1、.2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題，每小題3 分，滿分15 分，把答案填在題中橫線上)dx(1)e x ln 2 x(2)已知函數(shù) yy(x) 由方程 ey6xyx210 確定，則 y (0).(3)微分方程 yy y 20 滿足初始條件yx 01,y01 的特解是.x2(4)已知實二次型f ( x1 , x2, x3 )a( x12x22x32 )4x1x24x1 x34x2 x3 經(jīng)正交變換 x py可化成標(biāo)準(zhǔn)型f 6 y12 ，則 a.(5)設(shè)隨機變量 x 服從正態(tài)分布n ( ,2 )(0), 且二次方程 y24 y x0 無實根的概率為 1

2、 ，則2二、選擇題 (本題共 5 小題，每小題3 分，共 15 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 考慮二元函數(shù) f ( x,y) 的下面 4 條性質(zhì)： f ( x, y) 在點 ( x0, y0 ) 處連續(xù)， f ( x, y) 在點 (x0, y0 ) 處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， f ( x, y) 在點 ( x0, y0 ) 處可微， f ( x, y) 在點 (x0, y0 ) 處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在 .若用 pq 表示可由性質(zhì)p 推出 q ，則有()(a) .(b) .(c) .(d) .(2) 設(shè) un0(n 1,2,3,.), 且

3、 limn1, 則級數(shù)( 1)n 1( 11) ( )nunn 1unun1(a)發(fā)散 .(b) 絕對收斂 .(c)條件收斂 .(d)收斂性根據(jù)所給條件不能判定 .(3) 設(shè)函數(shù) yf (x) 在 (0,) 內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()(a)當(dāng) limf ( x)0 時，必有 lim f (x)0 .xx;.(b) 當(dāng) limf (x) 存在時，必有l(wèi)imf (x)0 .xx(c) 當(dāng) lim f ( x) 0 時，必有l(wèi)imf (x)0 .x 0x 0(d) 當(dāng) limf (x) 存在時，必有 limf (x)0 .x 0x 0(4) 設(shè)有三張不同平面的方程ai1x ai 2 y ai 3 z bi

4、 ,i 1,2,3,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為( )(5) 設(shè) x1 和 x 2 是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為f1 ( x) 和f2 (x) ，分布函數(shù)分別為f1( x) 和 f2 ( x) ，則()(a) f1( x)f 2 ( x) 必為某一隨機變量的概率密度.(b) f1( x) f 2 ( x) 必為某一隨機變量的概率密度.(c)f1( x)f2( x) 必為某一隨機變量的分布函數(shù).(d)f1 ( x) f2 (x) 必為某一隨機變量的分布函數(shù).三、 (本題滿分6 分 )設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 x0

5、 的 某 鄰 域 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 且 f (0)0, f (0)0, 若af (h)bf (2 h)f (0) 在 h0 時是比 h 高階的無窮小，試確定a,b 的值 .四、 (本題滿分7 分 )已知兩曲線y f (x) 與 yarctan x e t 2dt 在點 (0,0) 處的切線相同，寫出此切線方程，0并求極限 lim nf ( 2).n n五、 (本題滿分7 分 );.計算二重積分emax x2 , y2 dxdy, 其中 d( x, y) | 0x 1,0y1 .d六、 (本題滿分 8 分 )設(shè)函數(shù) f ( x) 在 (,) 內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，l 是上半平

6、面 ( y0)內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點為 (a,b) ，終點為 (c, d ) .記12x2il y1yf ( xy) dxy2 y f ( xy) 1dy,(1)證明曲線積分i 與路徑 l 無關(guān)；(2)當(dāng) abcd 時，求 i 的值 .七、 (本題滿分 7 分 )(1) 驗 證 函 數(shù) y( x) 1x3x6x9x3n+l（ -x滿 足 微 分 方 程！6！9！l）3(3n)!y y y ex ;(2)利用 (1) 的結(jié)果求冪級數(shù)x3n的和函數(shù) .0 (3 n)!n八、 (本題滿分7 分 )設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域為d( x, y) x2y2xy7

7、5 ，小山的高度函數(shù)為h( x, y)75x2y2xy .(1)設(shè) m (x0 , y0 ) 為區(qū)域 d 上的一點，問h( x, y) 在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此反向?qū)?shù)的最大值為g( x0 , y0 ) ，試寫出 g( x0 , y0 ) 表達式 .(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點 .也就是說，要在d 的邊界線 x2y2xy75 上找出使 (1) 中的 g (x, y) 達到最大值的點 .試確定攀登起點的位置 .九、 (本題滿分 6 分 )已知 4 階方陣 a( 1 , 2 ,3 ,4 ),1,2 , 3 ,4 均為 4

8、 維列向量，其中2 , 3 ,4 線性無關(guān)， 1 2 23 .如果1234 ，求線性方程組 ax的通解 .十、 (本題滿分8 分 )設(shè) a, b 為同階方陣，(1)如果 a, b 相似，試證a, b 的特征多項式相等.;.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng) a, b 均為實對稱矩陣時，試證(1) 的逆命題成立.十一、 (本題滿分8 分 )1xx 的概率密度為 f (x)cos0 x設(shè)隨機變量220,其他對 x 獨立地重復(fù)觀察 4 次，用 y 表示觀察值大于的次數(shù)，求 y 2 的數(shù)學(xué)期望 .3十二、 (本題滿分8 分 )設(shè)總體 x 的概率分布為x012322p2 （1-

9、 ）（1- 2 ）其中 （0 1) 是未知參數(shù)，利用總體x 的如下樣本值23,1,3,0,3,1,2,3,求的矩陣估計值和最大似然函數(shù)估計值.2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析;.一、填空題(1) 【答案】1【詳解】先將其轉(zhuǎn)化為普通定積分，求其極限即得廣義積分.dxlimb dxlimb d ln x1b1e xln 2e x ln 2e ln 2limln xlim1 1x bx bx be bln b(2) 【答案】-2【詳解】 y 是由 ey6xyx21 0 確定的 x 的函數(shù)，兩邊對x 求導(dǎo)，ey y 6xy6 y2x0,所以y6 y2x , 兩邊再對 x 求導(dǎo)，得e

10、y6xy(ey（） -yy 6),6x) 6y2(6 y 2 x)(e(ey6x) 2把 x0代入，得 y(0) 0， y (0)0 ，代入 y ，得 y (0)2 .(3) 【答案】 yx1【詳解】 方法 1：這是屬于缺x 的 yf ( y, y ) 類型 . 命 yp, ydpdp dydpdxp.dy dxdy原方程 yyy 20 化為 yp dpp20 ，得dyp0或 y dpp 0dyp 0 ，即 dy0 ，不滿足初始條件 y 1 ，棄之；所以p 0dxx 0 2所以， y dpp0 ，分離變量得dydp ，解之得 pc1 . 即 dyc1 .dyypydxy由初始條件 yx1, y

11、1 ，可將 c1 先定出來：1c1 , c11. 于是得0x 02212dy1dx2 y;.解之得， y 2xc2 , yxc2 .以 y x01 代入，得 1c2 ，所以應(yīng)取 “ +號”且 c2 1 . 于是特解是 yx1.方法 2：將 yyy 20 改寫為 ( yy )0 ，從而得 yyc1 . 以初始條件 y(0)1, y (0)1代 入 ， 有 1 11 .2c1 ， 所 以 得 yy即 2 yy1 ， 改 寫 為 ( y2 )1 . 解 得22y x c2 , yx c2.再以初值代入，1c2所以應(yīng)取 且 c21. 于是特解 yx 1.(4) 【答案】 2a22【詳解】 方法 1：二

12、次型 f 的對應(yīng)矩陣 a2a2，經(jīng)正交變換 xpy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)22a型 f 6y12， 故 p 為 正 交 矩 陣 ， 有 ptp 1 ， 且 對 實 對 稱 矩 陣 a ， 有66pt ap0，故 pt ap p 1ap0，即00600a :00000033因為矩陣的 n 個特征值之和等于它的主對角元素之和，aii3ai，相似矩陣i1i 136 故有 3a 6 ，得 a2 .具有相同的特征值，i600i1a22方法 2：二次型 f 的對應(yīng)矩陣 a2a2，經(jīng)正交變換 xpy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a6故 p 為正交矩陣，有 ptp 1，且對實對稱矩陣 a ，有 pt app 1a

13、p0，即0;.600a :000000相似矩陣具有相同的特征值，知0 是 a 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有0eaa0a 22a422a 2 a 2把第 ，列加到第 列2 31 a 4 a 22 2aa42a提取第 1列1222行1行1220的公因子(a 4) 1 a 23行(a 4) 0 a 212a1行00a2( a 4)( a2) 20 ，得a4 或 a2，(1)又 6 是 a 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有6ea0 ，由6a226a226ea62a226a2(對應(yīng)元素相減 )622a226 a兩邊取行列式，6a222a226e a2 6 a2把第 ，列加到第 列22 31 2 a 6

14、a226a2a26 a提取第 1列1222行1行122a) 16a2a) 08a0(21行(2的公因子1263行008aa(2a)(8a)20得a 2或 a 8(2)因為 (1) ，(2) 需同時成立，取它們的公共部分，得a2.a22方法 3： f 的對應(yīng)矩陣為 a2a2，經(jīng)正交變換xpy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a;.6故 p 為正交矩陣，有pt p 1，且對實對稱矩陣 a ，有 pt ap p 1 ap0，即0600a :000000相似矩陣具有相同的特征值，知a 的特征值，其中一個單根是6，一個二重根應(yīng)是0，直接求a 的特征值，即由a22a22ea2a22a2 (對應(yīng)元素相減

15、)22a22a兩邊取行列式，a22把第 ，列a422ea2a22 3a4a2加到第 1列22a42aa122提取第 1列的公因子 (a4) 1a212a2行1行122a4) 0(a2)03行(1行00( a2)(a4)(a2) 2其中單根為 a4 ，二重根為 a2 ，故 a46 ，及 a20 ，故知 a2 .a22方法 4： f 的對應(yīng)矩陣為 a2a2，經(jīng)正交變換 xpy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a6故 p 為正交矩陣，有 ptp 1，且對實對稱矩陣a ，有 pt app 1 ap0，即0a226a2a2:022a0故 r ( a) r ( )1 ，;.a 2222a 2行 1行22

16、aa 2交換第1和2a 2a 0a 22 aa 23行 1行22第3行的順序a222a uuuuuuuuuuuuuur22 a2auuuuuuuuuuuuur 0222a22a3行2行0a 22 a3行2 0 a 22 auuuuuuuuuuruuuuuuur( a2004a2a002a 8)222a0a22a00(a2)( a 4)因 r ( a)1，故 a20，且 (a2)( a4) 0 ，故應(yīng)取 a2 .(5) 【答案】 4 .【詳解】二次方程無實根，即y24 yx0 的判別式b24ac 164x 0 ，也就有 x4 . 此事發(fā)生概率為1 ，即 p x41，212對于 x : n (,

17、2 )(0), p x，因為正態(tài)分布的密度函數(shù)為2f ( x)1( x)2exp2 2x2關(guān)于 x對稱；另一方面， 由概率的計算公式，f ( x) 與 x 軸所圍成的面積是1，所以 x將面積平分為兩份p x14.，所以2二、選擇題(1)【詳解】下述重要因果關(guān)系應(yīng)記住，其中ab 表示由 a 可推出 b . 無箭頭者無因果關(guān)系，箭頭的逆向不成立 .f x ( x, y) 與 f y ( x, y) 連續(xù)f (x, y) 可微f x ( x, y)與f y ( x, y)存在f ( x, y)連續(xù)其中均指在同一點處. 記住上述關(guān)系，不難回答本選擇題，故應(yīng)選(a).(2) 【詳解】首先要分清絕對收斂和

18、條件收斂的定義，通過定義判定級數(shù)的斂散性.考察原級數(shù)( 1)n 1 (11) 的前 n 項部分和n 1unun1;.sn( 11 ) ( 11 ) ( 11 ) l ( 1)n 1( 11 )1( 1)n 1 1u1u2u2u3u3u4unun 1u1un 1由 lim n10 知，當(dāng) n 充分大時， un0 且 lim un. 所以 lim sn1(收斂 )，nunnnu1另一方面，( 11) 為正項級數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設(shè)條件n 1 unun1lim n1 的啟發(fā)，考慮n un11un 1unlim unun1limunun 1lim (un 1un )n( n 1)n11n2

19、n1nunun 1(2 n 1)nn1n(n1)n(n1) (n1) un 1un (n1)un 1unlimn( n1)nlimn(n1)n2n1unun 11nunun 1n2n 1nnn1n而級數(shù)( 11 )11是發(fā)散的，所以( 11 ) 也發(fā)散，所以選 (c).n 1 n n 1n 1 nn 1 n 1n 1 unun 1(3) 【詳解】 方法 1：排斥法 .令 f ( x)1 sin x2 ，則 f (x) 在 (0,) 有界， f(x)1sin x22cos x2 ，xx2limf (x)0 ，但 lim f ( x) 不存在，故 (a) 不成立；xxlimf (x)0 ，但lim

20、 f( x)10， (c)和 (d) 不成立，故選 (b).x 0x0方法 2：證明 (b) 正確 . 設(shè) limf(x) 存在，記 limf (x)a ，證明 a0 .xx用 反 證 法 ， 若 a0 ， 則 對 于a0 ， 存 在 x0 ， 使 當(dāng) xx 時 ，2aaaa3af ( x) aaf( x)a，即22222由此可知，f ( x) 有界且大于a .在區(qū)間 x, x 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有2a (x x )f ( x)f ( x ) f ( )( x x )f ( x )2從而 limf ( x)，與題設(shè) f (x) 有界矛盾 .類似可證當(dāng) a0時亦有矛盾 .故 a 0 .x;

21、.(4) 【答案】 (b)【詳解】三張不同平面的方程分別為ai 1xai 2 y ai 3 zbi , i1,2,3, 判斷三個平面有無a11 x a12 y a13z b1公共點即判斷方程組 a21 x a22 y a23 zb2有無公共解，且方程組有多少公共解平面就有a31x a32 y a33 z b3多少公共點，由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2 3(未知量的個數(shù) ) ，所以方程組有解且有無窮多解，故三個平面有無窮多個公共點，故應(yīng)排除(a) 三平面唯一交點 (即方程組只有唯一解 )(c) 、 (d) 三平面沒有公共交點(即方程組無解 ).故應(yīng)選 (b) ，三個平面相交于一條直線，

22、直線上所有的點均是平面的公共點，即有無窮多個公共點 .(5) 【答案】 d【分析】函數(shù)f ( x) 成為概率密度的充要條件為：(1) f ( x)0; (2)f ( x)dx1.函數(shù) f ( x) 成為分布函數(shù)的充要條件為：(1) f ( x) 單調(diào)不減；(2) lim f ( x)0, lim f ( x)1; (3) f (x) 右連續(xù) .xx我們可以用以上的充要條件去判斷各個選項，也可以用隨機變量的定義直接推導(dǎo).【詳解】 方法 1：(a) 選項不可能，因為 f1 (x)f2 (x)dxf1(x)dxf2 (x)dx1121也不能選 (b) ，因為可取反例，令1,1x0f21,0 x 1f

23、1( x)其他(x)其他0,0,顯然 f1 ( x)， f2 ( x) 均是均勻分布的概率密度.而f1( x) f 2 ( x)0 ，不滿足f1 (x) f2 (x)dx1條件 .(c)當(dāng)然也不正確，因為lim f (x1)f ( x2 )1121x;.根據(jù)排除法，答案應(yīng)選(d).方法 2：令 xmax( x1, x 2 ) ，顯然 x 也是一個隨機變量.x 的分布函數(shù)為f ( x)p xxp max(x1, x 2 )xp x1x, x 2xp x1x p x2xf1 (x) f2 (x) .三【詳解】方法 1：由題設(shè)條件知有l(wèi)im af (h) bf (2h)f (0)(ab1) f (0

24、)0h0由于 f (0)0 ，所以 ab 10. 又由洛必達法則，lim af (h) bf (2h) f (0)lim( af(h)2bf(2h)(a2b) f (0)h0hh0由于 af (h)bf (2 h)f (0)在 h0 時是比 h 高階的無窮小，由高階無窮小的定義知上式等于0，又由 f(0) 0,得 a2b0 .ab102, b1.解2b聯(lián)立方程組得， aa0方法 2：分別將 f (h),f (2 h) 按佩亞諾余項泰勒公式展開到o(h) ，有f ( h)f (0)f (0) ho1(h) ， f (2 h)f (0)2 f(0)ho2 ( h)從而af (h)bf (2 h)f

25、 (0)(ab1) f (0)(a2b) f(0) ho3 (h)由題設(shè)條件知，a b 1 0, a2b0,所以 a2,b1.方法 3：由題設(shè)條件，有l(wèi)im af (h) bf (2h)f (0)(ab1) f (0)0h0由于 f (0)0 ，所以 ab 10. 再將 a1b 代入 lim 1 af (h)bf (2 h) f (0) ，h0h并湊成導(dǎo)數(shù)定義形式，有0lim af (h)bf (2h)f (0)lim (1b) f ( h)bf (2h)f (0)h0hh 0hlimf (h)f (0)b f ( h)f (0)2b f (2 h)f (0) h0hh2hf (0) bf (

26、0) 2bf(0)（1b) f (0)從而a2, b1.;.四【詳解】由 yarctan x e t 2dt 知 y(0)0 ，由變上限積分的求導(dǎo)公式得0(arctan x)2(arctan x)2g1ye(arctanx)e1x2,（ ）(arctan0)21所以gy0e1021因此，過點(0,0) 的切線方程為yx.yf ( x) 在點 (0,0) 處與上述曲線有相同的切線方程，于是f (0)0, f(0)1 .lim nf ( 2 )f ( 2)f (0)f ( 2 )f (0)limn12limn22 f(0)2nnnnnnmax x2 , y2寫成分塊表達式 .五【詳解】應(yīng)先將e記d1( x, y) 0x1,0yx , d2( x, y) 0x1,xy1max x2 , y 2ex2(x, y)d1;于是ey 2(x, y)d2.emax x2 , y2dmax x2 , y 2max x2 , y2ex2ey2從而eededdddd1d2d1d21dxx ex2dy1dy1ey2dx1ex2xdx1ey2ydy00000021x21x221dex2x21(e1)exdxedx0e|000六【詳解】 (1)記 p( x, y)1 1 y2 f (xy) ， q( x, y)x y2 f ( xy) 1yy2(x2 y2 f