1、基 本 要 求,1.明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立過(guò)程。 2.掌握計(jì)算梁位移的積分法和疊加法。 3.了解梁的剛度條件和提高梁剛度的主要措施。,第七章 彎曲位移,7.1 概述,7.2 撓曲線近似微分方程及其積分,7.4 梁的剛度條件 提高梁剛度的措施,7.3 用疊加法求梁的位移,7.5 彎曲應(yīng)變能,目 錄,7.6 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法,7.1 概述,車床主軸,疊板彈簧,在本章中，研究梁彎曲變形的主要目的是： （1）對(duì)梁作剛度校核7.4 ； （2）解超靜定梁7.6 。,x橫截面的形心C沿y方向的位移 ，稱為該截面的撓度。,x橫截面相對(duì)于原方位的轉(zhuǎn)角 （橫截面繞中性軸

2、z的轉(zhuǎn)角），稱為該截面的轉(zhuǎn)角。細(xì)長(zhǎng)梁一般不計(jì)剪力 對(duì)位移的影響，平面假設(shè)依然成立，變形后的橫截面仍垂直于撓曲線，所以 也是x軸和撓曲線在點(diǎn) 處切線的夾角。,很小，（0.001rad0.005rad）,撓曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。,小變形時(shí)，任意橫截面在水平方向的位移都可略去，所以B截面的水平位移,圖示二梁的EI、l、Me分別相同，它們的變形程度 （中性層的曲率）相同，但位移不同。變形與Me、EI有關(guān)，位移不僅與Me、EI有關(guān)還與約束有關(guān)，用位移表示梁的變形情況更為恰當(dāng)。,7.2 撓曲線近似微分方程及其積分,純彎曲時(shí)梁中性層的曲率為,橫力彎曲時(shí)，梁的內(nèi)力有剪力和彎矩，細(xì)長(zhǎng)梁

3、不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。但注意M和均為x的函數(shù)。將上式改寫(xiě)為,在高等數(shù)學(xué)中，,小變形時(shí),于是,由上兩式，得,如何確定上式右端的正、負(fù)號(hào)？,確定上式右端的正、負(fù)號(hào),（EI為常量）,M與 的正、負(fù)始終相反。于是,左式為梁的撓曲線近似微分方程,近似原因,不計(jì)剪力FS對(duì)位移的影響,將上式改寫(xiě)為,積分一次,再積分一次,為積分常數(shù)，由已知的位移邊界條件確定。,例7-1 求 ，并確定 和 。EI為常數(shù)。,解：1.列彎矩方程,2.建立撓曲線近似微分方程，并對(duì)其積分,3.確定積分常數(shù),位移邊界條件,由轉(zhuǎn)角邊界條件,由撓度邊界條件,4.轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,5.求 和,撓曲線的大致形狀如圖中虛線所示，可見(jiàn) 和 均發(fā)生

4、在B截面。把x=l，代入轉(zhuǎn)角和撓度方程，得,討論：C1，C2的物理意義,本例中，因?yàn)樽蠖斯潭?分別為初始截面（x=0的截面） 的轉(zhuǎn)角和撓度,例7-2 求 ，并確定 和 。EI為常數(shù)。,解：該梁的AC和CB段的彎矩方程不同，必須分段列M(x)，分段建立撓曲線的近似微分方程，并積分,AC(I)段( ),CB()段 ( ),(以x左段為分離體，F(xiàn)(x-a)不展開(kāi)),以(x-a)為 積分變量,1.位移邊界條件,C點(diǎn)的位移 連續(xù)條件,四個(gè)條件確定四個(gè)常數(shù) C1、C2、D1、D2,四個(gè)積分常數(shù)簡(jiǎn)化為兩個(gè),第I、兩段均以x左段為分離體列M(x)方程，第段M2(x)方程中的F(x-a)不展開(kāi)，并以(x-a)為

5、變量進(jìn)行積分，利用位移連續(xù)條件將積分常數(shù)歸結(jié)為兩個(gè)，由位移邊界條件確定這兩個(gè)積分常數(shù)。否則確定4個(gè)積分常數(shù)，成為聯(lián)立求解關(guān)于C1、C2、D1、D2的方程組。,2.把四個(gè)積分常數(shù)代回(1)、 、(2)、 式得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為,(I)段( ),()段( ),3.求 和,由撓曲線大致形狀可見(jiàn)，可能為 或 。,當(dāng)ab 時(shí)，,當(dāng)ab 時(shí)，,當(dāng)xa 時(shí)，,所以，x0位于AC段，由(3)式,(5)式代入(4)式得,(5),（6）,的近似值,由（6）式得，,由(4)式得,，略去b2項(xiàng)，, 積分法求位移注意事項(xiàng), 作題時(shí)坐標(biāo)系必須如上所述。,2當(dāng)需分段列M(x)方程時(shí)，應(yīng)按例7-2方法進(jìn)行計(jì)算。,例7-

6、3 畫(huà)圖示梁撓曲線的大致形狀。,E1點(diǎn)為枴點(diǎn),解：撓曲線的大致形狀，是根據(jù)梁的約束情況(位移條件)和M圖畫(huà)出的。,A為固定端，,D1點(diǎn)可在D點(diǎn)以上或在D點(diǎn)以下，也可和D點(diǎn)重合，但應(yīng)注意D1點(diǎn)處的位移連續(xù)條件。,AE段M為負(fù)，撓曲線為上凸；,ED段M為正，撓曲線為下凸；,E1處為撓曲線的拐點(diǎn)；,DB段M=0，撓曲線為斜直線；,7.3 用疊加法求梁的位移,疊加法：小變形且材料在線彈性范圍內(nèi)作用時(shí)，梁在幾種荷載同時(shí)作用下的位移，等于梁在各種荷載單獨(dú)作用下的位移之和。,積分法是求梁位移的基本方法，由轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，可以求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度，但計(jì)算過(guò)程冗長(zhǎng)。,實(shí)際應(yīng)用中，常常只需確定某些指定截面的

7、位移值，為此可將梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的位移值列成表格(見(jiàn)表7-1，P155頁(yè))，利用疊加法求在幾種荷載同時(shí)作用下梁的位移。,例如求D點(diǎn)的撓度,例7-4 用疊加法求 ，EI為常量。,解：,由表7-1查得,將相應(yīng)的位移疊加，得,練習(xí)：求圖示簡(jiǎn)支梁的,解：,由表7-1查得,將相應(yīng)的位移疊加，得,例7-5 用疊加法求 ，EI為常量。,圖b梁的CB段的撓曲線為斜直線，所以,解：將圖a所示梁分解為圖b和圖c兩種情況，其撓曲線的大致形狀如圖所示。,(小變形時(shí) ),(1),由表7-1查得,(2),將 (2)式代入(1)式，得,(3),由表7-1查得，在圖c中,將相應(yīng)位移疊加，可得,圖b中，CB段的彎矩等于零，其

8、撓曲線為斜直線,是該題的重點(diǎn)。,練習(xí) 用疊加法求 ，EI為常量。,例7-6 用疊加法求 ，EI為常量。,圖 a所示梁上雖然只有一種荷載，但表7-1中沒(méi)有這種情況，為了能利用表7-1求解。把圖a所示梁分解成圖b和圖c兩種情況。,解：,由于梁的兩端均為鉸支座，所以梁是關(guān)于C截面對(duì)稱的，稱為對(duì)稱梁。圖b中荷載也是對(duì)稱的，其撓度為對(duì)稱的，轉(zhuǎn)角為反對(duì)稱的。由表7-1查得,圖c中荷載為反對(duì)稱的,轉(zhuǎn)角為對(duì)稱的,梁的彎矩為反對(duì)稱的,這些條件和C截處有一鉸支座約束是相當(dāng)?shù)?，于是把圖c梁中的AC、CB段視為兩個(gè)簡(jiǎn)支梁（圖d、e）。由表7-1查得,其撓度為反對(duì)稱的,將相應(yīng)的位移疊加，得,討論，利用對(duì)稱性解題簡(jiǎn)便，要

9、能靈活運(yùn)用。例如,利用對(duì)稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度,利用對(duì)稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度,1,2,3,利用對(duì)稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度,梁為對(duì)稱結(jié)構(gòu),例7-7 用疊加法求 ，EI為常量。,解: 將力F向B截面平移,得到作用于B截面的力F和力偶矩,(圖b),圖a和圖b所示梁的AB段受力相同,約束相同,故二者的位移相同。F力作用在支座上，它不會(huì)使梁產(chǎn)生位移，查表7-1（4）得,因?yàn)锽D1為斜直線,將相應(yīng)的位移疊加，得,例7-8 AD、DB段的彎曲剛度均為EI，求 。,解：主梁AD和副梁DB的受力圖如圖b所示。,查表7-1，得,由圖c可見(jiàn),查表7-1，得,將相應(yīng)的位移疊加，得,討論：1.對(duì)多跨靜定梁進(jìn)行

10、受力分析時(shí)，是先分析副梁，再分析主梁，即先副后主。,2.對(duì)多跨靜定梁進(jìn)行位移分析時(shí)，是先主梁后副梁，副梁的位移是由主梁的位移引起的副梁的位移和副梁由荷載產(chǎn)生的位移的疊加。,7-4 梁的剛度條件 提高梁剛度的措施,一、剛度條件,梁的位移過(guò)大時(shí)，將影響梁的正常工作，例如，鐵路橋梁的撓度過(guò)大，火車經(jīng)過(guò)時(shí)，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，且引起很大振動(dòng)。車床主軸的位移過(guò)大，影響齒輪的嚙合，造成軸和軸承的磨損，影響加工質(zhì)量。所以必須把梁的位移限制在一定范圍內(nèi)。剛度條件為,二、提高梁剛度的措施,由表7-1可見(jiàn)，w和均與EI成反比，與l的n次方成正比。,1.增加EI。各類鋼材的E值相差不大，所以選用高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)鋼并不能增加鋼梁

11、的彎曲剛度。中性軸使I增加，例如,2 .減小l或增加支承。,查型鋼表,20b號(hào)工字鋼,1. 正應(yīng)力強(qiáng)度,2. 校核切應(yīng)力強(qiáng)度,3. 校核剛度,可選20b號(hào)工字鋼。,7-5 彎曲應(yīng)變能,一、純彎曲M=Me(常量),二、橫力彎曲,細(xì)長(zhǎng)梁可不計(jì)剪切應(yīng)變能。M(x)為x的函數(shù)，取dx段研究彎曲應(yīng)變能。,利用 求梁的位移，將在第十二章能量方法中研究。,7-6 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法,1超靜定梁的概念,超靜定次數(shù)也是“多余”約束或“多余”未知力個(gè)數(shù)。,2超靜定梁的解法,基本系統(tǒng)解除多余約束后的靜定梁（圖b）,相當(dāng)系統(tǒng)在基本系統(tǒng)上加上荷載及多余未知力，并滿足原結(jié)構(gòu)變形限制條件 。(圖c),根據(jù)變形限制條件，用疊

12、加法求冗力。,利用相當(dāng)系統(tǒng)畫(huà)FS、M圖(圖d、e)。,利用相當(dāng)系統(tǒng)求位移(圖f)。用疊加法求得,3超靜定梁與靜定梁的比較,靜定梁（無(wú)B支座）,超靜定梁,用積分法求得,誤差,超靜定梁提高了梁的強(qiáng)度和剛度。,只要解除超靜定梁某種約束后，使其成為靜定梁，該約束就是多余約束。所以超靜定梁的多余約束可有多種，應(yīng)當(dāng)注意相當(dāng)系統(tǒng)的位移限制條件必須與選定的多余約束相對(duì)應(yīng)。本題中若以阻止A截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束，MA為多余未知力，位移限制條件為A0。相當(dāng)系統(tǒng)為,例7-10 求圖a所示梁的支座反力，EI為常量。,解：圖a所示梁的相當(dāng)系統(tǒng)可取圖b、c、d三種。,圖b是以支座C為多余約束，F(xiàn)C為多余未知力，位移限制條件為wC=0。,解得,由平衡方程得,圖c是以支座B為多余