1、第二章數(shù)列 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法 第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡單表示法,【知識(shí)提煉】 1.數(shù)列的概念 (1)數(shù)列：按照一定_排列的一列數(shù)稱為數(shù)列. (2)項(xiàng)：數(shù)列中的_叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第1項(xiàng) 通常也叫做_，排在第n位的數(shù)稱作這個(gè)數(shù)列的_ _，記作_.,順序,每一個(gè)數(shù),首項(xiàng),第,n項(xiàng),an,(3)表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an.,2.數(shù)列的分類,有限,無限,2,大于,2,小于,各項(xiàng)相等,大于,小于,2,3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與_n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.,序號(hào),【即時(shí)小測】 1.思考下列問題 (1)所有

2、自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列嗎？ 提示：能.如將所有自然數(shù)按從小到大的順序排列. (2)同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中能重復(fù)出現(xiàn)？ 提示：能.數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).,2.把五個(gè)自然數(shù)：排成1，2，3，4，5；排成5，4，3，2，1；排成3，1，4，2，5；排成2，3，1，4，5，那么可以叫做數(shù)列的個(gè)數(shù)為() A.1B.2C.3D.4 【解析】選D.按照數(shù)列定義得出四種形式均為數(shù)列.,3.已知數(shù)列 ，根據(jù)前三項(xiàng)給出的規(guī)律，則實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)可能是() A.(19，3) B.(19，-3) C.( ) D.( ),【解析】選C.由前三項(xiàng)可知，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能 為an= .所以 即,4.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-

3、8n+15，則3() A.不是數(shù)列an中的項(xiàng) B.只是數(shù)列an中的第2項(xiàng) C.只是數(shù)列an中的第6項(xiàng) D.是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng),【解析】選D.令an=3，即n2-8n+15=3，解得n=2或6，故3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng).,5.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=3-2n，則 =_. 【解析】因?yàn)閍n=3-2n，所以 答案：,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)列的概念 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：,問題1：數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞是什么？ 問題2：數(shù)列中an和an是否相同？,【總結(jié)提升】對(duì)數(shù)列概念的三點(diǎn)說明 (1)數(shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一定順序”與“一列數(shù)”.也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是“數(shù)

4、”，并且這些數(shù)是按照“一定順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置.,(2)項(xiàng)an與序號(hào)n是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)確定的數(shù)，而序號(hào)是指項(xiàng)在數(shù)列中的位次. (3)an與an是不同概念：an表示數(shù)列a1，a2，a3，an，；而an表示數(shù)列an中的第n項(xiàng).,知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)列的通項(xiàng)公式觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：,問題1：在上面的數(shù)列中，你能表示項(xiàng)an與項(xiàng)的序號(hào)n之間的關(guān)系嗎？ 問題2：任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎？,【總結(jié)提升】對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的四點(diǎn)說明 (1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集為定義域的函數(shù)表達(dá)式，即an=f(n). (2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，依次用1，2

5、，3去替代公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)；同時(shí)利用通項(xiàng)公式也可以判斷某數(shù)是不是某數(shù)列中的項(xiàng)，是第幾項(xiàng).,(3)同函數(shù)的關(guān)系式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.如精確到1，0.1，0.01，的不足近似值排成數(shù)列就不能用通項(xiàng)公式表示. (4)有的數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的.如擺動(dòng)數(shù)列：-1，1，-1，1，-1，1，通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n，也可以寫成an=,【題型探究】 類型一 數(shù)列的概念及分類 【典例】1.下列說法正確的是() A.數(shù)列1，2，3，5，7可表示為1，2，3，5，7 B.數(shù)列1，0，-1，-2與數(shù)列-2，-1，0，1是相同的數(shù)列 C.數(shù)列 的第k項(xiàng)是1+

6、D.數(shù)列0，2，4，6，8，可記為2n,2.下列四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是 (),【解題探究】1.典例1中處理數(shù)列的概念應(yīng)注意哪些問題？ 提示：數(shù)列不能用集合表示，數(shù)列中的項(xiàng)是有序的，數(shù)列中的nN*. 2.典例2中，遞增、遞減數(shù)列的概念是什么？ 提示：在數(shù)列an中，若anan+1，則數(shù)列an是遞減數(shù)列.,【解析】1.選C.1，2，3，5，7是一個(gè)集合，所以A 錯(cuò)；由于數(shù)列的項(xiàng)是有順序的，所以B錯(cuò)；數(shù)列 的第k項(xiàng)是 C正確；而D中數(shù)列應(yīng)表示為 2(n-1). 2.選C.A是遞減數(shù)列，B是擺動(dòng)數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故選C.,【方法技巧】處理數(shù)列分類問題的技巧 (1)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列.

7、 判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.,(2)數(shù)列的單調(diào)性. 若滿足anan+1，(nN*)則是遞減數(shù)列；若滿足an=an+1，(nN*)則是常數(shù)列；若an與an+1(nN*)的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列.,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列 ，那么這個(gè)數(shù)列是 () A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列 C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列,【解析】選A.因?yàn)閍n+1-an= 0,所以an+1an，故該數(shù)列是遞增數(shù)列.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的是() A.數(shù)列3，5，7與數(shù)列7，5，3是相同數(shù)列 B.數(shù)列2，3，4，4可以記為2，3，4 C.數(shù)列1，

8、可以記為 D.數(shù)列2n+1的第5項(xiàng)是10,【解析】選C.A.數(shù)列是有序的，B.數(shù)列與數(shù)集是兩個(gè)不同的概念，D.當(dāng)n=5時(shí)，a5=25+1=11.,類型二 用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式 【典例】1.(2015鄭州高二檢測)觀察以下公式 an= an=(-1)n an= 可以作為數(shù)列 ，0， ，0， ，0，通項(xiàng)公式的是 _.,2.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使其前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù). (1) (2)-1，3，-5，7，-9， (3)a，b，a，b，a，b， (4)9，99，999，9 999，,【解題探究】1.典例1中，如何判斷一個(gè)公式是否可以作為一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式？ 提示：把n依次換為1，2，3，進(jìn)

9、行驗(yàn)證，看是否與數(shù)列中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)相同即可.,2.典例2(1)是帶分?jǐn)?shù)如何處理？ (2)中一負(fù)一正怎樣處理？ (3)中數(shù)列可看成是哪兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和？ (4)中每一項(xiàng)加1會(huì)得到什么結(jié)果？再觀察有何特點(diǎn)？,提示：(1)把每一項(xiàng)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分. (2)一正一負(fù)可通過(-1)n來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換. (3)可看作是數(shù)列a，0，a，0，與數(shù)列0，b，0，b，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和. (4)得到：10，100，1 000，可以寫成10n的形式.,【解析】1.分別令n=1，2，3，可以看出公式可以作為已知數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：,2.(1)這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的整數(shù)部分分別為1，2，3，4， ，恰好是序號(hào)n；分?jǐn)?shù)部分分別為 ，與序

10、號(hào)n的關(guān)系是 ，所以這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an= (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1，3，5，7，9，是連續(xù)的正奇數(shù)；考慮(-1)n具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n(2n-1).,(3)數(shù)列1，0，1，0，的通項(xiàng)公式為 ，數(shù)列 0，1，0，1的通項(xiàng)公式為 ，因此數(shù)列a，0， a，0的通項(xiàng)公式為 ，數(shù)列0，b，0，b， 的通項(xiàng)公式為 ，所以數(shù)列a，b，a，b，a，b， 的通項(xiàng)公式為an=,(4)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10n-1.,【方法技巧】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題思路 (1)先

11、統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等. (2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解析式.,(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(-1)n或(-1)n+1處理符號(hào). (4)對(duì)于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.,【變式訓(xùn)練】寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1) (2) (3) (4)5，55，555，5 555，,【解析】(1)分母依次是2，4，8，即2n，而分子比分母少1，所以通項(xiàng)公式為an= (2)將分母統(tǒng)一為2，分子恰為平方數(shù)，所以通項(xiàng)公式為an=,(3)此數(shù)列的每一項(xiàng)分為三部分：分子、分母、符號(hào).

12、奇數(shù)項(xiàng)都為負(fù)，且分子都是1，偶數(shù)項(xiàng)都為正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，正負(fù)號(hào)可以用 (-1)n調(diào)整.,由于1=2-1，3=2+1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式可合寫成 an= (4)將數(shù)列各項(xiàng)寫為 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= (10n-1).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列1， 的一個(gè)通項(xiàng)公式為_. 【解析】奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可由(-1)n-1來實(shí)現(xiàn)，分子全為1，分母依次為20，21，22，23， 所以an= ，即an= 所以通項(xiàng)公式為an= 答案：an=,類型三 數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用 【典例】1.已知數(shù)列 則0.96是該數(shù)列的() A.第22項(xiàng)B.第24項(xiàng) C.第26項(xiàng)D.第28項(xiàng),2.已知數(shù)列

13、an的通項(xiàng)公式為an= (1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng). (2)試問 是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由.,【解題探究】1.典例1中如何判斷給出的數(shù)值是該數(shù)列的項(xiàng)？ 提示：先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，列方程求n，根據(jù)nN*判斷.,2.典例2中如何根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)或項(xiàng)？ 提示：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要將數(shù)列中的項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)代入通項(xiàng)公式，就可以求出項(xiàng)數(shù)或項(xiàng).,【解析】1.選B.因?yàn)橥?xiàng)公式為an= ，則有 解得n=24.,2.(1)因?yàn)閍n= ，所以a4= a6= (2)令 則n2+3n-40=0，解得n=5或n=-8，注意到nN*， 故將n=-8舍去，所以 是該數(shù)列的第5

14、項(xiàng).,【延伸探究】 1.(變換條件)若將典例2(2)中的“ ”變?yōu)椤?”，其他條件不變，結(jié)果如何？ 【解析】令 ，則4n2+12n-27=0， 解得n= 或n=- ， 注意到nN*，所以 不是此數(shù)列中的項(xiàng).,2.(改變問法)若典例2條件不變，試判斷數(shù)列an的增減性. 【解析】an+1-an= = 故an+1an，故數(shù)列an為遞減數(shù)列.,【方法技巧】 1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法 數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).,2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法 先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)

15、，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng).,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= 其中nN*. (1)寫出a10，an+1和 (2)79 是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說明理由.,【解析】(1)a10= (2)令 則n2+n-240=0，解得n=15或n=-16. 注意到nN*，故將n=-16舍去， 所以 是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第15項(xiàng).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4. (1)求數(shù)列an中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù). (2)當(dāng)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.,【解析】(1)令an=n2-5n+40，解得1n4，因?yàn)閚N*，所以n=2，3，即數(shù)列有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù). (2)an=n2-5n+4= 其對(duì)稱軸為n= ，所以當(dāng)n=2或3時(shí)，an取得最小值，最小值為-2.,易錯(cuò)案例 數(shù)列中的最值問題 【典例】(2015青島高二檢測)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n2+21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是 ( ) A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng) C.第4項(xiàng)或第5項(xiàng) D.第5項(xiàng)或第6項(xiàng),【失誤案例】,【錯(cuò)解分析】分析解題過程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：沒注意到n=5和n=6時(shí)，哪一個(gè)距離n= 更近，從而找出最大項(xiàng).,【自我矯正】選A.an= 因?yàn)閚N*，5 6，且a5=55，