1、2.6 方形鏡共焦腔的行波場,一、方形鏡對稱共焦腔的行波場 厄米-高斯光束,1、推導(dǎo)方法,菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式,腔內(nèi)、外任一點(diǎn)的場,鏡面上的場,2、腔中的場分布), 在厄米-高斯近似下,E0，Amn, w0 均為常數(shù),w 0 : 基模高斯光束腰斑半徑,特點(diǎn) : (1) Emn(x, y, z )是由腔的一個鏡面上的場產(chǎn)生，并沿著腔的軸線而傳播的行波場。,(2) 考慮到鏡的適當(dāng)透過率后，Emn(x, y, z )也適用于腔外的場。,二、振幅分布和光斑尺寸,1、振幅分布,(1)基模,基模截面是高斯函數(shù),(2)最初幾階橫模,2、光斑尺寸振幅下降為最大值1/e時的光斑半徑,(1)基模:振幅下降為

2、最大值1/e時的光斑半徑,特點(diǎn):a、光斑半徑隨z按照雙曲線規(guī)律變化。,b、當(dāng) z=0 時， 達(dá)到最小值,且有：,基模高斯光束的腰斑半徑,c、當(dāng) 時，即在鏡面上時，有：,(x , y),z,(2)高階模：坐標(biāo)均方差的四倍,三、模體積,1、定義：描述某一腔模在腔內(nèi)擴(kuò)展的空間體積。,2、意義：模體積大。對激活介質(zhì)能量的提取就大，對模式振蕩作貢獻(xiàn)的粒子數(shù)越多，就有可能獲得大的輸出功率。,決定一個模式能否振蕩，能獲得多大的輸出功率，與其它模式的競爭情況等。,3、對稱共焦腔基模的模體積：看成底半徑為w0，高為L的圓柱體。,四、等相位面的分布,1、與腔軸線相交于z0的等相位面的方程,2、等相面特點(diǎn),(1)

3、近似為拋物面,頂點(diǎn)在：z=z0, 焦距為：,(2) 在 的范圍內(nèi),等相面近似為,球面,與腔軸交于z0處的等相面曲率半徑為:,(3) 有 ,說明等相面是凹面向著腔心的，且 R 隨 z 0而變。,(4) 當(dāng) 時，,即反射鏡面本身與兩個等相面重合。,(5) 當(dāng) 時， 。腔心和無窮遠(yuǎn)處,(6) 在等相面處放一個相應(yīng)曲率半徑的反射鏡片，共焦場分布不受影響。,的等相面為平面。,五、遠(yuǎn)場發(fā)散角(全角),1、定義：雙曲線兩漸近線間的夾角。,基模：,弧度,高階模的發(fā)散角隨階次的增大而增大，方向性變差！,第七節(jié) 圓形鏡共焦腔,圓形鏡共焦腔模式的積分方程有嚴(yán)格的解析解超橢球函數(shù)！,數(shù)學(xué)上，對超橢球函數(shù)的研究還不如長

4、橢球函數(shù)！這里只討論菲涅耳數(shù)N足夠大時的近似解。,一、拉蓋爾高斯近似,1、當(dāng) 時，可用拉蓋爾高斯近似,(1)鏡面上的場分布：本征函數(shù)拉蓋爾高斯函數(shù)(用極坐標(biāo)),歸一化常數(shù),說明: cos 和 sin 可 任取其一，但當(dāng)m=0時，只能取cos，否則本征函數(shù)無意義。,締合拉蓋爾多項(xiàng)式,(2) 締合拉蓋爾多項(xiàng)式,(3) 前幾階鏡面場函數(shù),與方形鏡的情形一樣,2、與 本征值,說明：N越大，用拉蓋爾高斯近似的誤差越小！,二、拉蓋爾高斯近似下共焦腔模的特征,1、模的振幅分布,(1)基模,與方形鏡的情形一樣,光斑半徑,花樣特點(diǎn)：無節(jié)線，在 r = 0 處振幅最大。,(2)高次模 ：與對應(yīng)的本征函數(shù)一樣。,m

5、、n的意義?,TEMmn的光斑尺寸：場振幅下降為最外面一個極大值的1/e的點(diǎn)與鏡面中心的距離。,特點(diǎn)：階次越高，光斑半徑越大。,2、模的相位分布,因 為實(shí)數(shù)，則等相位面也為鏡面。,3、單程相移和諧振頻率,幾何相移,附加相移,(1)單程相移,(2) 諧振頻率,可見，相移特點(diǎn)以及頻率的高度簡并都與方形鏡的類似！,(3) 頻率間隔：也與方形鏡的一樣。,(4)單程衍射損耗,數(shù)值迭代表明，損耗仍然與N、m、n相關(guān)！而且在菲涅耳數(shù)相同時，圓形鏡共焦腔的損耗要大方形鏡的幾倍。,三、 圓形鏡共焦腔的行波場,圓形鏡共焦腔的行波場特性的推導(dǎo)方法與方形鏡相同, 其基模光束的特征也完全相同。,四、 對稱共焦腔的模式小

6、結(jié),1、 對稱共焦腔在高斯近似下(在N1時), 自再現(xiàn)?？梢杂枚蛎赘咚够蚶w爾高斯函數(shù)近似描述場分布。其中人們較多關(guān)心基模情況，對應(yīng)的行波為基模高斯光束。,2、只有精確解才能正確描述共焦腔模的損耗特性。每一橫模的損耗由腔的菲涅耳數(shù)決定，不同橫模的損耗各不相同。一般，階次越高的模損耗也越大。,3、衍射損耗低； 模簡并；基模光斑尺寸沿腔軸以雙曲線規(guī)律變化; 等相位面近似為球面，在反射鏡處，等相位面與鏡面重合。,自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程,分離變量法,方形鏡對稱共焦腔鏡面場分布 （長橢球函數(shù)）,厄米-高斯函數(shù),圓形鏡對稱共焦腔鏡面場分布 （超橢球函數(shù)）,對稱共焦腔,拉蓋爾-高斯函數(shù),N 近似,鏡面場

7、分布,空間行波場分布,本征值 D，nmnq,腔內(nèi)、外行波場,腔內(nèi)、外行波場,基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、,本征函數(shù),鏡面上光斑，模體積,空間場分布 光斑、相位,衍射損耗,1、證明：任何一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價：,可以證明R1, R2, L滿足,共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價性 （具有相同的行波場）任何一個共焦腔可以與無窮多個穩(wěn)定球面鏡腔等價，而任何一個穩(wěn)定球面鏡腔只能有一個等價共焦腔,是穩(wěn)定球面腔,2.8 一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式特征,2、證明：任意一個穩(wěn)定球面腔只有一個等價的共焦腔：,關(guān)鍵問題：已知 R1 , R2 , L 如何求出等價共焦腔位置及 f 值,當(dāng),可得,聯(lián)立解出：,一、鏡面上的光斑尺寸（基模）, 一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式特征,將前面 的表達(dá)式帶入，得到,穩(wěn)定腔,二、模體積（基模）,模體積（高階模） 對方形鏡穩(wěn)定腔：,三、等相位面分布：,等相位面,（2.8.4）,四、基模遠(yuǎn)場發(fā)散角：,五、諧振頻率：,方形鏡,圓形鏡,表達(dá)式代入,將,方形鏡穩(wěn)定球面腔：,圓形鏡穩(wěn)定球面腔：,六、衍射損耗：,穩(wěn)定球面鏡腔的有效菲涅爾數(shù),共焦腔菲涅耳數(shù),穩(wěn)定球面腔與等價共焦腔的衍射損耗遵循相同規(guī)律,時，兩個腔的單程損耗應(yīng)該相等。,帶入（2.8.6）和（2.8.7）,可以按共焦腔的Nmn關(guān)系，將有效菲涅耳數(shù)代入，分別求出