1、,1,第六章,圖像的幾何變換,2,第六章 圖像的幾何變換,原則上，所有圖像處理都是圖像的變換。 圖像變換特指數(shù)字圖像經(jīng)過某種數(shù)學(xué)工具的處理，把原先二維空間域的數(shù)據(jù)，變換到另外一個(gè)“變換域”形式描述的過程。 如：傅立葉變換將時(shí)域或空域信號(hào)變換成頻域的能量分布描述。 通常“另外一個(gè)變換域” 更集中地代表了圖像中的有效信息，或者是更便于達(dá)到某種處理目的。,3,4,第六章 圖像的幾何變換,幾何變換是一種簡(jiǎn)單的變換。 幾何變換仍然在空間域。 幾何變換的許多算法與圖形學(xué)相似。 幾何變換包括： 平移， 旋轉(zhuǎn)， 鏡象變換， 轉(zhuǎn)置， 放縮等。 幾何變換基于矩陣運(yùn)算。,5,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）

2、： 矩陣： 由mn個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡(jiǎn)稱mn階矩陣。 Amn = 其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素。,6,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）： 矩陣加法 設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣： A+B = 對(duì)應(yīng)位置的元素相加； 只有在兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相同時(shí)才能加法。,7,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）： 矩陣的乘法 只有當(dāng)前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時(shí)兩個(gè)矩陣才能相乘。 C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj 例：設(shè)A為2x3的矩陣，B為3x2的矩陣，則兩者的乘積為：,k=1,n,8,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）

3、： 方陣： nxn階矩陣稱為（n階）方陣。 單位矩陣 在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。 n階單位矩陣通常記作In，并有： Amn = Amn In Amn = Im Amn,9,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）： 矩陣的轉(zhuǎn)置 交換一個(gè)矩陣Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩陣被稱為原有矩陣的轉(zhuǎn)置，記為AT： (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = a AT (AB)T = BT AT 當(dāng)A為n階矩陣，且A= AT ，則 A是對(duì)稱矩陣。,10,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）： 矩陣的逆 對(duì)于一個(gè)n

4、xn的方陣A，如果存在一個(gè)nxn的方陣B，使得 AB=BA=In，則稱B是A的逆，記為： B=A-1， A則被稱為非奇異矩陣。 矩陣的逆是相互的，A同樣也可記為A = B -1 ，B也是一個(gè)非奇異矩陣。 任何非奇異矩陣有且只有一個(gè)逆矩陣。,11,6.1 復(fù)習(xí),1. 矩陣及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)）： 矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)： 交換律與結(jié)合律： A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 數(shù)乘的分配律及結(jié)合律： a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩陣乘法的結(jié)合律及分配律： A(B C) = (A B)

5、C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B 矩陣的乘法不適合交換律。,12,6.1 復(fù)習(xí),2. 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng) 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)在文本方式與圖形方式下是不同的： 文本方式下屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)以字符為單位，從1開始； 圖形方式下屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)以象素為單位，從0開始。 圖形方式下屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)用以確定某一象素在屏幕上的位置。 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)的概念有： 物理坐標(biāo)； 視口坐標(biāo)； 窗口坐標(biāo)。,13,6.1 復(fù)習(xí),2. 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng) 1） 物理坐標(biāo) 物理坐標(biāo)取決于圖形硬件系統(tǒng)，坐標(biāo)取值總是正整數(shù)； 原點(diǎn)0，0在屏幕左上角； x向右為正； y向下為正； x、 y的最大值取決于顯示模式；如

6、VGA模式則為639，479。,0,0,x,y,14,6.1 復(fù)習(xí),2. 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng) 2） 視口與視口坐標(biāo) 視口是圖形方式下屏幕上的一個(gè)矩形區(qū)域，當(dāng)前圖形顯示均在當(dāng)前視口； 缺省地，視口是整個(gè)屏幕； 視口可以同時(shí)有多個(gè)，可以重疊； 視口坐標(biāo)是將原點(diǎn)移至物理坐標(biāo)系上某一點(diǎn)形成的； 視口坐標(biāo)也以象素為單位，坐標(biāo)取值總是正整數(shù)； 原點(diǎn)0，0在視口左上角； x向右為正； y向下為正； x、 y的最大值取決于視口的大?。ㄏ笏?cái)?shù)）。,0,0,x,y,0,0,x,y,15,6.1 復(fù)習(xí),2. 屏幕坐標(biāo)系統(tǒng) 3）窗口與窗口坐標(biāo) 可將當(dāng)前視口設(shè)置成圖形窗口，窗口使用窗口坐標(biāo)系。 窗口坐標(biāo)系是將當(dāng)前視口的坐標(biāo)系

7、重新設(shè)置形成的。 窗口坐標(biāo)系可以是實(shí)數(shù)或雙精度實(shí)數(shù)，可有任意取值。 通常，窗口坐標(biāo)系可按人們習(xí)慣的形式設(shè)置為： x向右為正， y向上為正，原點(diǎn)可以在任意位置。 一般地，用戶在圖形系統(tǒng)中使用窗口坐標(biāo)系，圖形系統(tǒng)底層在將圖形輸出到顯示屏幕時(shí)將窗口坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到視口坐標(biāo)。,0,0,x,y,0,0,x,y,16,6.2 齊次坐標(biāo),所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè) n+1維向量來表示。如向量 的齊次坐標(biāo)表示為： 其中h是一個(gè)實(shí)數(shù)。 顯然一個(gè)向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標(biāo)的h取不同的值都表示的是同一個(gè)點(diǎn)，比如齊次坐標(biāo)8,4,2、4,2,1表示的都是二維點(diǎn)。 通常都采用規(guī)格化的齊次坐標(biāo)，即取 h

8、 =1。(x,y) 的規(guī)格化齊次坐標(biāo)為 (x,y,1)。 齊次坐標(biāo)的幾何意義：可理解為在三維空間上第三維為常數(shù)的一平面上的二維向量。,17,6.2 齊次坐標(biāo),齊次坐標(biāo)的作用： 將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示： 提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。 便于表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 例如：（x*h, y*h, h)，令h等于0 實(shí)際上就表示了n維空間的一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 對(duì)于齊次坐標(biāo)a,b,h，保持a,b不變， h0的過程就表示了在二維坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)沿直線 ax+by=0 逐漸走向無窮遠(yuǎn)處的過程。,18,6.3 幾何變換的變換矩陣,二維齊次坐標(biāo)變換的矩陣的

9、形式是： 這個(gè)矩陣每一個(gè)元素都是有特殊含義的。 其中 可以對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換； 是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換； 是對(duì)圖形作投影變換； 則是對(duì)圖形整體進(jìn)行縮放變換。,19,6.3 幾何變換的變換矩陣,標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,1) 平移 旋轉(zhuǎn) 縮放,X Y 1,=,X Y 1,1 0 dx 0 1 dy 0 0 1,cosa -sina 0 sina cosa 0 0 0 1,X Y 1,=,X Y 1,X Y 1,=,Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1,X Y 1,20,6.3 幾何變換的變換矩陣,1.平移變換 從點(diǎn)Px,y平移到點(diǎn)Px,y x = x + m y = y + n,

10、P(x,y),P(xy),m,n,X,Y,21,6.3 幾何變換的變換矩陣,2. 旋轉(zhuǎn)變換 一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?(x,y),(x,y),22,6.3 幾何變換的變換矩陣,3. 比例變換,P(x,y),P(x,y),x = x*sx y= y*sy,Sx = Sy： 均勻縮放。 Sx = Sy 1，放大 Sx = Sy 1，縮小 Sx 不等于Sy時(shí)，沿坐標(biāo)軸方向伸展和壓縮,Y,X,23,6.3 幾何變換的變換矩陣,4. 對(duì)稱變換 對(duì)稱變換其實(shí)只是a、b、d、e取0、1等特殊值產(chǎn)生的一些特殊效果。例如： 當(dāng)b=d=0，a=-1，e=1時(shí)有x= -x，y=y，與y軸對(duì)稱； 當(dāng)b=d

11、=0，a=1，e=-1時(shí)有x=x，y= -y，與x軸對(duì)稱； 當(dāng)b=d=0，a=e=-1時(shí)有x= -x，y= -y，與原點(diǎn)對(duì)稱； 當(dāng)b=d=1，a=e=0時(shí)有x=y，y=x，與直線y=x對(duì)稱； 當(dāng)b=d=-1，a=e=0時(shí)有x= -y，y= -x，與直線y=-x對(duì)稱。,24,6.3 幾何變換的變換矩陣,4. 對(duì)稱變換 關(guān)于X軸的對(duì)稱變換 P(x,y) 對(duì)稱點(diǎn)為 P(x, -y) 關(guān)于Y軸的對(duì)稱變換 P(x,y)對(duì)稱點(diǎn)為P(-x, y) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換 P(x,y) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(-x,-y),25,6.3 幾何變換的變換矩陣,5. 錯(cuò)切變換 (SHEAR) 當(dāng)d=0時(shí)，x= x+

12、by，y= y，此時(shí)，圖形的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)隨初值（x，y）及變換系數(shù)b作線性變化。 當(dāng)b=0時(shí)，x=x，y=dx+y，此時(shí)，圖形的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)隨初值（x，y）及變換系數(shù)d作線性變化。,26,6.3 幾何變換的變換矩陣,5. 錯(cuò)切變換 (SHEAR) (1) 沿x方向產(chǎn)生錯(cuò)切 x = x + y*tag() y = y (2) 沿y方向產(chǎn)生錯(cuò)切 x = x y = y +x * tag(),(x,y),(x,y),(x,y),(x,y),Y,X,Y,X,27,6.3 幾何變換的變換矩陣,6. 常用變換實(shí)例：,28,6.3 幾何變換的變換矩陣,7. 復(fù)合變換 復(fù)合變換的一般方法： 例：關(guān)

13、于任意參照點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 例：關(guān)于任意參照點(diǎn)的縮放變換,變換分解,變換合成,29,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,1. 平移(Translation)： 可能部分圖像移出原圖： 空白處的處理； 裁剪； 原圖是否放大。,30,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,2. 旋轉(zhuǎn)(Rotation)： 基點(diǎn)； 可能部分圖像轉(zhuǎn)出原圖： 空白處的處理； 裁剪； 原圖是否放大。 圖像旋轉(zhuǎn)時(shí)得到的坐標(biāo)可能并不是整數(shù)，需處理。,31,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,2. 旋轉(zhuǎn)(Rotation)：,旋轉(zhuǎn)前的圖,旋轉(zhuǎn)后的圖轉(zhuǎn)出的部分被裁掉,旋轉(zhuǎn)后保持原圖大小,32,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,2. 旋轉(zhuǎn)(Ro

14、tation)：,旋轉(zhuǎn),插值,33,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,3.鏡象(mirror)： 水平鏡象為 垂直鏡象為 對(duì)稱軸。,34,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,4.轉(zhuǎn)置(transpose) ： 轉(zhuǎn)置是指將x,y坐標(biāo)對(duì)換； 轉(zhuǎn)置后圖的寬高對(duì)換。 轉(zhuǎn)置的變換矩陣 ：,35,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,5.縮放（zoom）： 平移、旋轉(zhuǎn)、鏡象、轉(zhuǎn)置一般不涉及像素顏色； 放縮的變換矩陣 ： 放縮也有基點(diǎn)； 圖像放縮時(shí)得到的坐標(biāo)可能并不是整數(shù)，即產(chǎn)生新的像素，需要圓整并插值（Interpolation），即利用鄰域的像素來估計(jì)新的像素值。 圖像縮小之后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫布

15、可相應(yīng)縮小。反之亦然。,36,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,5.縮放（zoom）： 圖像的縮小 圖像的縮小一般分為按比例縮小和不按比例縮小兩種。 圖像按比例縮?。鹤詈?jiǎn)單的是減小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像。 如果圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行列。,K=1/3,37,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,5.縮放（zoom）： 圖像的放大 圖像的縮小操作中，是在現(xiàn)有的信息里如何挑選 所需要的有用信息。 圖像的放大操作中，則需對(duì)尺寸放大后所多出來的空格填入適當(dāng)?shù)闹?，這是信息的估計(jì)問題，所以較圖像的縮小要難一些。 一般分為按比例縮小和不按比例縮小兩種： 按比例

16、放大：如果需要將原圖像放大k倍，則將一個(gè)像素值添在新圖像的k*k的子塊中。 任意不成比例放大：這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來圖像的幾何畸變。 圖像放大倍數(shù)太大，會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。,38,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,5.縮放（zoom） 不成比例縮放,39,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,6.錯(cuò)切變換 錯(cuò)切之后原圖像的像素排列方向改變。與前面旋轉(zhuǎn)不同的是，x方向與y方向獨(dú)立變化。 圖像的錯(cuò)切變換實(shí)際上是景物在平面上的非垂直投影效果。,40,6.4 圖像幾何變換中的特殊問題,7. 圖像卷繞（扭曲）（Image Warping） 圖像卷繞是通過指定一系列控制點(diǎn)的位移來定義空間變換的圖像變形處理。非控制點(diǎn)的位移根據(jù)控制點(diǎn)插值確定。 有時(shí)利用多項(xiàng)式函數(shù)來來擬合控制點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這時(shí)稱為多項(xiàng)式卷繞（