1、1,4 測量信號分析 理論及方法,工程測試技術,2,信號分析的基本思路、方法,一、工程中的動態(tài)信號： (1)確定性信號：1）周期信號：簡諧周期信號、復雜周期信號 2）非周期信號：準周期信號、瞬變信號 (2)隨機信號：1）平穩(wěn)隨機過程：各態(tài)歷經(jīng)過程 非各態(tài)歷經(jīng)過程 2）非平穩(wěn)隨機過程 二、描述方法 1、域及轉(zhuǎn)換 （1）幅值域：概率密度函數(shù) （2）時間域：時間歷程、相關函數(shù)等 （3）頻率域：功率譜密度,3,2、隨機信號的統(tǒng)計描述,1）隨機過程 2）數(shù)據(jù)處理 （1） 總體 1）平均值、均方值、均方根值、方差 （2） 樣本 2）概率密度函數(shù) （3） 隨機變量 3）自相關函數(shù)與功率譜密度函數(shù) （4） 平

2、穩(wěn)過程 （4）互相關函數(shù)與互功率譜密度函數(shù) （5） 各態(tài)歷經(jīng)過程,4,4.1 基本概念,信號的分類 一般信號都是隨時間變化的時間函數(shù)，因此，可以根據(jù)信號隨時間變化的規(guī)律將信號分為確定性信號和隨機信號。 一、確定性信號 確定性信號是指可以用精確的數(shù)學關系式來表達的信號。給定一個時間值就可以得到一個確定的相應函數(shù)值。確定性信號根據(jù)它的波形是否有規(guī)律地重復可分為周期性信號和非周期性信號。 周期性信號是按一定周期T重復的信號。簡諧信號是最簡單的周期信號，任何周期信號都可以看作是簡諧信號的合成。 非周期信號沒有重復周期。它包括準周期信號和瞬態(tài)信號兩類。,5,4.1 基本概念,嚴格數(shù)學意義上的周期信號，是

3、無始無終地重復著某一變化規(guī)律的信號。實際應用中，周期信號只是指在較長時間內(nèi)按照某一規(guī)律重復變化的信號。 實際上周期信號與非周期信號之間沒有絕對的差別，當周期信號fT(t)的周期T 無限增大時，則此信號就轉(zhuǎn)化為非周期信號f(t)。即,6,4.1 基本概念,確定性信號也可以按照它的取值情況分為連續(xù)信號和離散信號。 連續(xù)信號：在某一時間間隔內(nèi)，信號的幅值可以取連續(xù)范圍內(nèi)的任意數(shù)值。這樣的連續(xù)時間函數(shù)所表示的信號就是連續(xù)信號。常見的信號大都屬于這一類。 離散信號的離散性可以表現(xiàn)在時間或幅值上，例如每天中午測量一次室溫，則測量記錄的溫度信號就是離散信號，而經(jīng)過測試系統(tǒng)量化后在時間和幅值上都是離散的信號，

4、稱為數(shù)字信號。 二、隨機信號（非確定性信號） 隨機信號不能用精確的數(shù)學關系式來表達，也無法確切地預測未來任何瞬間的精確值的信號，稱為隨機信號。,7,4.1 基本概念,對于隨機信號雖然也可以建立某些數(shù)學模型進行分析和預測，但只能是在概率統(tǒng)計意義上的近似描述，這種數(shù)學模型稱為統(tǒng)計模型。,8,4.1 基本概念,9,4.1 基本概念,信號的描述 任何一個信號都可以用時域和頻域進行描述。 信號的時域描述表征信號的幅值隨時間的變化規(guī)律。 信號的頻域描述是研究信號的頻率結(jié)構(gòu)，即組成信號的各頻率分量的幅值及相位的信息，例如周期性方波可以看成是由一系列頻率不同的正弦波疊加而成。 從時域圖形中可以知道信號的周期、

5、峰值和平均值等，可以反映信號變化的快慢和波動情況。用時域描述比較直觀、形象，便于觀察和記錄。 由頻域描述的圖形頻譜圖中可以研究其頻率結(jié)構(gòu)。例如對振動信號進行頻譜分析，可以從頻譜圖中看出該振動是由哪些不同的頻率分量組成的，各頻率分量所占的比例，以及哪些頻率分量是主要的，從而找出振動源，以便排除或減小有害振動。,10,4.2 周期信號的譜分析,周期信號的分解 正弦信號是簡諧信號，而鋸齒波、三角波、方波等都是非簡諧信號。簡諧信號是最簡單的和最重要的周期信號。任意一個周期信號可以用簡諧信號來表達，兩者之間聯(lián)系的橋梁是付里葉級數(shù)，所以付里葉級數(shù)是周期信號分析的理論基礎。 簡諧周期信號的時變函數(shù)表達式 復

6、雜周期信號的時變函數(shù)表達式 A最大振幅，f0頻率，T周期，T=1/f0，0圓頻率，0 =2f0 初始相角，n任意整數(shù)（n=1，2，3）。 任何一個周期信號在滿足狄里赫利條件時，都可以展開成付里葉級數(shù)。,11,4.2 周期信號的譜分析,一、三角付里葉級數(shù) 周期信號x(t)的三角付里葉級數(shù)表達式為 付里葉系數(shù)為 上式正弦、余弦項合并，得 式中,12,4.2 周期信號的譜分析,上式表明周期信號可以用一個常值分量和無窮多個諧波分量之和表示。一次諧波分量n=1稱為基波。基波的頻率與信號的頻率相同，高次諧波的頻率為基頻的整數(shù)倍。高次諧波又可分為奇次諧波（n為奇數(shù)）和偶次諧波（n為偶數(shù)）。這種把一個周期信號

7、分解為一個直流和無數(shù)個諧波分量之和的方法稱為諧波分析法或付里葉分析法。,13,4.2 周期信號的譜分析,二、復數(shù)付里葉級數(shù) 付里葉級數(shù)也可以寫成復指數(shù)函數(shù)形式。根據(jù)歐拉公式 得付里葉級數(shù)的復數(shù)形式： 該式表明：周期信號可分解成無數(shù)多個指數(shù)分量之和。由歐拉公式可知，簡諧信號可以用兩項分別具有正負指數(shù)的項相加表示。因此，在復指數(shù)函數(shù)表示法中周期信號就由一組具有正負指數(shù)的函數(shù)組成。,14,4.2 周期信號的譜分析,復數(shù)形式的付里葉系數(shù) 它的模和相角表示n次諧波的振幅和相位，即 由于以上公式中諧波次數(shù)n值可正可負，因此勢必會有（-）出現(xiàn)，這是因為從實數(shù)形式的付里葉級數(shù)過渡到復數(shù)形式的付里葉級數(shù)，用復數(shù)

8、表示正弦和余弦，所以（-）完全是由于用復數(shù)表示所引起的，無實際意義。,15,4.2 周期信號的譜分析,周期信號的頻譜 由上述可知，利用付里葉級數(shù)能確切地表達信號分解的結(jié)果，但不直觀。為了既簡單又明了地表示一個信號中包含了哪些頻率分量及各分量占的比例大小，通常用頻譜圖來表示。 以頻率（或圓頻率）為橫坐標，幅值A或相角為縱坐標所作的圖稱為頻譜圖。頻譜圖通常包括幅頻譜圖、相頻譜圖兩部分。 時域描述和頻域描述是一個信號在不同域中的兩種表示方法。,16,4.2 周期信號的譜分析,例題：如圖所示的周期 方波的函數(shù)表達式為 試將其分解為付里葉 級數(shù)。,17,4.2 周期信號的譜分析,解：因x(t)為偶函數(shù)，

9、則bn=0，,18,4.2 周期信號的譜分析,由頻譜圖可以看出周期信號的頻譜具有如下幾個特點： 頻譜是由不連續(xù)的譜線組成，每條譜線代表一個諧波分量。這種頻譜稱為離散頻譜。 信號重復周期的倒數(shù)就是基波頻率，即1/T=f0。譜線之間的間隔等于基波頻率的整數(shù)倍。即頻譜中的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，各諧波的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍。 工程中常見的周期信號，其諧波幅度總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。 相位譜由一組等高的譜線組成。此方波的各諧波相位角是零，所以相位譜由一組為零的譜線組成。,19,4.2 周期信號的譜分析,從理論上講，一個周期信號可以利用付里葉級數(shù)分解成無窮多個或有限個諧波

10、分量。但實際應用中不可能取無窮多項，只能取有限項近似地表示，這就不可避免地帶來誤差。 例如，方波的付里葉展開式， 圖示為諧波項數(shù)的多少與 方波近似程度示意圖。圖 中陰影線部分為誤差部分， 可以看出諧波分量越多， 疊加后的波形越接近實 際信號的波形。,20,4.2 周期信號的譜分析,周期信號的強度 周期信號的強度用峰值、均值、有效值和平均功率來表述。 峰值 即信號的最大瞬時值。 均值 為信號的常值分量，表示信號的靜態(tài)分量，反映了信號在一個周期內(nèi)的平均值。 有效值（或均方根值） 為信號的有效值（均方根值），它反映了信號的功率大小。 平均功率（或均方值） 為信號的均方值，表示信號能量的大小。,21,

11、4.3 非周期信號的譜分析,非周期信號包括準周期信號和瞬態(tài)信號兩類。 準周期信號是由有限個簡諧信號合成的一種非周期信號。這些簡諧信號的角頻率的比值為無理數(shù)，它們之間沒有一個共同的基本周期，所以信號是非周期的，但它又是由簡諧信號合成的，故稱為準周期信號。如 函數(shù)表達式 n在任何情況下都不等于有理數(shù). 準周期信號的幅值頻譜為離散譜，其處理方法與處理復雜周期信號一樣，差別只在于各分量的頻率不再是有理數(shù)關系。 除準周期信號以外的非周期信號都稱為瞬態(tài)信號。 下面討論的非周期信號就是指瞬態(tài)信號。,22,4.3 非周期信號的譜分析,頻譜密度函數(shù) 當周期信號的周期趨于無限大時，周期信號將演變成非周期信號。因此

12、，非周期信號的頻譜也可由周期信號的頻譜導出。 如前所述，周期信號的指數(shù)函數(shù)表達式中 當周期 時， 為無窮小量，即 的取值間隔為無窮小，所以 由離散量變成連續(xù)量，周期信號變?yōu)榉侵芷谛盘枴?23,4.3 非周期信號的譜分析,現(xiàn)用代替 ，則周期信號的指數(shù)函數(shù)表達式可寫成 式中 周期信號的頻譜是離散的，譜線間的間隔為 。當信號周期趨于無限大時，周期信號就演變?yōu)榉侵芷谛盘?，譜線間的間隔趨于無限小量d，非連續(xù)變量 變成連續(xù)變量，T用2/d代替，求和運算變成求積分運算。,24,4.3 非周期信號的譜分析,X()為信號x(t)的付里葉變換，x(t)為X()的付里葉反變換，二者合稱為付里葉變換對。付里葉變換是將

13、時域函數(shù)變換為頻域函數(shù)。X()表示角頻率為處的單位頻帶寬度內(nèi)頻率分量的幅值與相位，稱為函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù)（或簡稱頻譜函數(shù)）。 頻譜密度函數(shù)為復數(shù)，即 幅頻譜函數(shù)， 相頻譜函數(shù)，Re()和Im()分別為頻譜密度函數(shù)X()的實部和虛部。,25,4.3 非周期信號的譜分析,綜上所述，非周期信號和周期信號雖然都可用無限個簡諧信號之和來表示，但周期信號用付里葉級數(shù)來描述，各頻率分量的頻率取離散值，相鄰分量的頻率相差一個或幾個基頻數(shù)，而非周期信號用付里葉積分來描述，其頻率分量的頻率取連續(xù)值，非周期信號包含一切頻率，故頻譜為連續(xù)譜。 4.3.2 非周期函數(shù)的能量密度 信號總能量可表示為Parseva

14、l 它表明總能量是各個頻率分量的能量 之和。 具有“單位頻率中所具有的能量”的含義，故稱為能量譜密度.,26,27,信號的分類,28,4.4 隨機信號描述及其譜分析,隨機信號是不能用精確的數(shù)學關系式描述的信號，但它的變動服從統(tǒng)計規(guī)律，可以用概率統(tǒng)計特性來描述。 4.4.1 隨機信號的描述 對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄稱為樣本函數(shù)，記作xi(t)。在同樣條件下，對該過程重復觀測，得到互不相同的可能發(fā)生的許多樣本函數(shù)的集合稱為總體，記作 表示一個隨機過程。如果隨機信號的統(tǒng)計參數(shù)不隨時間變化，則稱為平穩(wěn)隨機過程，反之稱為非平穩(wěn)隨機過程。,29,4.4 隨機信號描述及其譜分析,在平穩(wěn)隨

15、機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機過程叫各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。工程上遇到的隨機信號大都可以當作各態(tài)歷經(jīng)隨機過程來處理。 4.4.2 隨機信號的數(shù)據(jù)處理和譜分析 一、隨機信號的數(shù)據(jù)處理 各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計參數(shù)都可以采用單個樣本函數(shù)的時間平均來定義，并且對任何一個樣本函數(shù)來定義都將是一樣的。通常用來描述各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的主要統(tǒng)計參數(shù)有下列四個： 均方值、概率密度函數(shù)、自相關函數(shù)和功率譜密度函數(shù)。,30,4.4 隨機信號描述及其譜分析,均方值描述信號強度方面的特性，而后三者分別描述信號在幅值域、時間域和頻率域中的特性。 1、平均值、均方值、均方根值

16、和方差值 工程上常把隨機信號（各態(tài)歷經(jīng)的）看成是由一個不隨時間變化的靜態(tài)分量（即直流分量）和隨時間變化的動態(tài)分量兩部分組成的。 靜態(tài)分量可用均值表示， 動態(tài)分量可用方差表示，即 方差的平方根叫標準差 均方值描述隨機信號的強度，即,31,4.4 隨機信號描述及其譜分析,在實際測試工作中，要獲得觀察時間T為無限長的樣本函數(shù)是不可能實現(xiàn)的。因此以有限長度樣本記錄代之，這樣計算的均值、方差和均方值都是估計值。 2、概率密度函數(shù) 隨機信號的概率函數(shù)是表示信號落在某指定范圍內(nèi)的概率，用來表征隨機信號幅值的統(tǒng)計特性。 假設在觀測記錄時間T內(nèi)，各態(tài)歷經(jīng)信號的某一樣本函數(shù)x(t)的幅值落在區(qū)間（x,x+x）內(nèi)的

17、時間長度分別t1,t2,t3,如圖所示，那么信號在該區(qū)間的概率為,32,4.4 隨機信號描述及其譜分析,概率密度函數(shù)為 不同的隨機信號，其概率 密度函數(shù)的圖形不同，借 此可以認識和區(qū)分各種不 同的信號。圖示為常見隨 機信號及其概率密度函數(shù) 圖形。,33,4.4 隨機信號描述及其譜分析,3、自相關函數(shù) 自相關函數(shù)是信號在時域中特性的平均度量，它用來描述各態(tài)歷經(jīng)信號在一個時刻的取值與另一個時刻取值的依賴關系，可以用下式表示 自相關函數(shù)就是信號x(t)和它的時移信號x(t+)乘積的平均值，它是時移變量的函數(shù)。自相關函數(shù)不僅可以用于分析隨機信號，也可以用于分析確定性信號 。 例如信號 的自相關函數(shù)為,

18、34,4.4 隨機信號描述及其譜分析,自相關函數(shù)保留了原信號的頻率成分，其頻率不變，幅值等于原幅值平方的一半，即等于該頻率分量的平均功率，但丟失了相角的信息。 自相關函數(shù)具有如下主要性質(zhì)： 1，自相關函數(shù)為偶函數(shù)， ， 2，其圖形對稱于縱軸。 因此，不論時移方向是 導前還是滯后（為正 或負） ，函數(shù)值不變。,35,4.4 隨機信號描述及其譜分析,當=0時，自相關函數(shù)具有最大值，且等于信號的均方值，即 周期信號的自相關函數(shù)仍為周期信號。 實際工程應用中，常采用自相關系數(shù)來度量其相關程度，定義 當=0時， ，說明相關程度最大，當=時， ，說明信號x(t)與x(t+）之間彼此無關。由于 ，所以有 。

19、 值的大小表示信號相關性的強弱。,36,4.4 隨機信號描述及其譜分析,自相關函數(shù)具有如下應用： 檢測信號回聲（反射）。若在寬帶信號中存在著帶時間延遲0的回聲，那么該信號的自相關函數(shù)將在=0處也達到峰值（另一峰值在=0處），則可以根據(jù)0確定反射體的位置，同時自相關系數(shù)在0處的值 將給出反射信號相對強度的度量。 檢測淹沒在隨機噪聲中的周期信號。由于周期信號的自相關函數(shù)仍是周期性的，而隨機噪聲信號隨著延遲增加，它的自相關函數(shù)將減到零。因此在一定延遲時間后，被干擾信號的自相關函數(shù)中就只保留了周期信號的信息，而排除了隨機信號的干擾。,37,4.4 隨機信號描述及其譜分析,4、（自）功率譜密度函數(shù) 任何

20、一個時域信號都可以用頻域函數(shù)表達。自相關函數(shù)是一個時域函數(shù)，它的付里葉變換稱（自）功率譜密度函數(shù)，簡稱自功率譜或自譜，用符號Sx()表示。 它表示單位頻帶寬度上的平均功率。 隨機信號的自相關函數(shù)與功率譜密度函數(shù)組成付里葉變換對，即 由于 為實偶函數(shù)，所以 也是實偶函數(shù)，因此上式又可寫成,38,4.4 隨機信號描述及其譜分析,若注意到前述自相關函數(shù)的特性（2），令=0，則可得 這表示自功率譜 與頻率軸所包圍的面積就是信號的平均功率。因此 給出了信號中各頻率分量的功率沿頻率軸的分布，所以稱 為功率譜密度。 是在（-+）頻率范圍內(nèi)的功 率譜，所以又稱為雙邊譜。但在實 際應用中頻率是在（0 +）范圍

21、變化，考慮到能量等效，用單邊功 率譜 代替雙邊功率譜 時，則有,39,4.4 隨機信號描述及其譜分析,綜上所述，隨機信號的時域和頻域特性可以用統(tǒng)計方法進行研究，其幅值特性用信號的均值、均方值和概率密度函數(shù)描述。信號的時域特性也可以用自相關函數(shù)描述，頻域特性用功率譜密度描述。 5、互相關函數(shù)與互譜密度函數(shù) 以上介紹的是隨機信號的統(tǒng)計特性。在實際中常常需要描述兩個隨機信號之間的依賴關系，即聯(lián)合統(tǒng)計特性，互相關函數(shù)和互譜密度函數(shù)給出了時延域和頻域上的聯(lián)合特性。 互相關函數(shù)與自相關函數(shù)都是研究信號相似性的工具，但自相關函數(shù)是處理信號和它自身的時移信號的相似性問題，而互相關函數(shù)是處理兩個信號之間的相似性

22、問題。,40,4.4 隨機信號描述及其譜分析,隨機信號x(t)和y(t)的互相關函數(shù)Rxy()定義為 互相關函數(shù)有如下性質(zhì)： 互相關函數(shù)不是偶函數(shù)，是不對稱的。 如Rxy()在=d位置達到最大值，則說明y(t)導前d時間后， x(t)與y(t) 最相似。 Rxy()= Ryx(-)，即x(t)與y(t)互換后，它們的互相關函數(shù)對稱于縱軸，該式說明使信號y(t)在時間上導前，與使另一信號x(t)滯后，其結(jié)果是一樣的。,41,4.4 隨機信號描述及其譜分析,定義互相關系數(shù)為 互相關系數(shù)反映了兩個隨機信號之間的相關性。且 若x(t)和y(t)之間沒有同頻的周期成分，那么當很大時就彼此無關，即 。 頻率相同的兩個周期信號的互相關函數(shù)仍是周期函數(shù)，其周期與原信號相同。 例如設兩個周期信號為 和 ，則其互相關函數(shù)為,42,4.4 隨機信號描述及其譜分析,由此可見，互相關函數(shù)保留了兩個信號的共同頻率分量的頻率、幅值和相位差的信息。 由于互相關函數(shù)有上述性質(zhì)，因此在檢測技術中得到了廣泛的應用，最常見的應用有以下幾種： 1，確定時間延遲。假如某信號從A點傳播到另一點B，那么在兩