1、3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題 第1課時簡單的線性規(guī)劃問題,【知識提煉】 線性規(guī)劃中的基本概念,最大值或最小值,不等式(組),關(guān)于變量的一次函數(shù),關(guān)于變量的一次不等式,(或等式),最,大值或最小值,最大值或最小值,可行解,【即時小測】 1.思考下列問題 (1)最優(yōu)解表示的點一定是可行域中的孤立的點嗎？ 提示：不一定.當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與可行域多邊形的一條邊平行時，最優(yōu)解表示的點可能是一條直線或一條線段.,(2)若將目標(biāo)函數(shù)z=x+y看成直線方程時，z具有怎樣的幾何意義？ 提示：把目標(biāo)函數(shù)整理可得y=-x+z，z為直線在y軸上的截距.,2.下面給出的四個點中，滿足約束條件 的可行解是() A

2、.(0，2)B.(-2，0) C.(0，-2)D.(2，0),【解析】選C.判斷已知點是不是滿足約束條件的可行 解，只需將四個點的坐標(biāo)代入不等式組 進(jìn)行驗證，若滿足則是可行解，否則就不是.經(jīng)驗證知滿足條件的是點(0，-2).,3.在約束條件 下，目標(biāo)函數(shù)z=10 x+y的最優(yōu)解是() A.(0，1)，(1，0) B.(0，1)，(0，-1) C.(0，-1)，(0，0) D.(0，-1)，(1，0),【解析】選D.作出可行域如圖， 使目標(biāo)函數(shù)取得最大、最小值的點分別是(1，0)和(0，-1).,4.將目標(biāo)函數(shù)z=2x-y看成直線方程時，則該直線的縱截距等于_. 【解析】由目標(biāo)函數(shù)可得y=2x-

3、z，故該直線的縱截距為-z. 答案：-z,5.已知x，y滿足約束條件 則z=2x+4y的最小值為_.,【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示：,作出直線2x+4y=0，并平移至過點A處時z=2x+4y取得 最小值. 由方程組 得A(3，-3)， 所以zmin=23+4(-3)=-6. 答案：-6,【知識探究】 知識點 簡單的線性規(guī)劃問題 觀察圖形，回答下列問題：,問題1：目標(biāo)函數(shù)與線性目標(biāo)函數(shù)有何不同？ 問題2：可行域所表示的區(qū)域是怎樣的圖形？,【總結(jié)提升】 1.對線性規(guī)劃有關(guān)概念的三點說明 (1)線性約束條件包括兩點：一是關(guān)于變量x，y的不等式(或等式)，二是次數(shù)為1. (2)目標(biāo)函數(shù)

4、與線性目標(biāo)函數(shù)的概念不同，線性目標(biāo)函數(shù)在變量x，y的次數(shù)上作了嚴(yán)格的限定：一次解析式，即目標(biāo)函數(shù)包括線性目標(biāo)函數(shù)和非線性目標(biāo)函數(shù).,(3)可行解必須使約束條件成立，而可行域是所有的可行解組成的平面區(qū)域(或其內(nèi)部一些點)，可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無窮大的區(qū)域.,2.對目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By+C(A，B不全為0)的理解 當(dāng)B0時，由z=Ax+By+C得y= 這樣，二元一 次函數(shù)就可以視為斜率為- ，在y軸上截距為 ，且 隨z變化的一組平行線.于是，把求z的最大值和最小值 的問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點時，直線在y軸上 的截距的最大值和最小值的問題.,(1)當(dāng)B0時，z的值隨著直線在

5、y軸上的截距的增大而增大. (2)當(dāng)B0時，z的值隨著直線在y軸上的截距的增大而減小.,【題型探究】 類型一 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 【典例】1.(2015安徽高考)已知x，y滿足約束條件 則z=-2x+y的最大值是() A.-1B.-2C.-5D.1,2.已知點P(x，y)在不等式組 表示的平面區(qū) 域上運(yùn)動，則z=x-y的取值范圍是() A.-2，-1B.-2，1 C.-1，2D.1，2,【解題探究】1.典例1中滿足約束條件的可行域是一個什么樣的圖形？應(yīng)怎樣求最大值？ 提示：可行域是一個三角形，利用數(shù)形結(jié)合計算求值. 2.典例2中要求z=x-y的取值范圍，只要求得目標(biāo)函數(shù)的什么值？ 提示：要

6、求z=x-y的取值范圍，只要分別求出該目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值即可.,【解析】1.選A.根據(jù)題意畫出約束條件確定的可行域，如圖所示： 因為z=-2x+y，則y=2x+z，可知過圖中點A(1，1)時，z=-2x+y取得最大值-1，故選A.,2.選C.作出可行域，如圖：,因為目標(biāo)函數(shù)z=x-y中y的系數(shù)-10，而直線y=x-z表示斜率為1的一組直線，所以當(dāng)它過點(2，0)時，在y軸上的截距最小，此時z取得最大值2；當(dāng)它過點(0，1)時，在y軸上的截距最大，此時z取得最小值-1，所以z=x-y的取值范圍是-1，2.,【方法技巧】用圖解法解決線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題的一般步驟 (1)畫：根據(jù)線性約束條

7、件，在直角坐標(biāo)系中，把可行域表示的平面圖形準(zhǔn)確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域.,(2)移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把目標(biāo)函數(shù)表示的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解. (3)求：解方程組求最優(yōu)解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值. (4)答：寫出答案.,【變式訓(xùn)練】(2015天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束 條件 則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為() A.7B.8C.9D.14,【解析】選C.畫出約束條件 表示的可行域， 如圖所示， 由 得A(2，3). 當(dāng)直線z=3x+y過點A時，z取得最大值9.,類型二 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 【

8、典例】1.已知x，y滿足約束條件 則x2+y2+2x的最小值是() 2.(2015全國卷)若x，y滿足約束條件 則 的最大值為_.,【解題探究】1.典例1中x2+y2+2x的幾何意義是什么？ 提示：因為x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，故其幾何意義為可行域上的點到定點C(-1，0)的距離的平方減1.,2.典例2中 具有怎樣的幾何意義？ 提示：在約束條件內(nèi)的點與原點兩點連線的斜率.,【解析】1.選D.畫出可行域如圖所示， 由于x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，而(x+1)2+y2表示可行域上 一點到定點C(-1，0)的距離的平方，由圖可知|AC|最 小，所以x2+y2+2x的最小

9、值為,2.作出可行域如圖中陰影部分所示， 由斜率的意義知， 是可行域內(nèi)一點 與原點連線的斜率，由圖可知，點 A(1，3)與原點連線的斜率最大，故 的最大值為3. 答案：3,【延伸探究】 1.(變換條件)典例2中若將約束條件變?yōu)?其他條件不變，結(jié)果如何？,【解析】如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，,令u= ，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(x，y)與原 點相連的直線l的斜率，即u= 由圖形可知，當(dāng)直線l 經(jīng)過可行域內(nèi)點C時，u最大，由 得 所以umax= ，所以,2.(變換條件，改變問法)典例2中若將約束條件變?yōu)?求 的最大值？ 【解題指南】由 可知此式的幾何意義為可行域上 任一點(x，

10、y)與定點(-2，-1)相連的直線l的斜率.,【解析】如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，,令u= ，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(x，y) 與定點(-2，-1)相連的直線l的斜率.由圖形可知，當(dāng) 直線l經(jīng)過可行域內(nèi)點C時，u最大，由 得 所以umax= ，所以,【方法技巧】非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略 (1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x，y)與點(a，b)距離的平方；特別地，z=x2+y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方.,(2)z= 型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x，y)與點(a，b) 連線的斜率. (3)z=|Ax+By+C|可轉(zhuǎn)化為點(x，

11、y)到直線Ax+By+C=0 的距離的 倍.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】實數(shù)x，y滿足約束條件 試求z= 的最小值. 【解析】作出可行域，如圖所示.,z= 表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜率，因此 的最小值為連線OB的斜率，由 得B(1，2)， 則kOB= =2，所以z最小值=2.,【延伸探究】 1.(改變問法)本題的條件不變，如何求z= 的取值范圍 呢？ 【解析】z= 表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜 率，因此 的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率 (OA斜率不存在)，而由 得B(1，2)，則kOB= =2，所以zmax不存在，zmin=2，故z的取值范圍為2，+).,2.(變換條件)若本題

12、條件不變，如何求z=x2+y2的取值范圍？,【解析】z=x2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點 間距離的平方，因此x2+y2的最小值為|OA|2 (取不到)， 最大值為|OB|2，由 得A(0，1)， 所以 所以z的最大值為5，沒有最小值，故z的取值范圍是 (1，5.,類型三 已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)問題 【典例】1.(2015山東高考)已知x，y滿足約束條件 若z=ax+y的最大值為4，則a=() A. 3B. 2C. -2D. -3,2.(2015福建高考)變量x，y滿足約束條件 若z=2x-y的最大值為2，則實數(shù)m等于() A.-2B.-1C.1D.2,【解題探究】1.典例1需要分情

13、況討論嗎？ 提示：首先畫出可行域，分情況討論可得正確結(jié)果；還可以結(jié)合選擇題的特點直接將選項代入驗證.,2.典例2中目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在哪個位置取到最大值？ 提示：結(jié)合圖形，對m分析， 可知目標(biāo)函數(shù)在 的解處取到最大值.,【解析】1.選B.由約束條件可畫可行域如圖，解得A(2，0)，B(1，1).若過點A(2，0)時取最大值4，則a=2，驗證符合條件；若過點B(1，1)時取最大值4，則a=3，而若a=3，則z=3x+y最大值為6(此時A(2，0)是最大值點)，不符合題意.(也可直接代入排除),2.選C.如圖所示，當(dāng)m0時，比如在的位置，此時 為開放區(qū)域無最大值，當(dāng)m2時，比如在的位置，此 時在

14、原點取得最大值不滿足題意，當(dāng)0m2時，比如在 的位置，此時在點A取得最大值，所以 代入得m=1.,【延伸探究】若將典例1中的“z=ax+y的最大值為4”改為“z=ax+y的最小值為-4”，其他條件不變，則結(jié)果如何？ 【解析】由約束條件可畫可行域如圖：,解得A(2，0)，B(1，1).若過點A(2，0)時取最小值-4，則a=-2，驗證符合條件；若過點B(1，1)時取最小值-4，則a=-5，而若a=-5，則z=-5x+y最小值為-10(此時A(2，0)是最小值點)，不符合題意.(也可直接代入排除),【方法技巧】含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略 (1)約束條件中含有參數(shù)：此時可行域是可變的，應(yīng)分情

15、況作出可行域，結(jié)合條件求出不同情況下的參數(shù)值. (2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)：此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的，如果斜率一定，則對直線作平移變換；如果斜率可變，則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分情況確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)的值.,【變式訓(xùn)練】若函數(shù)y=2x圖象上存在點(x，y)滿足約 束條件 則實數(shù)m的最大值為_.,【解析】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x的圖象及 所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示. 由圖可知，當(dāng)m1時，函數(shù)y=2x的圖象 上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的 最大值為1. 答案：1,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知變量x，y滿足條件 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(3，0)處取得最大值，則a的 取值范圍是_.,【解析】畫出x，y滿足條件的可行域如圖所示，,要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(3，0)處取得最大值，則 直線y=-ax+z的斜率應(yīng)小于直線x+2y-3=0的斜率，即 -a ，故a的取值范圍是 答案：,易錯案例 求目標(biāo)函數(shù)的最值 【典例】(2015福建高考)若變量x，y滿足約束條件 則z=2x-y的最小值等于( ),【失誤案例】,【錯解分析】分析解題過程，你知道錯在哪里嗎？ 提示：錯誤的根本原因是沒有