1、3 . 高階導數(shù),函數(shù) f (x) 的導數(shù) f (x) 又稱為 f (x) 的一階導數(shù)(導函數(shù)),則稱其為 y = f (x) 的二階導數(shù)，記為,已知位置函數(shù) s = s(t)，則時刻 t 的速度,仍是 t 的函數(shù)，,稱為運動的加速度，,a =,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)，,一般，n 1 階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù),記作,二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù)。,例 題,例1：,解：,例2：,解：,例3：,試從,導出,證：,求 n 階導數(shù)方法：,多次接連地求導數(shù)，直至找到規(guī)律。,例：,求下列函數(shù)的 n 階導數(shù)：,顯然 y(n+1) = 0 .,n 次多項式的一切高于 n 階的導數(shù)均為 0 .,解：

2、,一般：,解：,特別，當 a = e 時，,解：,解：,解：,解：,同理，,解：,解：,若 u(x), v(x) 在點 x 處都具有 n 階導數(shù)，,則有：, 萊布尼茲公式,萊布尼茲 (1646 1716),德國數(shù)學家, 哲學家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人,他在學藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.,他還設計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計,數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.,例：,解：,00年考研題,例：,解：,很難再處理下去!,現(xiàn)利用著名的歐拉公式,換一種方法求解.,例：,現(xiàn)利用著名的歐拉公式,換一種方法求解.,注: 這一結論也可由數(shù)

3、學歸納法求得.,課 外 作 業(yè),習題 2 3(A),1(2, 6),習題 2 3(B),1(3, 6, 10), 2(3), 3, 7,4. 隱函數(shù)的導數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù),一、隱函數(shù)的導數(shù),如果在方程 F(x, y) = 0 中, 當 x 在某區(qū)間內(nèi)取 任一值時, 相應地總有滿足這方程的唯一的 y 值存 在,那么就說方程F(x, y) = 0在這區(qū)間內(nèi)確定了一個 隱函數(shù)。, 顯函數(shù), 隱函數(shù),把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程，叫做隱 函數(shù)的顯化。,對 y 5 + 2y - x = 0,必存在 y = f (x),對隱函數(shù)的求導方法：, 方程兩邊同時對 x 求導；, 方程中函數(shù)( 如

4、y ) 看成中間變量。,在第十章中將會說明，,但因無法解出 y 而不能顯化。,例 題,例1：,解：,方程兩邊同時對 x 求導 ：,例2：,求由方程 x ln y + e x + y = e 所確定的隱函數(shù) y = f (x) 在 x = 0 處的切線方程與法線方程。,解：,方程兩邊對 x 求導, 得,解：,在 x = 0 處的切線方程：,即點 (0,1) 處,法線方程：,例2：,求由方程 x ln y + e x + y = e 所確定的隱函數(shù) y = f (x) 在 x = 0 處的切線方程與法線方程。,例3：,解：,方程兩邊對 x 求導 ：,在(*)兩邊再對 x 求導：,(*),對數(shù)求導法

5、,1.對因式的積商求導,例：,解：,兩邊取對數(shù)：,兩邊對x求導：,2.對冪指函數(shù) y = u(x)v (x) 求導,例1：,解一：,利用復合函數(shù)求導法則，,解二：,兩邊取對數(shù)：,利用對數(shù)求導法,兩邊求導數(shù)：,例2：,解：,兩邊取對數(shù)：,兩邊再取對數(shù)：,兩邊求導數(shù)：,例3：,解：,兩邊取對數(shù)：,兩邊對 y 求導：,二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù),其中：,例 題,例1：,解：,例2：,切線方程與法線方程。,解：,三、相關變化率,設函數(shù) x = x( t ), y = y( t ) 均可導，,這種相互依賴的變化率稱為相關變化率。,從其中一個變化率可求出另一個變化率。,而變量 x 與 y 間存在某種

6、關系, 從而變化率,方法,1.建立變量 x 與 y 的等量關系；,2.關系式中 x , y 都對第三個變量 t 求導；,3.從一個已知變化率求另一相關變化率。,設在 t 時刻容器中的水深 為 h，水的體積為 V，,例：注水入深8米、上頂直徑8米的正圓錐形容器 中，其速率為每分鐘4立方米。 當水深為5米時，其表面上升的速率為多少？,解：,r,h,兩邊對 t 求導，得：,當 h = 5 時，,代入上式，得：,課 外 作 業(yè),習題 2 4(A),1(3, 5), 3, 4(4, 6),習題 2 4(B),1(2), 2, 3(2, 3), 5, 11,5. 函數(shù)的微分,對y = f (x) , 當

7、x 有增量,的函數(shù)，,再如：y = x 4,要找簡單的便于計算的y 的近似表達式。,一、微分的定義,如：y = cos x ,1. 引例,一塊邊長為 x0 的正方形金屬薄片，受熱膨脹 后邊長為 x0 + x , 求薄片面積的改變量。,x0,x0,x02,x0 + x,x,x,x2,正方形面積：,面積改變量：,對滿足一定條件的函數(shù) y = f (x)， 當自變量在點 x 處有增量 x 時，我們的目標是尋求函數(shù)的增量 y 關于 x 的一次近似式，且使近似的誤差是 x 的高階無窮小。,2. 微分的定義,其中A是不依賴于x的常數(shù),則稱 y = f (x) 在點 x0 是可微的, 且,微分。,記作 dy

8、 , 即 dy = Ax .,3.函數(shù)可微的條件,定理：,函數(shù) f (x) 在點 x0 處可微,函數(shù) f (x) 在點 x0 處可導,證：, f (x) 在點 x0 處可微，,f (x) 在點 x0 處可導。,說明：,變量 x 的一個任意增量, 且與 x 無關。,所以 f (x) 可微。,是自,稱 dy 為 y 的線性主部 (當x 0).,(4) 為統(tǒng)一起見, 也稱x為自變量 x 的微分,記作 dx , 即 x = dx ,在 x0 處的微分,(5) f (x) 在任意點處的微分稱為函數(shù)的微分,又稱為 “微商”。,例 題,例1：,解：,= 0 ；,(1),(2),例2：,例3：,解：,解：,M

9、,N,f (x),dy,x,微分是函數(shù)的局部線性化,用切線增量近似曲線增量,dy,dy =,在圖上是哪條線段？,= tan x,二、微分的幾何意義,y,三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運 算法則,1. 基本初等函數(shù)的微分公式,參見教材第 147 頁。,2. 微分的四則運算法則,設 u(x), v(x) 可微，則,(C:常數(shù)),3. 復合函數(shù)的微分法則,無論變量 u 是自變量還是中間變量，其微 分形式都保持不變，微分的這種性質(zhì)稱為一階 微分形式的不變性。,例1：,例2：,填空：,解：,例3：求下列函數(shù)的微分,解：,= 0,四、 微分在近似計算中的應用,在實際工作中，測量或計算數(shù)據(jù)時，常常要求用比較簡單的計算方法得到一定精度的計算結果，這就提出了近似計算問題。,這里我們介紹一種利用微