1、第二課 圓錐曲線與方程,【網(wǎng)絡(luò)體系】,【核心速填】 1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),|F1F2|,且大于零,不經(jīng)過,相等,y2=2px,x2=2py,a2-b2,a2+b2,2.橢圓的焦點(diǎn)三角形 設(shè)P為橢圓 (ab0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上), F1,F2為焦點(diǎn)且F1PF2=,則PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如 圖). (1)焦點(diǎn)三角形的面積S=b2tan . (2)焦點(diǎn)三角形的周長L=2a+2c.,3.雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧 (1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí),最簡單實(shí)用 的辦法是:把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0,即可得到兩條漸近 線的方程.如雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程

2、為 =0(a0,b0),即y=_;雙曲線 (a0, b0)的漸近線方程為 =0(a0,b0),即y=_.,(2)如果雙曲線的漸近線為 時(shí),它的雙曲線方程 可設(shè)為_.,4.共軛雙曲線 (1)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線. (2)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距. (3)與 =1具有相同漸近線的雙曲線系方程為 =k(k0).,5.拋物線方程的設(shè)法 對頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線方程,一般可設(shè)為y2=ax(a0)或x2=ay(a0).,6.拋物線的焦點(diǎn)弦問題 拋物線過焦點(diǎn)F的弦長|AB|的一個(gè)重要結(jié)論. (1)y2=2px(p0)中,|AB|=_. (2)y2=-2px(p0)中,|

3、AB|=-x1-x2+p. (3)x2=2py(p0)中,|AB|=_. (4)x2=-2py(p0)中,|AB|=-y1-y2+p.,x1+x2+p,y1+y2+p,【易錯警示】 1.橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a中,應(yīng)有2a|F1F2|,雙曲線定義|PF1|-|PF2|=2a中,應(yīng)有2a|F1F2|,拋物線定義中,定點(diǎn)F不在定直線l上. 2.橢圓中幾何量a,b,c滿足a2=b2+c2,雙曲線中幾何量a,b,c滿足a2+b2=c2.,3.橢圓離心率e(0,1),雙曲線離心率e(1,+),拋物線離心率e=1. 4.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,選取合適的形式. 5

4、.由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置時(shí),橢圓看分母的大小,雙曲線看x2,y2系數(shù)的符號.,6.雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程為y= 雙曲線 =1(a0,b0)的漸近線方程為y= 7.直線與雙曲線、直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)有兩 種情況:一是相切;二是直線與雙曲線的漸近線平行、 直線與拋物線的對稱軸平行.,類型一圓錐曲線的定義及應(yīng)用 【典例1】(2016合肥高二檢測)雙曲線16x2-9y2=144的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|PF2|=64,求PF1F2的面積.,【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 解得a

5、=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0). 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n, 由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6, 又已知mn=64,在PF1F2中,由余弦定理知 所以F1PF2=60, 所以 所以PF1F2的面積為 .,【延伸探究】本例條件“|PF1|PF2|=64”改為“PF1PF2”,則PF1F2的面積是多少? 【解析】雙曲線16x2-9y2=144,化簡為 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 解得a=3,c=5,所以|F1F2|=10. 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.,因?yàn)镻F1PF2,所以有m2+n2=(2c)2=100, 由雙曲線的定義得|m-n|=2a=6

6、,所以(m-n)2=36, 即m2+m2-2mn=36, 因此有mn=32, 所以 所以PF1F2的面積為16.,【方法技巧】“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用 應(yīng)用一:在求軌跡方程時(shí),若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程; 應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決;,應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決. 特別提醒:應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件.,【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離 心率為2,F1,F2為左

7、、右焦點(diǎn).P為雙曲線上一點(diǎn),且 F1PF2=60, 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因?yàn)閑= =2,所以c=2a. 由雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=2a=c, 在PF1F2中,由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60 =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|(1-cos60), 即4c2=c2+|PF1|PF2|.,又 所以 |PF1|PF2|sin60= , 即|PF1|PF2|=48, 由得,c2=16,c=4, 則a=2,b2=c2-a2=12. 所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016

8、長沙高二檢測)過雙曲線C: (a0,b0)的左焦點(diǎn)F1(-2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0) 分別作x軸的垂線,交雙曲線的兩漸近線于A,B,C,D四點(diǎn), 且四邊形ABCD的面積為16 . (1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)P是雙曲線C上一動點(diǎn),以P為圓心,PF2為半徑的圓 交射線PF1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.,【解析】(1)由 解得y= ,由雙曲線及其漸近線 的對稱性知四邊形ABCD為矩形,故四邊形ABCD的面積為 4 =16 ,所以b= a,結(jié)合c=2且c2=a2+b2得:a=1,b= ,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2- =1.,(2)P是雙曲線C上一動點(diǎn),故|PF1|-|PF2|=2,又M

9、點(diǎn)在 射線PF1上,且|PM|=|PF2|,故|F1M|=|PF1|-|PM| =|PF1|-|PF2|=2,所以點(diǎn)M的軌跡是以F1為圓心,半徑 為2的圓,其軌跡方程為(x+2)2+y2=4.,類型二圓錐曲線的方程 【典例2】求與橢圓 有相同的焦點(diǎn),且離心率 為 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】因?yàn)?所以所求橢圓的焦點(diǎn)為 設(shè)所求橢圓的方程為 (ab0), 因?yàn)?所以a=5, 所以b2=a2-c2=20, 所以所求橢圓的方程為,【方法技巧】處理圓錐曲線問題的策略 (1)待定系數(shù)法求圓錐曲線的步驟: 定位置:先確定圓錐曲線焦點(diǎn)的位置,從而確定方程的類型; 設(shè)方程:根據(jù)方程的類型,設(shè)出方程; 求參數(shù):利

10、用已知條件,求出a,b或p的值; 得方程:代入所設(shè)方程,從而得出所求方程.,(2)焦點(diǎn)位置不確定的曲線方程的設(shè)法: 橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0,mn); 雙曲線方程可設(shè)為mx2+ny2=1(mn0); 拋物線方程可設(shè)為y2=ax(a0)或x2=ay(a0).,(3)共焦點(diǎn)的曲線方程的設(shè)法: 與橢圓 (ab0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為 與雙曲線 (a0,b0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可 設(shè)為,【變式訓(xùn)練】(2015全國卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓 的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【解題指南】設(shè)出圓的方程為(x-a)2+y2=r2,然后由兩點(diǎn)間距離公式求解.,【解析】設(shè)圓

11、心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2, 依題意得 解得 所以圓 的方程為 答案:,【補(bǔ)償訓(xùn)練】求以橢圓 的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且 經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】橢圓 長軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A2(5,0), 則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0).由雙曲線的定義知, 即2a=8,a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,類型三圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用 【典例3】已知橢圓C: (ab0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn) A(0,b),原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b. (1)求橢圓C的離心率e. (2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點(diǎn)P在圓O:x2+y2

12、=4上, 求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).,【解析】(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b)及b= 得直線FA的方程為 即 因?yàn)樵c(diǎn)O到直線FA的距離,(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn) 關(guān)于直線l:2x+y=0的對 稱點(diǎn)為P(x0,y0),則有 解得,因?yàn)镻在圓x2+y2=4上,所以 所以a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故橢圓C的方程為 點(diǎn)P的坐標(biāo)為,【方法技巧】 1.圓錐曲線的主要性質(zhì) 圓錐曲線的主要性質(zhì)包括范圍、對稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線).,2.“三法”應(yīng)對離心率 (1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓(雙曲線

13、)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及已知其中的任意兩個(gè)參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法. (2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.,(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系.通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.,【變式訓(xùn)練】(2016北京高二檢測)設(shè)點(diǎn)F1,F2分別是 橢圓C: (ab0)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任 意一點(diǎn),且 的最小值為0,則橢圓的離心率為(),【解題指南】先設(shè)點(diǎn)P

14、(x,y),表示出 ,然后消去 y,得到關(guān)于x的二次函數(shù),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得 最值,從而得到a,b,c的等量關(guān)系,求出離心率.,【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn), 則 , 所以 所以 =(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2 因?yàn)?的最小值為0,所以b2-c2=0, 則a2=b2+c2=2c2,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線 的右焦點(diǎn)與拋物線 y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距 離等于() A. B.4 C.3 D.5,【解析】選A.由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn) 重合,知c= =3,c2=9=4+b2,于是b2=5,b= .因此該雙

15、曲 線的漸近線方程為y= x, 即 x2y=0, 故該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為,類型四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【典例4】(2016威海高二檢測)已知橢圓 (ab0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2 , 離心率為 . (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn) 滿足|MA|=|MB|,求直線l的斜率k的值.,【解析】(1)|PF1|+|PF2|=2a=2 , 所以b2=a2-c2=2-1=1, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2)已知F2(1,0),直線斜率顯然存在, 設(shè)直線的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立

16、直線與橢圓的方程 化簡得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2= y1+y2=k(x1+x2)-2k= 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,當(dāng)k0時(shí),AB的中垂線方程為 因?yàn)閨MA|=|MB|, 所以點(diǎn)M在AB的中垂線上, 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得: 即,當(dāng)k=0時(shí),AB的中垂線方程為x=0,滿足題意. 所以斜率k的取值為,【方法技巧】有關(guān)直線與圓錐曲線關(guān)系問題的求解方法 (1)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有如下三種:,相交:0直線與橢圓相交;0直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有0,如當(dāng)直線與雙曲線的漸

17、近線平行時(shí),直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn),故0是直線與雙曲線相交的充分不必要條件;0直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有0,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí),直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn),故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件,而不是必要條件.,相切:=0直線與橢圓相切;=0直線與雙曲線相切;=0直線與拋物線相切. 相離:0直線與橢圓相離;0直線與雙曲線相離;0直線與拋物線相離.,(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等許多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,以形輔數(shù)的方法;還要多結(jié)合圓錐曲線的定義,

18、根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”等.,【變式訓(xùn)練】(2015冀州高二檢測)如圖,焦距為2的 橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,且 與n=( ,-1)共線. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個(gè)不同的 交點(diǎn)P和Q,且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓 的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,【解析】(1)因?yàn)?c=2,所以c=1,又 =(-a,b), 且 n,所以 b=a,所以2b2=b2+1,所以b2=1,a2=2, 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),把直線方程y=kx+m代入橢圓 方程 , 消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0, 所以

19、=16k2-8m2+80,即m22k2+1(*), 因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,所以 0,即x1x2+y1y20, 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 依題意且滿足(*)得m2 , 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為 (ab0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0), 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|， 直線OM的斜率為,(1)求E的離心率e. (2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-b)，N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān) 于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ,求E的方程.,【解析】(1)

20、由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)是 又kOM = 所以 進(jìn)而得 故,(2)直線AB的方程為 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為 則NS的中點(diǎn) T的坐標(biāo)為 又點(diǎn)T在直線AB上， 且kNSkAB=-1，,從而有 所以a= ，故橢圓E的方程為,類型五分類討論思想 【典例5】(2015北京高考)已知橢圓C:x2+3y2=3,過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),AE與直線x=3交于點(diǎn)M. (1)求橢圓C的離心率. (2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率. (3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.,【解析】(1)橢圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程 則a= , b=1,c=

21、 ,所以離心率e=,(2)由AB過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸可得AB方程為x=1, 設(shè)A(1,m),B(1,-m),AB方程與橢圓方程聯(lián)立解得m2= AE方程為y-1= (x-2),令x=3得M(3,2-m). 所以BM的斜率為,(3)當(dāng)AB斜率不存在時(shí),DE的斜率為1,由(2)可知直線BM 與直線DE斜率相等,所以BMDE. 當(dāng)AB斜率存在時(shí),設(shè)AB:y=k(x-1)(k1),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 消y得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0, =36k4-4(1+3k2)(3k2-3)=12+24k20,直線AE方程:y-1= (x-2), 令x=3得M(3, +

22、1), 直線BM的斜率為,【方法技巧】與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的三種解決方法 (1)平面幾何法. 平面幾何法求最值問題,主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解.,(2)目標(biāo)函數(shù)法. 建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題,是常規(guī)方法,其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù),然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.,(3)判別式法. 對二次曲線求最值,往往由條件建立二次方程用判別式來求最值.,【變式訓(xùn)練】(2016濱州高二檢測)已知橢圓C: (ab0)的右焦點(diǎn)為 離心率為 (1)求橢圓C的方程. (2)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值. (3)在(2)的條件下,求OAB面積的最大值.,【解題指南】(1)根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為 離心率為 , 求出c,a,可求b,即可求出橢圓C的方程. (2)分直線AB斜率存在與不存在討論,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出 直線AB的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,利用根與系數(shù)的 關(guān)系,結(jié)合以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線 的距離公式,即可得證.,(3)分類討論,求出|AB|的最大值,即可求OAB面積的最大值.,【解析】(1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為 離心率為 , 所以 所以a= ,b=1. 所以橢圓C的方程為 +y2=1.,