1、第2講 初等模型,2.1、船艇回合問題 2.2、雙層玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?2.5、量綱分析 2.6、 幾個(gè)實(shí)例,某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行 員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。,2.1 艦艇的會(huì)合,即：,可化為：,（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）,（航母的路線方程 ）,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。 本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用,2.2 雙層玻璃的功效,在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層 玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)模 型，研究一下雙層玻璃到底有多

2、大的功效。 比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的 差異僅僅在窗戶不同。,設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為Q,解得：,此函數(shù)的圖形為,類似有,一般,故,記h=l/d并令f(h)=,考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的 3% 。,2.3 崖高的估算,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問

3、題。,方法一,我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再積分一次，得：,若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。,聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間,進(jìn)一步深入考慮,不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多測(cè)幾次，取平均值,再一步深入考慮,最小二乘法 插值方法,2.4 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?最小二乘法,設(shè)經(jīng)實(shí)際測(cè)量已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見 圖。如果建模者判斷 這n個(gè)點(diǎn)很象是分

4、布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望,最小,此式對(duì)a和b的偏導(dǎo)數(shù)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得：,例1（舉重成績的比較）,模型1（線性模型）,模型2（冪函數(shù)模型）,模型3（經(jīng)典模型）,(1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積A，即L=k1A (2)A正比于身高 l的平方，即 A=k2l2 (3)體重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3,根據(jù)上述假設(shè)，可得,顯然，K越大則成績?cè)胶?，故可?來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。,模型4（O Carroll公式）,(1) L=

5、k1Aa, a1 (2) A=k2lb, b2 (3) B-Bo =k3l3,假設(shè)(1)、(2)是解剖學(xué)中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在假設(shè) （3）中O Carroll將體重劃分成兩部分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。,故有：,根據(jù)三條假設(shè)可 得L=k(B-B0),k和為兩個(gè)常數(shù)，,此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，他 得出B035公斤，,模型5（Vorobyev公式）,上述公式具有各不相同的基準(zhǔn)，無法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對(duì)公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足在 B=75公斤時(shí)有 L=L，則上述各公式化為：,將公式（1）（4）用來比較1976年奧運(yùn)會(huì)的抓舉成績，各公式對(duì)九個(gè)級(jí)別冠軍成績的優(yōu)劣排序

6、如表 所示，比較結(jié)果較為一致，例如，對(duì)前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。,例2 體重與身高的 關(guān)系,插值方法,2.5 量綱分析法建模,例3 在萬有引力公式中，引力常數(shù)G是有量綱的，根據(jù)量綱齊次性，G的量綱為M-1L3T-2，其實(shí)，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項(xiàng)，即可使其任何一項(xiàng)化為無量綱，因此任一公式均可改寫成其相關(guān)量的無量綱常數(shù)或無量綱變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式 相關(guān)的物理量有：G、m1、m2、r和F。 現(xiàn)考察這些量的無量綱乘積 的量綱為 由于 是無量綱的量，故應(yīng)有：,此方程組中存在兩個(gè)自由變量，其解構(gòu)成一個(gè)二維線性空間。?。╝,b）=（1,0）和（a,b）=（0

7、,1），得到方程組解空間的一組基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由這些量組成的無量綱乘積均可用這兩個(gè)解的線性組合表示。兩個(gè)基向量對(duì)應(yīng)的無量綱乘積分別為：,而萬有引力定律則可寫 成f(1,2)=0，其對(duì)應(yīng)的顯函數(shù)為：1=g(2)，即,萬有引力定律,定理2.1 （Backingham定理）方程當(dāng)且僅當(dāng)可以表 示為 f（1，2）=0時(shí)才是量綱齊次的，其中 f是某 一函數(shù)，1，2為問題所包含的變量與常數(shù)的無量 綱乘積。,例4（理想單擺的擺動(dòng)周期）,考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為 l 的質(zhì)點(diǎn)上的無阻 尼 單擺，（如圖），其運(yùn)動(dòng)為某周 期 t 的 左右擺動(dòng)，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量

8、之間 的 關(guān)系。,考察 ， 的量綱為MaLb+dTc-2b若 無量綱，則有,此方程組中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）為一解，對(duì)應(yīng)的1=即為無量綱量。為求另一個(gè)無綱量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0），對(duì)應(yīng)有,其中,此即理想單擺的周期公式。當(dāng)然 k()是無法求得的，事實(shí)上，需要用橢圓積分才能表達(dá)它。,2.6 幾個(gè)實(shí)例,例5（最短路徑問題）,設(shè)有一個(gè)半徑為 r 的圓形湖，圓心為 O。A、 B 位于湖的兩側(cè)，AB連線過O，見圖。 現(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限 制下，問怎樣的路徑最近。,以上只是一種猜測(cè)，現(xiàn)在來證明這一猜測(cè)是正確的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。,下

9、面證明猜想,猜測(cè)證明如下：,還可用微積分方法求弧長，根據(jù)計(jì)算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長度；此外，本猜測(cè)也可用平面幾何知識(shí)加以證明等。,到此為止，我們的研討還只局限于平面之中，其實(shí)上述猜測(cè)可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上結(jié)果：,例6雨中行走問題,一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在

10、全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。,1 建模準(zhǔn)備 建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度,2）降雨大小用降雨強(qiáng)度 厘米/時(shí)來描述，降雨強(qiáng)度指單位 時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。,3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。,2 模型假設(shè)及符號(hào)說明 1）把人體視為長方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。,3 模型建立與計(jì)算,1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方

11、都將淋雨。,淋雨的面積,雨中行走的時(shí)間,降雨強(qiáng)度,模型中,結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能 減少淋雨量。,從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。 經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大約有4 酒瓶的水量。這是不可思議的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。,原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)， 使問題過于簡(jiǎn)化。,2）考慮降雨方向。,人前進(jìn)的方向,若記雨滴下落速度為 （米/秒）,雨滴的密度為,雨滴下落的反方向,表示在一定的時(shí)刻 在單位體積的空間 內(nèi)，由雨滴所占的 空間的比例數(shù)，也 稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。,所以，,因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋

12、濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。,頂部的淋雨量,前表面淋雨量,總淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。 問題轉(zhuǎn)化為給定 ，如何選擇 使得 最小。,情形1,結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí) 淋雨量達(dá)到最小。 假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得,情形2,結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí) 淋雨量達(dá)到最小。 假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得,情形3,此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。,出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從 你的前面落到身上情形。 因此，對(duì)于這種情況要另行討論。,當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)

13、動(dòng)速度，即,這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨總量為,再次代如數(shù)據(jù)，得,結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋 雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角 從背后落下，你應(yīng)該以,此時(shí)，淋雨總量為,這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。,當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即,你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是,淋雨總量為,4 結(jié)論,若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單， 應(yīng)以最大的速度向前跑； 若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度， 讓它剛好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)

14、大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。 雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重 要性，模型的階段適應(yīng)性。,例7 席位分配問題,某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各 有多少個(gè)席位？,按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則,表示某單位的席位數(shù),表示某單位的人數(shù),表示總?cè)藬?shù),表示總席位數(shù),1 問題的提出,20個(gè)席位的分配結(jié)果,現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,現(xiàn)象1 丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平?。?為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。,21個(gè)席位的分配結(jié)果,11,7,3,現(xiàn)

15、象2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。?慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額 按慣例分給小數(shù)部分較大者。 存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目標(biāo)：建立公平的分配方案。 反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。,一般地，,當(dāng),席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。,此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。,C,D的不公平程度大為改善！,2） 相對(duì)不公平,表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值 越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。,則A吃虧,或?qū) 是不公平的。,定義“相對(duì)不

16、公平”,對(duì)A 的相對(duì)不公 平值；,同理，可定義對(duì)B 的相對(duì)不公平值為：,對(duì)B 的相對(duì)不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo),制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。,3 建模,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,用相對(duì)不公平值,討論當(dāng)席位增加1 個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A 還是B 方。,不失一般性，,有下面三種情形。,情形1,說明即使給A 單位增加1席，仍對(duì)A 不公平，所增這一席必須給A單位。,情形2,說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給A 單 位增加1席，對(duì)B 又不公平。,計(jì)算對(duì)B 的相對(duì)不公平值,情形3,說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給B 單 位增加1席，對(duì)A 不公平。,計(jì)算對(duì)A 的相對(duì)不公平值,則這一席位給A 單位，否則給B 單位。,結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A 單位， 反之，應(yīng)分配給 B 單位。,記,則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值 較大的一方。,這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,4 推廣 有m 方分配席位的情況,設(shè),方人數(shù)為,，已占有,個(gè)席位，,當(dāng)總席位增加1 席時(shí)，計(jì)算,則1 席應(yīng)分給Q值最大的一方。從,開始，即每方,至少應(yīng)得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）,5 舉例,甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12