1、10.3二項(xiàng)式定理,-2-,-3-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.二項(xiàng)式定理,2.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為n+1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)開(kāi)始,次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1直到零;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增加1直到n.,-4-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),-5-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.(1+x)2n(nN*)的展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是 () A.第 項(xiàng)B.第n項(xiàng) C.第n+1項(xiàng)D.第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng) 2.(2015福建高考)在(x+2)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于.(用數(shù)字作答),C,解析:展開(kāi)式共有2n+1項(xiàng)

2、,且各項(xiàng)系數(shù)與相應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.故選C.,80,-6-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a3=. 4. 的展開(kāi)式中x8的系數(shù)是(用數(shù)字作答).,80,-7-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最值和增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大值.,-8-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對(duì)形如(ax+b)n, (ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;

3、對(duì)形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.,-9-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)(考點(diǎn)難度),0,-2,-10-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng),一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行,化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后,令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),指數(shù)為零;求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等),解出項(xiàng)數(shù)k+1,代回通項(xiàng)即可.,-11-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)在(x+a)10的展開(kāi)式中,若x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) (2)(2016浙江寧波十校聯(lián)考IB)已知二項(xiàng)式(2x+1)n展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為

4、60,求展開(kāi)式的中間項(xiàng).,-12-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,二項(xiàng)式系數(shù)的和或各項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題(考點(diǎn)難度) 例2(1)(2015西安八校聯(lián)考改編)設(shè) 展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則n的值為. (2)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10,則a1+a2+a10=.,4,-1 023,解析: (1)各項(xiàng)系數(shù)之和M=4n,二項(xiàng)式系數(shù)之和N=2n, 所以M-N=240=4n-2n,解得n=4. (2)令t=1-x,則x=1-t,所以有(2-t)10=a0+a1t+a2t2+a10t10, 令t為1,a0+a1+a10=1,另

5、t=0,可得a0=210, 所以,a1+a2+a10=1-210=-1 023.,-13-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少時(shí),應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,-1或0”,有時(shí)也取其他值.,-14-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,A.2n-1+3B.2(2n-1+1) C.2n+1D.1 (2)(2015課標(biāo)全國(guó)高考)(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=.,C,3,-15-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)(方法一) (1+x)4=x4+ C

6、4 3 x3+ C 4 2 x2+ C 4 1 x+ C 4 0 x0=x4+4x3+6x2+4x+1, (a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)為4a+4a+1+6+1=32, a=3. (方法二)設(shè)(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5. 令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5, 令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5, 由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5). 即8(a+1)=32,解得a=3.,-16-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(考點(diǎn)難度) 考情分析求多項(xiàng)式展開(kāi)式中的特定項(xiàng)是近幾年高考的

7、熱點(diǎn)和難點(diǎn),一般可以分成三種情況:(1)幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題;(2)幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題;(3)三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題.,-17-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考向一幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題 例3已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為11,則當(dāng)x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值為.,3,-18-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知(1+ax)3+(1-x)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為-2,則a等于() A. B.2C.-2D.-1,B,解析: (1+ax)3,(1-x)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)分別為a

8、3, , 由題可得a3-10=-2,即a3=8,解得a=2.,-19-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考向二幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題 例4(2016浙江高考IB) 已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+a10 x10,求a2的值.,-20-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2016浙江寧波五校聯(lián)考IB)已知(1+4x)5(1-2x)4展開(kāi)式中按x的升冪排列的第3項(xiàng)與 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)相等,求x的值.,解:(1+4x)5(1-2x)4展開(kāi)式中按x的升冪排列的第3項(xiàng)為關(guān)于x2的項(xiàng). 由(1+4x)5=1+54x+10(4x)2+,(1-2x)4=1+4(-2x)

9、+6(-2x)2+, 知第3項(xiàng)為10(4x)2+6(-2x)2-4(2x)54x=24x2.,-21-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考向三三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題 例5(2016浙江臺(tái)州中學(xué)高三第三次模擬)求 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).,-22-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10, 則a1+a2+a3+a10=() A.-1B.1C.-2D.0,C,解析:(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10,令x=0,可得a0=1, 令x=1,可得a0+a1+a2+a10=-1, a1+a2+a10=-2.故選C.,-23-,

10、考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中特定項(xiàng)只需要先分別求出每一個(gè)多項(xiàng)式中的特定項(xiàng),再合并即可. 2.幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法:可先分別化簡(jiǎn)或展開(kāi)為多項(xiàng)式和的形式,再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的每一種情形,求出相應(yīng)的特定項(xiàng),最后進(jìn)行合并即可. 3.三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法: (1)通常將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式,然后利用多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法求解; (2)將其某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體,直接利用二項(xiàng)式展開(kāi),然后再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形.,-24-,易錯(cuò)警示混淆二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤,(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); (2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).,-25-,解:由題意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.,-26-,反思提升本題易將二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)混淆,利用賦值來(lái)求二項(xiàng)式系數(shù)的和導(dǎo)致錯(cuò)誤;另外,也要注意項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)的絕對(duì)值與系數(shù)的區(qū)別.,-27-,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1+2x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).,-28-,高分策略1.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 是展開(kāi)式