1、2.5 平面向量應用舉例,1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”,向量,向量問題,運算,2.向量在物理學中的應用 (1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決. (2)物理學中的功是一個標量，即為力F與位移s的數(shù)量積.即W=Fs=|F|s|cos(為F與s的夾角).,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)若ABC是直角三角形，則有 ( ) (2)若 則直線AB與CD平行.( ) (3)向量 的夾角與直線AB,CD的夾角不相等.( ),【解析】(1)錯誤.因為ABC是直角三角形，并不一定B是直 角，有可能A或C是直角，

2、故 不一定成立. (2)錯誤. 所以直線AB與CD平行或重合，故直線AB與 CD平行的結(jié)論不一定正確. (3)正確.直線AB,CD的夾角范圍是 當 與 的夾角是銳角或直角時， 即為直線AB與CD的夾角，否則不是直線AB與CD的夾角. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若向量 =(3,3)， =(3,2)分別表示兩個力f1，f2， 則|f1+f2|為_. (2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，則ABC的形狀為_. (3)已知A，B，C，P是同一平面內(nèi)四個點， 且 則 =_.,【解析】(1)因為 =(3,3)+(3,2)=(0,5)， 所以

3、所以|f1+f2|=5. 答案：5 (2)因為 (21,32)(1,1)， (21,52)(3,3)， 所以 1(3)130，所以 且 所以ABC是直角三角形. 答案：直角三角形.,(3)因為 所以 即 所以 所以點P在線段AC上，且|PC|PA|=2， 所以 答案：3,【要點探究】 知識點 1 向量在平面幾何中的應用 向量方法在平面幾何中應用的五個主要方面 (1)要證明兩線段相等，如ABCD，則可轉(zhuǎn)化為證明： (2)要證明兩線段平行，如ABCD，則只要證明：存在實數(shù) 0，使 成立，且AB與CD無公共點.,(3)要證明兩線段垂直，如ABCD，則只要證明數(shù)量積 (4)要證明A，B，C三點共線，只

4、要證明存在一實數(shù)0， 使 (5)要求一個角，如ABC，只要求向量 與向量 的夾 角即可.,【微思考】 (1)若向量 則一定有ABCD嗎？ 提示：不一定.若向量 則AB與CD共線或ABCD. (2)與角有關的幾何問題，首先要想到聯(lián)系向量哪種運算？ 提示：與角有關的幾何問題，首先要想到聯(lián)系向量數(shù)量積運算.,【即時練】 (2014大慶高一檢測)已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點， 且向量 滿足等式 則四邊形 ABCD的形狀為_. 【解析】因為 所以 所以 所以四邊形ABCD為平行四邊形. 答案：平行四邊形,知識點 2 向量在物理中的應用 向量在物理中應用時要注意的三個問題 (1)把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

5、學問題，也就是將物理量之間的關系抽象成數(shù)學模型. (2)利用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關的物理現(xiàn)象.,(3)在解決具體問題時，要明確和掌握用向量方法研究物理問題的相關知識： 力、速度、加速度和位移都是向量； 力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、減法； 動量mv是數(shù)乘向量; 功是力F與在力F的作用下物體所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.,【知識拓展】“矢量”與“向量”的關系 (1)物理學研究的基本量之一是矢量.物理學中的矢量既有大小和方向，又有作用點.如力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等都是物理學中研究的矢量，這些量貫穿于物理學的許多分支.,(2)矢量是現(xiàn)實存在的，在日常生活中可以觀

6、察、感受到的.物理中的矢量是數(shù)學中的向量的現(xiàn)實原型，為數(shù)學中的向量提供了豐富的物理背景.物理中的矢量與向量的差別只在于，矢量不但有大小和方向，而且還要考慮作用點；而向量和作用點無關.,【微思考】 (1)向量加法的平行四邊形法則、三角形法則的物理模型分別是什么？ 提示：向量加法的平行四邊形法則的物理模型是力(速度)的合成與分解.向量加法的三角形法則的物理模型是位移的合成. (2)向量數(shù)量積運算的物理背景是什么？ 提示：向量數(shù)量積運算的物理背景是力做功的計算.,【即時練】 已知力F與水平方向的夾角為30(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運動了2

7、0 m，問力F、摩擦力f所做的功分別為多少？,【解析】設木塊的位移為s， 則Fs|F|s|cos 305020 (J)， F在豎直方向上的分力大小為 |F|sin 3050 25(N)， 所以摩擦力f的大小為|f|(8025)0.021.1(N)， 所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22(J). 所以力F，摩擦力f所做的功分別為 J，22 J.,【題型示范】 類型一 向量在平面幾何中的應用 【典例1】 (1)(2013福建高考)在四邊形ABCD中， 則該四邊形的面積為( ) A. B. C.5 D.10,(2)已知ABC中，A=60，BC=a，AC=b，AB=c，AP是BC邊上的

8、中線，則AP的長為( ) (3)已知ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC邊的中點，BEAD，延長BE交AC于F，連接DF，求證：ADBFDC.,【解題探究】1.題(1)中，如何判斷AC與BD的位置關系？ 2. 與 的夾角是多少？如何利用 與 表示向量 ？ 3.ADB，F(xiàn)DC可以分別作為哪兩個向量的夾角？如何計算這 兩個角的余弦值？,【探究提示】1.根據(jù) 與 坐標間的關系可判斷出AC與BD的 位置關系. 2. 與 的夾角是60.根據(jù)平行四邊形法則和兩個向量共 線的條件，可以用 與 表示向量 . 3.ADB，F(xiàn)DC可以分別作為 與 ， 與 的夾角.可 以建系,利用向量數(shù)量積坐標運算計算FDC的

9、余弦值，在 RtABD中求ADB的余弦值.,【自主解答】(1)選C.因為 所以AC,BD是互相垂直的 對角線，所以 (2)選B.因為AP是BC邊上的中線， 所以向量 所以 = = 所以 即AP的長為,(3)如圖所示，建立平面直角坐標系，不妨設A(2,0)， C(0,2)，則D(0,1)，于是 設F(x，y)，由 得 即(x，y)(2,1)0， 所以2xy0. 又F點在AC上，則 因為 (x,2y)， 所以2(-x)(2)(2y)0，即xy2. ,由、式解得 所以 又 所以cosFDC 又因為在RtABD中，cosADB 所以cosADBcosFDC，故ADBFDC.,【方法技巧】平面幾何向量解

10、法的兩種思路 (1)基向量法 選擇適當?shù)钠矫嫦蛄繛橐阎蛄炕蚧蛄?，將其他向量用已知向量或基向量表示出來，利用向量運算的幾何意義通過運算來解決. (2)坐標法 建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢⑺枰南蛄坑米鴺吮硎?，利用向量的坐標運算法則來解決.,【變式訓練】已知DE是ABC的中位線，用向量的方法證明： 且DEBC. 【證明】易知 所以 即 又D不在BC上，所以DEBC.,【補償訓練】已知O為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足 求證： 【證明】設 則 =c-b, =a-c, =b-a. 由題設： 化簡得：a2+(c-b)2=b2+(a-c)2，得：cb=ac， 從而 =(b-a)c=bc-ac=0，所以

11、,類型二 向量在物理中的應用 【典例2】 (1)河水從東向西流，流速為2 km/h，一艘船以 km/h垂直于水流方向向北橫渡，則船實際航行的速度的大小是_.,(2)已知兩個力f1=(1,2),f2=(4，5)(單位：牛頓)作用于同一質(zhì)點，此質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由A(7,0)移動到B(20,15)(單位：米)，試求： f1,f2分別對質(zhì)點所做的功； 求f1,f2的合力對質(zhì)點所做的功.,【解題探究】1.題(1)中，船在河水中航行要考慮哪三個速度? 2.題(2)中，如何用坐標表示質(zhì)點的位移？求力做功可以利用向量的哪種運算？ 【探究提示】1.水流的速度、船在靜水中的速度、船的實際速度. 2.用

12、終點坐標減去起點坐標可以求出質(zhì)點的位移的坐標.求力做功可以利用向量數(shù)量積運算.,【自主解答】(1)由題意，如圖, 表示水流速度， 表示 船在靜水中的速度, 則 表示船的實際速度. 則 AOB=90, 所以 所以船實際速度的大小為4 km/h. 答案：4 km/h,(2)因為A(7，0)，B(20，15)，所以 =(13，15)， 所以W1=f1 =(1，2)(13，15)=113+215=43， W2=f2 =(4，-5)(13，15)=413+(-5)15=-23. 所以f1，f2所做的功分別為43焦和-23焦. f=f1+f2=(5，-3)， W=f =(5，-3)(13，15)=513+

13、(-3)15=20. 所以f1和f2的合力所做的功為20焦.,【方法技巧】用向量解決物理中相關問題的步驟 (1)轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題. (2)建模：建立以向量為主體的數(shù)學模型. (3)求解：求出數(shù)學模型的相關解. (4)回歸：回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.,【變式訓練】一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1，F(xiàn)2成120角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為1和2，求F1與F3所成的角. 【解題指南】先根據(jù)三個力的合力F1+F2+F3=0，然后計算F3的大小，最后求角.,【解析】由題意知F1+F2+F3=0，所以F3=-(F1

14、+F2). 如圖， 在平行四邊形OACB中， OAC60， 所以 =12212cos 6022=3，所以 所以AOC90，即 所以F1F3， 即F1與F3所成的角為90.,【補償訓練】(2013鞍山高一檢測)共點力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移s=(2lg5，1)，則共點力對物體做的功W為() A.lg2 B.lg5 C.1 D.2 【解析】選D.F1與F2的合力F=(lg2+lg5，2lg2)=(1，2lg2)，又s=(2lg5，1)，所以W=Fs=2lg5+2lg2=2.,拓展類型 向量在解析幾何中的應用 【備選例題】(1)在直角坐標系xOy中，

15、設 則線段BC中點M(x，y)的軌跡方程是_. (2)過點 的直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點， 若 求直線l的方程.,【解析】(1)由題意知： 則B(-t，-2)，C(-3，t)由中點坐標公式知2x=-t-3，2y= -2+t,消t得線段BC中點M(x，y)的軌跡方程為2x+2y+5=0 答案：2x+2y+5=0 (2)設A(a,0),B(0,b)，則 由 得 所以 所以直線l的方程為,【方法技巧】向量法解決解析幾何問題的關鍵點及常用知識 (1)關鍵點 向量法解決平面解析幾何問題的關鍵是把點的坐標轉(zhuǎn)換成向量的坐標，然后進行向量的運算. (2)常用知識 相等向量、共線向量、垂直向量的坐標形式經(jīng)常用到，必須熟練掌握.,【易錯誤區(qū)】忽視向量表達式中蘊含的幾何意義致誤 【典例】(2014石家莊高一檢測)平面上有四個互異的點A， B，C，D，已知 則ABC的形狀 為( ) A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形,【解析】選D.因為 所以 所以 所以 所以 所以ABC是等腰三角形.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.注意向量運算律的應用 對已知向量運算表達式恰當變形，可以更容易利用向量運算的 幾何意義.如本例中，注意到 更容易將已知條件進行變形. 2.重視向量運算幾何意義的應用和理解 恰當應用向量運算幾何意義可以將向量表達式進行簡化，發(fā)現(xiàn)