1、48-1,48-2,48-3,48-4,48-5,48-6,48-7,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,48-9,48-10,例2.6.7,證,48-12,48-13,48-14,1.跳躍間斷點,例4,解,2.可去間斷點,例2.6.7,解,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,如上例中,特點,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,例6,解,4、振蕩間斷點：如果 在點 處無極限且函數(shù)值在某兩個最值間變動無限多次，則稱 為函數(shù) 的振蕩間斷點.,例2.6.8,在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點類型:,函數(shù),例2.6.9,解,例2

2、.6.10函數(shù) 在點 是否間斷?屬于那種類型?能否補充或改變函數(shù)在該點定義使之連續(xù)? 解 函數(shù) 在點 沒有定義,所以 是函數(shù)的間斷點.對于 , .,因為 ,所以 是第一類間斷點 . 令 ,即可使函數(shù)在 處連續(xù). 對于 , 因為 ,所以 是第二類間斷點且為無窮間斷點 .,48-26,48-27,48-28,48-29,48-30,48-31,定理2.6.4,證,將上兩步合起來:,意義,1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;,例1,解,例2,解,同理可得,定理2.6.5,例如,48-37,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),

3、定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.,注意,注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,例3,例4,解,解,小結(jié),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.,復合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別; 求極限的又一種方法.,兩個定理; 兩點意義.,反函數(shù)的連續(xù)性.,思考題,思考題解答,是它的可去間斷點,等價無窮小替換,定理(等價無窮小替換定理),證,48-46,例2.6.16,解,例2.6.17,解,48-49,48-5

4、0,小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,思考題,思考題解答,且,但反之不成立.,例,但,48-56,48-57,48-58,48-59,48-60,48-61,48-62,48-63,48-64,48-65,48-66,48-67,例2.6.26,證,由零點定理,小結(jié),四個定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;