1、.絕密啟用前2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)注意事項：1 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2 作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3 考試結(jié)束后 ，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.a.b.c.d.【答案】 d【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選 d.點睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運算能力.2. 已知集合，則中元素的個數(shù)為a.9b.8c.5d.4【答案】 a【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點個

2、數(shù).詳解：，當時，；當時，；當時，；所以共有9 個，選 a.點睛：本題考查集合與元素關(guān)系，點與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對概念理解與識別.;.3. 函數(shù)的圖像大致為a.ab.bc.cd.d【答案】 b【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去a,舍去 d;，所以舍去c；因此選b.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)4. 已知向量 ， 滿足，則a.4b.3c.2d.0【答案】 b

3、【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因為所以選 b.點睛：向量加減乘：5. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為;.a.b.c.d.【答案】 a【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c 關(guān)系，進而得a,b 關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選 a.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.6. 在中，則a.b.c.d.【答案】 a【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosc, 再根據(jù)余弦定理求ab.詳解：因為所以，選 a.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問

4、題的目的.7. 為計算，設(shè)計了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入a.b.;.c.d.【答案】 b【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減. 因此累加量為隔項.詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減. 因此在空白框中應(yīng)填入，選 b.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查. 先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.8.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2 的偶數(shù)

5、可以表示為兩個素數(shù)的和”，如在不超過 30 的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于 30的概率是a.b.c.d.【答案】 c【解析】分析：先確定不超過30 的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30 的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30 的素數(shù)有2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共 10 個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30 的有 3 種方法，故概率為，選 c.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1) 列舉法 . (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求 . 對于基本事件有“有

6、序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.9. 在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為;.a.b.c.d.【答案】 c【解析】分析：先建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果 .詳解：以 d 為坐標原點， da,dc,dd1 為 x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選 c.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系

7、關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是a.b.c.d.【答案】 a【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選 a.點睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1). (2)周期(3)由求對稱軸，(4) 由求增區(qū)間 ;由求減區(qū)間 .11.已知是定義域為的奇函數(shù)， 滿足若，則a.b.0 c.2 d.50【答案】 c【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義

8、域為的奇函數(shù)，且，;.所以,因此，因為，所以，從而，選 c.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解12. 已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為a.b.c.d.【答案】 d【解析】分析：先根據(jù)條件得pf2=2c, 再利用正弦定理得a,c 關(guān)系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，所以 pf2=f1f2=2c,由斜率為得，由正弦定理得,所以，選 d.點睛： 解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消

9、掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13. 曲線在點處的切線方程為_【答案】【解析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：點睛：求曲線的切線要注意“過點p 的切線”與“在點p 處的切線”的差異，過點p 的切線中，點p 不一;.定是切點，點p 也不一定在已知曲線上，而在點p 處的切線，必以點p 為切點 .14. 若滿足約束條件則的最大值為 _ 【答案】 9【解析】分析：先作可行域，再平移直線，確定目標函數(shù)最大值的取法.詳解：作可行域，則直線過點

10、 a(5,4) 時取最大值9.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想. 需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.15.已知，則_ 【答案】【解析】分析：先根據(jù)條件解出再根據(jù)兩角和正弦公式化簡求結(jié)果.詳解：因為，所以，因此點睛：三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式

11、的值，以備應(yīng)用；變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.(3) 給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.;.16. 已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_【答案】【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果 .因為與圓錐底面所成角為45，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為點睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識點，考查學(xué)生空間想象與運算能力三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

12、第17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 為選考題 ，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，（ 1）求的通項公式；（ 2）求，并求的最小值【答案】（1） an=2n9sn=n28n，最小值為 16，（ 2）【解析】分析： （ 1）根據(jù)等差數(shù)列前 n 項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（ 2）根據(jù)等差數(shù)列前 n 項和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解： （ 1）設(shè) an 的公差為 d，由題意得 3a1 +3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an 的通項公式為an=2n9

13、（ 2）由（ 1）得 sn=n28n=（ n4） 216所以當 n=4 時， sn 取得最小值，最小值為 16點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件 .18. 下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖;.為了預(yù)測該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至 2016 年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型 ：；根據(jù) 2010年至 2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型 ：（ 1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的

14、預(yù)測值；（ 2）你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由【答案】（1）利用模型預(yù)測值為226.1，利用模型預(yù)測值為256.5，（ 2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠【解析】分析：（ 1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018 時所對應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，（ 2）根據(jù)折線圖知2000 到 2009 ，與 2010 到 2016 是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010 到 2016 的增幅明顯高于 2000 到 2009，也高于模型1 的增幅，因此所以用模型2 更能較好得到2018 的預(yù)測 .詳解： （ 1）利用模型，該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=30.4+13.5

15、 19=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.5 9=256.5（億元）（ 2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：（ i ）從折線圖可以看出， 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t 上下，這說明利用 2000年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢2010年相對 2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010 年至

16、2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t 可以較好地描述2010 年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得;.到的預(yù)測值更可靠（ ii ）從計算結(jié)果看，相對于2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220 億元，由模型得到的預(yù)測值226.1 億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠以上給出了2 種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù) .19. 設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，（ 1）

17、求的方程；（ 2）求過點 ， 且與 的準線相切的圓的方程【答案】(1) y=x1,(2)或【解析】分析： (1) 根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入求出斜率，即得直線的方程； （ 2）先求 ab中垂線方程，即得圓心坐標關(guān)系，再根據(jù)圓心到準線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標以及半徑，最后寫出圓的標準方程.詳解： （ 1）由題意得 f（1， 0）， l 的方程為 y=k（ x1）（ k0）設(shè) a（ x1， y1）， b（ x2， y2）由得，故所以由題設(shè)知，解得 k=1（舍去）， k=1因此 l 的方程為y=x1（ 2）由（ 1）得 ab 的中點坐標為（3，

18、 2），所以 ab 的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0， y0），則解得或因此所求圓的方程為;.或點睛：確定圓的方程方法(1) 直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程(2) 待定系數(shù)法若已知條件與圓心和半徑有關(guān)， 則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d、 e、 f 的方程組，進而求出 d、 e、 f 的值20. 如圖，在三棱錐中，為的中點（ 1）證明：平面；（ 2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值【答案】（ 1）見解析（ 2）【解析】分析：(1)

19、 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得po垂直 ac，再通過計算，根據(jù)勾股定理得po垂直 ob，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2) 根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，根據(jù)方程組解出平面pam一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得 m坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量pc與平面 pam法向量夾角， 最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：（ 1）因為，為的中點，所以，且.連結(jié).因為，所以為等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（ 2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.;.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由

20、得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21. 已知函數(shù)（ 1）若，證明：當時，；（ 2）若在只有一個零點，求【答案】（ 1）見解析（ 2）;.詳解： （ 1）當時，等價于設(shè)函數(shù)，則當時，所以在單調(diào)遞減 而，故當時，即（ 2）設(shè)函數(shù)在只有一個零點當且僅當在只有一個零點 （ i ）當時，沒有零點；（ ii）當時，當時，；當時，所以在單調(diào)遞減，

21、在單調(diào)遞增 故是在的最小值 若，即，在沒有零點；若，即，在只有一個零點；若，即，由于，所以在有一個零點，由（ 1）知，當時，所以故在有一個零點，因此在有兩個零點 綜上，在只有一個零點時，點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1) 利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2) 分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域( 最值 ) 問題求解 .;.(3) 轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.（二）選考題： 共 10 分。請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做， 則按所做的第一題計分。22. 選修 44：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（ 1）求和的直角坐標方程；（ 2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率【答案】（ 1）當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為（ 2）【解析】分析：(1) 根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，此時要注意分與兩種情況 .(2) 將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，求得，即得的斜率詳解： （ 1）曲線的直