a的方向相同，0時a與a的方向相反. 2.平面向量共線：a(a0)與向量b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使b=a.,主題一：空間向量的數(shù)乘 【自主認(rèn)知】 1.空間中向量a+a+a表示的意義是什么？結(jié)果是多少？ 提示：表示與a同方向，長度為|a|的3倍的向量，結(jié)果是3a. 2.實(shí)數(shù)與平面向量a的乘積a的意義是什么？ 提示：0時，a與a的方向相同；0時a與a的方向相反；a的長度是a的

2、長度的|倍.,3.(1+2)a與a+2a表示的幾何意義相同嗎？2(3a)與3(2a)呢？ 提示：(1+2)a與a+2a表示的幾何意義相同，所以(1+2)a=a+2a；2(3a)與3(2a)的幾何意義相同，所以2(3a)=3(2a).,根據(jù)以上探究過程，完成下列表格：,向量,a,|,0,相同,0,相反,a+b,【合作探究】 1.向量a的模與向量a的模比較何時擴(kuò)大？何時縮小？ 提示：向量a的?？梢詳U(kuò)大(當(dāng)|1時)，也可以縮小(當(dāng)0|1時). 2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算與加減運(yùn)算有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)乘運(yùn)算實(shí)質(zhì)是空間向量的加減運(yùn)算的簡化形式.,【過關(guān)小練】 1.下面實(shí)數(shù)，與向量a，b的運(yùn)算不正確的是()

3、 A.(a)=()a B.(+)a=a+a C.(a+b)=a+b D.a(0)與a的方向相同 【解析】選D.當(dāng)0時，與a的方向相同；當(dāng)0時，與a的方向相反.,2.設(shè)O為空間中的任意一點(diǎn)，若向量 則向量 =_(a-b). 【解析】由 答案：-2,主題二：共線(平行)向量 【自主認(rèn)知】 1.兩個向量共線時，它們的方向有什么關(guān)系？ 提示：兩向量共線，則它們的方向相同或相反.,2.在平面向量中，兩個向量共線的充要條件是什么？為什么要求a0？ 提示：向量a(a0)與向量b共線的充要條件是有惟一一個實(shí)數(shù)，使b=a.由于我們已經(jīng)規(guī)定了0與任意向量平行，所以當(dāng)a0時，a與b是共線向量，可如果b=0，就不可能

4、存在實(shí)數(shù)，使b=a成立.,根據(jù)以上探究過程，完成下列表格：,平行或重合,a=b,方向向量,【合作探究】 1.在兩向量共線的充要條件中，為什么要求b0？ 提示：由于規(guī)定了0與任意向量平行，所以當(dāng)b=0時，a與b是共線向量，可如果a0，就不可能存在實(shí)數(shù)，使a=b成立.,2.向量共線的充要條件有哪些方面的應(yīng)用？ 提示：(1)判定兩向量共線(平行)，進(jìn)而可以證明兩直線平行. (2)利用“唯一性”可以求參數(shù)：b0時,若 則一定有1=2.,【拓展延伸】共線向量定理推論的證明 推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A，且平行于已知向量a的直線，那么對空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式,證明：因?yàn)?/p>

5、la， 所以對于l上任意一點(diǎn)P，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得 (*) 又因?yàn)閷τ诳臻g任意一點(diǎn)O， 有 所以 若在l上取 則有 (*) 又因?yàn)?所以 ,當(dāng)t= 時， 注：其中向量a叫做直線l的方向向量. 和都叫空間直線的向量表示式，是線段AB的中點(diǎn)向量公式.,【過關(guān)小練】 1.給出下列幾個命題：若a與b共線，b與c共線，則a與c共線； 零向量的方向是任意的；若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使a=b.其中真命題的個數(shù)為() A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選B.錯誤，若b=0，則a與b共線，b與c共線，但a與c未必共線；正確.這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；錯誤.若b=0，則有無數(shù)多個使之成立.,2.若a

6、=5，b與a的方向相反，且|b|=7，則a=_b. 【解析】b與a的方向相反，所以實(shí)數(shù)0，a=b， 所以= 答案：,主題三：共面向量 【自主認(rèn)知】 1.共面向量與直線與平面平行的定義是否一樣？ 提示：共面向量是指表示向量的有向線段所在的直線與平面平行或表示向量的有向線段所在的直線在平面內(nèi)，它與直線和平面平行是不同的.,2.同一平面內(nèi)的三個向量a，b，c，若a與b不共線，則向量c能否用a與b來表示？若能，如何表示？ 提示：根據(jù)平面向量的基本定理，在a與b不共線的前提下，c能用a與b來表示.c=xa+yb，其中(x，y)是惟一的有序?qū)崝?shù)對.,根據(jù)以上探究過程，試完成下列關(guān)于共面向量的內(nèi)容：,惟一,

7、p=xa+yb,【合作探究】 1.空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明. 提示：不一定.對于空間任意兩個向量，它們總是 共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了. 例如，對于空間四邊形ABCD， 這三個 向量就不是共面向量.,2.在三個向量共面的充要條件中，若兩向量a，b共線，那么結(jié)論是否還成立？ 提示：不成立.因?yàn)楫?dāng)p與a，b都共線時，存在不唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)使p=xa+yb成立.當(dāng)p與a，b不共線時，不存在實(shí)數(shù)對(x，y)使p=xa+yb成立.,【拓展延伸】空間向量共面的充要條件和常用結(jié)論 (1)P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件： 存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得 對于空間任意

8、一定點(diǎn)O，有 空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y，z)， 使得 (其中x+y+z=1).,(2)常見結(jié)論： 空間任意的兩向量都是共面的； 三個非零向量a,b,c，其中任意兩個向量不共線，則它們共面的充要條件：存在三個非零實(shí)數(shù)l，m，n，使la+mb+nc0.,【過關(guān)小練】 1.給出以下命題：若a，b所在直線是異面直線，則a與b一定不共面；若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量一定也共面；若a，b，c三向量共面，則由a，b所在直線確定的平面與由b，c所在直線確定的平面一定平行或重合. 其中正確命題的個數(shù)為() A.0個 B.1個 C.2個 D.3個,【解析】選A.

9、錯.由于向量是可以自由平移的,所以空間任意兩個向 量一定共面；錯.從正方體一頂點(diǎn)引出的三條棱作為三個向量,雖然 是兩兩共面,但這三個向量不共面,三個向量共面時,它們所在的直線 或者在平面內(nèi)或者與平面平行；錯.例如，在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中， 三向量共面,然而平面ABCD與平面ABB1A1相交.,2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由 確定的點(diǎn)M與A，B，C共面，則_. 【解析】M與A，B，C共面，則 其中xyz1，結(jié)合題目有211，即2. 答案：2,【歸納總結(jié)】 1.數(shù)乘運(yùn)算的三個關(guān)注點(diǎn) (1)與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別：數(shù)乘向量與數(shù)與數(shù)的乘法是有區(qū)別的，前者結(jié)果是一

10、個向量，后者結(jié)果是一個實(shí)數(shù). (2)與加法、減法運(yùn)算的關(guān)系：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，實(shí)質(zhì)是空間向量的加減運(yùn)算. (3)特殊情況：當(dāng)=0或a=0時，向量a=0.,2.共線向量充要條件的三個關(guān)注點(diǎn) (1)區(qū)別：共線向量與直線平行的區(qū)別，直線平行不包括兩直線重合的情況，而我們說的兩個共線向量ab，表示向量a，b的有向線段所在直線既可以是同一直線，也可以是兩條平行直線. (2)零向量：共線向量的充要條件及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據(jù)，條件b0不可遺漏. (3)方向向量的個數(shù)：直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的方向向量無數(shù)個，它們的方向相同或相反.,3.空間向量共線的充要條件和常

11、用結(jié)論 (1)三點(diǎn)P，A，B共線的充要條件有： 存在實(shí)數(shù)t使得 即 存在實(shí)數(shù)t，使得 存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得 (其中x+y=1). (2)判斷向量a，b所在直線平行，還需a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上. (3)常見結(jié)論：零向量與任何空間向量都是平行向量；若直線l過 點(diǎn)A且與向量a平行，則點(diǎn)P在直線l上,4.對共面向量的兩點(diǎn)說明 (1)共面的理解：共面向量是指與同一個平面平行的向量，可將共面向量平移到同一個平面內(nèi). (2)向量的“自由性”：空間任意的兩向量都是共面的.只要方向相同、大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量.,類型一：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 【典

12、例1】(1)(2015鞍山高二檢測)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中， M為AC與BD的交點(diǎn)，若 則下列向量中與B1M相 等的向量是( ),(2)已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G 分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式. 【解題指南】(1)利用三角形法則及平行四邊形法則將 用a,b,c表示. (2)利用圖中三角形某邊的中線與平行四邊形法則，對向量式子進(jìn)行化簡.,【解析】(1)選A. (2) ,【延伸探究】 1.(改變問法)若本例(1)中條件不變，所求問題改為：若 =xa+yb+zc,則x+y+z的結(jié)果是多少？ 【解析】 所以 z=1,故x+y+z=2.,2.(變換條

13、件)在本例(1)中的條件“M為AC與BD的交點(diǎn)”改為“M為AC的三等分點(diǎn)”，其他條件不變，則 如何用a,b,c表示？ 【解析】,【規(guī)律總結(jié)】空間向量數(shù)乘運(yùn)算的方法及注意點(diǎn) (1)利用數(shù)乘運(yùn)算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量. (2)運(yùn)用空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律可使運(yùn)算簡便，注意與實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算律區(qū)別清楚.運(yùn)算律中是實(shí)數(shù)與向量的乘積，不是向量與向量的乘法運(yùn)算.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值： (1) (2) 【解題指南】解答

14、本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再根據(jù)對應(yīng)向量的系數(shù)相等，求出x，y即可,【解析】如圖， (1)因?yàn)?所以,(2)因?yàn)?所以 又因?yàn)?所以 從而有 所以x2，y2.,2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè) M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下向量： (1) (2) (3),【解析】(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)， 所以 (2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)， 所以,(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)， 所以 又 所以,類型二：共線向量定理的應(yīng)用 【典例2】如圖所示，ABCD-ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N 分別是AC，BF的中

15、點(diǎn)，判斷 是否共線？,【解題指南】要判斷 是否共線，由共線向量定理就是判定 是否存在實(shí)數(shù)x，使 若存在則 共線，否則 不共線,【解析】M，N分別是AC，BF的中點(diǎn),而ABCD，ABEF都是平行四邊形， 所以 又因?yàn)?所以 所以 所以 所以 即 共線,【規(guī)律總結(jié)】共線向量定理的應(yīng)用 (1)證明三點(diǎn)共線：證明立體幾何中的三點(diǎn)共線問題，可以用三點(diǎn)構(gòu)造兩個向量，證明這兩個向量共線，進(jìn)而就能證明三點(diǎn)共線. (2)利用共線向量定理求字母的值：列方程(組)：已知三點(diǎn)共線時，可先轉(zhuǎn)化為向量共線，再利用共線向量的充要條件，列出有關(guān)系數(shù)的方程(組)求出對應(yīng)系數(shù)的值.,【鞏固訓(xùn)練】如圖所示，在正方體ABCD-A1B

16、1C1D1中，E在A1D1上， 且 F在對角線 上，且 求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線,【解題指南】要證E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，只需證 即可. 為此，選取基向量 用空間向量的加減運(yùn)算，結(jié)合已知條 件求證,【證明】設(shè) 因?yàn)?所以 所以 所以 又 所以 所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊 AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且 求證：四邊形EFGH是梯形,【證明】因?yàn)镋，H分別是AB，AD的中點(diǎn)， 所以 因?yàn)?所以 所以,所以 因?yàn)镋FG，所以EHFG且|EH| |FG|， 所以四邊形EFGH是梯形,類型三：共面向量定理的應(yīng)用 【典例3】正

17、方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面. 【解題指南】利用共面向量定理，令 建立，的方程組求出，進(jìn)行證明.,【解析】令 因?yàn)镸，N，P，Q均為棱的中點(diǎn)， 所以 令 則 所以 所以,所以 因此向量 共面， 所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面,【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用空間向量共面定理的解題策略 (1)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，將式子轉(zhuǎn)化為共面向量定理的形式，可快速找到解題思路. (2)列方程(組)：證明四點(diǎn)共面時，可先轉(zhuǎn)化為證明向量共面，再利用共面向量定理，列出系數(shù)x，y的方程(組)，求出x，y，問題得證. (3)正難則反：當(dāng)直接證明難以入手時常采用反證法，反證法是先否定命題結(jié)論，然后進(jìn)行推理，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定原命題正確.,【鞏固訓(xùn)練】對于任意空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn) 試證 共面,【證明】空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，利用多邊 形加法法則可得， 又E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)， 故有 由+，結(jié)合可得 所以 即 共面,【拓展延伸】性質(zhì)法解決空間向量的共面問題 判定三個向量共面一般用pxayb，證明點(diǎn)線共面常用 證明四點(diǎn)共面常用 (其中x yz1),【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(