1、.專題二：函數(shù)的周期性和對稱性【高考地位】函數(shù)的周期性和對稱性是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，研究一個(gè)函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱），并且在高考中也經(jīng)?？疾楹瘮?shù)的對稱性和周期性，以及它們之間的聯(lián)系。因此，我們應(yīng)該掌握一些簡單常見的幾類函數(shù)的周期性與對稱性的基本方法。【方法點(diǎn)評】一、函數(shù)的周期性求法使用情景：幾類特殊函數(shù)類型解題模板：第一步合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危坏诙綔?zhǔn)確求出函數(shù)的周期性；第三步運(yùn)用函數(shù)的周期性求解實(shí)際問題.例 1 (1)函數(shù) f ( x) 對于任意實(shí)數(shù)x 滿足條件 f (x2)15 ，則 f ( f (5)（），若 f (1)

2、f ( x)a 5b 5c 1d155【答案】 d考點(diǎn)：函數(shù)的周期性(2) 已知 fx在 r 上是奇函數(shù)，且滿足f x5f x ，當(dāng) x0,5時(shí)， fx x2x ，則 f 2016（）a、 -12b、 -16c、 -20d、 0【答案】 a試題分析：因?yàn)閒 x5fx ，所以 fx 10f x 5fx ， fx 的周期為 10 ，因此f 2016f4f416412 ，故選 a考點(diǎn)： 1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的解析式及單調(diào)性【點(diǎn)評】 (1) 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè) 定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值(2) 求函數(shù)周期的方法【變式演練1】已知定義在

3、 r 上的函數(shù) f ( x) 滿足 f ( x)f ( x) ， f (3 x)f ( x) ，則 f (2019)（）a 3b 0c 1d 3【答案】 b.【變式演練2】定義在 r 上的函數(shù)fx 滿足 fx2fx0, x0,2 時(shí)，f x3x 1，則 f2015 的值為（）a.-2b.0c.2d.8【答案】 a試題分析：由已知可得 f ( x4)f ( x2)f (x)fx 的周期 t 4f2015f (3)f (1)2 ，故選 a. 考點(diǎn)：函數(shù)的周期性 .【變式演練3】定義在 r 上的偶函數(shù) yf (x) 滿足 f ( x2)f ( x) ，且在 x 2,0上為增函數(shù)， a3f ( ) ，

4、2bf ( 7 ) ， cf (log 1 8) ，則下列不等式成立的是（）22a a b cb b c ac b a cd c a b【答案】 b試題分析：因?yàn)槎x在 r 上的偶函數(shù) yf ( x) 在 x 2,0上為增函數(shù)，所以在x0, 2 上單調(diào)遞減，又f (x4)f ( x) ，所以 bf ( 7 )f1, cf (log 1 8)f3 f 1 ，又 113，所以 b ca 22222考點(diǎn)： 1偶函數(shù)的性質(zhì)；2函數(shù)的周期性二、函數(shù)的對稱性問題使用情景：幾類特殊函數(shù)類型解題模板：記住常見的幾種對稱結(jié)論：第一類函數(shù) f ( x) 滿足第二類函數(shù) f ( x) 滿足f ( xa)f (bx)

5、 時(shí)，函數(shù) yf ( x) 的圖像關(guān)于直線abx對稱；2f ( xa)f (bx) c時(shí)，函數(shù) yf ( x) 的圖像關(guān)于點(diǎn) ( ab , c ) 對稱；22第三類函數(shù) y f ( xa) 的圖像與函數(shù) y f (bx) 的圖像關(guān)于直線 xba 對稱 .2例 2 （從對稱性思考） 已知定義在 r 上的函數(shù) f ( x) 滿足 f (x)f (x) ， f (3x)f ( x) ，則 f (2019)（ )a 3b 0c 1d 3【答案】 b.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】函數(shù)f (x)滿足f (- x)- f (x),則函數(shù)關(guān)于中心對稱，f (3x)f (x), 則函數(shù)關(guān)于x2（0，0）軸對稱，3常用結(jié)論：若在

6、r 上的函數(shù) f ( x) 滿足 f (ax)f ( ax), f (bx)f (bx) ，則函數(shù) f ( x) 以 4 | ab | 為周期 .本題中，利用此結(jié)論可得周期為40 - 26 ，進(jìn)而 f (2019)f (3) ， f(3) 需要回到本題利用題干條件賦值即可.3例 3已知定義在 r 上的函數(shù) fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3 ,0對稱 ,且滿足 fxfx3, 又42f11, f02 , 則 f1f2f3.f2008（）a 669b 670c 2008d 1【答案】 d試題分析：由f xfx3得 fxfx 3，又 f11, f02 ，2f ( 1)f (13) f (2) ， f (0)f (3

7、)， fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3,0對稱，所以4f1f (1 )f (13)f (1), f (1)f (2)f (3)0，由 fxf x3可得222f 1f2f3 .f2008669( f1f2f3 )f (1)f (1)f (1)1，故選 d.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性；函數(shù)的對稱性例 4已知函數(shù) g( x)a x2 (1x e,e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 與 h( x)2ln x 的圖像上存在關(guān)于x 軸對稱的點(diǎn)， 則e實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）a 1,1b 1,e22122)2 2c 22,e 2d e 2,ee【答案】 b考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；方程的有解問題.【變式演練4】定義在 r 上的奇函數(shù)

8、f ( x) ，對于 xr ，都有 f ( 3x)f ( 3x) ，且滿足 f ( 4)2 ，44f (2) m3 ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是.m【答案】 m1 或 0 m 3.試題分析：由 f ( 3x) f ( 3x) ，因此函數(shù)f ( x) 圖象關(guān)于直線 x3對稱，又 f ( x) 是奇函數(shù)，因此它也是周期函44433 ， f (4)2 ， f (4)f (4) 2 ， f (2)f (2 3 2) f ( 4) ，即 m3，解得數(shù)，且 t 424mx1或0x3 .考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性.【高考再現(xiàn)】1. 【 2016 高考新課標(biāo)2 理數(shù)】已知函數(shù)f (x)( xr ) 滿足 f (

9、 x)2x1與 yf (x) 圖像的交f ( x) ，若函數(shù) yxm點(diǎn)為 (x1, y1 ),( x2 , y2 ),( xm, ym ), 則( xiyi )（）i1（ a） 0（ b） m（ c） 2m（ d） 4m【答案】 c試題分析：由于fx f x2 ，不妨設(shè) fxx1 ，與函數(shù) yx1111,2 ,1,0，故x的交點(diǎn)為xx1 x2 y1 y22 ，故選 c.考點(diǎn)： 函數(shù)圖象的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】 如果函數(shù) f (x) ， xd ，滿足xd ，恒有 f (ax)f (bx) ，那么函數(shù)的圖象有對稱軸xa b；2如果函數(shù) f ( x) ， xd ，滿足xd ，恒有 f ( ax)f (bx

10、) ，那么函數(shù)的圖象有對稱中心 .2. 【 2016 高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?r.當(dāng) x0 時(shí)，f (x)x31；當(dāng) 1 x1時(shí)， f (x)f (x) ；當(dāng) x1時(shí)， f (x1 )f ( x 1 )222.則 f(6)= （）（ a ） - 2（ b） - 1（ c） 0（ d） 2【答案】 d考點(diǎn)： 1.函數(shù)的奇偶性與周期性；2.分段函數(shù) .【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性與周期性，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容.本題具備一定難度.解答此類問題，關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)特征，進(jìn)行函數(shù)值的轉(zhuǎn)化.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能

11、力等.3. 【 2016 年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)f ( x) 是定義在 r 上的周期為2 的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1 時(shí)， f (x)4x ，則.f (5 ) f (1) =.2【答案】 -2考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí)，只要把f (5) 和 f (1) ，利用奇偶性與周期性2化為 (0,1) 上的函數(shù)值即可xa, 1x0,5. 【 2016 高考江蘇卷】設(shè)f (x) 是定義在 r 上且周期為2 的函數(shù)，在區(qū)間 1,1)上， f ( x)2x ,0x其中51,a r. 若 f (5)f ( 9)，則 f (5a)的值是.22【答案】2

12、5【解析】 f (51)f (911123)f ()f ( )a2a，2222255因此 f (5a)f (3)f (1)f (1)32155考點(diǎn)：分段函數(shù)，周期性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重 對應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.【反饋練習(xí)】1.【 2016 屆云南昆明一中高三仿真模擬七數(shù)學(xué)，理4】設(shè)函數(shù)yf ( x) 定義在實(shí)數(shù)集r 上，則函數(shù)yf (ax) 與yf ( xa) 的圖象（）a關(guān)于直線y0 對稱b關(guān)于直線x0

13、對稱 c關(guān)于直線ya 對稱d關(guān)于直線xa 對稱【答案】 d2【 2017 屆河南夏邑縣第一高級中學(xué)高三文一輪復(fù)習(xí)周測二數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù)fx 是定義在 r 內(nèi)的奇函數(shù)，且.滿足 fx4fx ，當(dāng) x0,2時(shí)， fx2x2，則 f2015（）a -2b 2c -98d 98【答案】 a試題分析：由 fx4fx 得 fx 的周期 t4f2015f (3)f ( 1)f (1)2 ，故選 a.考點(diǎn)： 1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的周期性 .3. 【 2017 屆河南新鄉(xiāng)一中高三9月月考數(shù)學(xué)， 文 8】定義在 r 上的偶函數(shù)f (x) 滿足 f (x 3)f ( x) ，對x1 , x20,3且 x1x

14、2 ，都有f ( x1 ) f ( x2 )0 ，則有（）x1x2a f (49)f (64)f (81)b f (49)f (81)f (64)c f (64)f (49)f (81) d f (64)f (81)f (49)【答案】 a【解析】試題分析：因?yàn)閒 (x 3)f (x) ，所以 f ( x6)f (x3)f x，及 f x是周期為6 的函數(shù)，結(jié)合 f ( x) 是偶函數(shù)可得，f (49)f 1 , f (64)f2f2, f (81)f3f3，再由x1 , x20,3 且 x1x2 ，f ( x1 )f (x2 )0得 f ( x) 在 0,3上遞增，因此f(1)f (2)f

15、(3) ，即 f (49)f (64)f (81) ，故選 ax1x2考點(diǎn)： 1、函數(shù)的周期性；2、奇偶性與單調(diào)性的綜合4. 【 2017 屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷，文12】已知定義在 r 上的函數(shù) f ( x) 滿足： yf (x1) 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)x0時(shí)恒有31x(1,0)f ( x)f ( x)，當(dāng)x0, 2)時(shí)，f ( x) e，則212f (2016)f (2015)（）a 1 eb e 1c 1 ed e 1【答案】 a試題分析： yf ( x 1)的圖象關(guān)于(1,0)點(diǎn)對稱，則fx關(guān)于原點(diǎn)對稱 .當(dāng) x0 時(shí)恒有 f (x3 )f ( x1 ) 即函22數(shù)

16、f x 的周期為 2 . 所以 f (2016)f (2015)f0f11e .考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、周期性與奇偶性，分段函數(shù)5. 【 2016-2017 學(xué)年貴州遵義四中高一上月考一數(shù)學(xué)試卷，理 11】已知函數(shù) f ( x)a x2 (1x2) 與 g(x)x 2 的圖象上存在關(guān)于x 軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（）a 9 ,)b 9 ,0c 2,0d 2, 444【答案】 c.【解析】考點(diǎn)：構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍.6. 【 2017 屆河北武邑中學(xué)高三上周考8.14 數(shù)學(xué)試卷，理1f ( x)9】若對正常數(shù) m 和任意實(shí)數(shù) x ，等式 f (x m)f ( x)1成立，則下列說

17、法正確的是（）a函數(shù)f (x) 是周期函數(shù)，最小正周期為2mc函數(shù)f (x) 是周期函數(shù)，最小正周期為4m【答案】 cb函數(shù)f ( x) 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)d函數(shù)f ( x) 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)考點(diǎn)：函數(shù)的周期性7.【 2017 屆四川成都七中高三10 月段測數(shù)學(xué)試卷，文10】 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?r ，以下命題正確的是（）同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y f ( x1) 與函數(shù) yf (1x) 的圖象關(guān)于直線 x1 對稱；函數(shù) f ( x) 的圖象既關(guān)于點(diǎn) (3 ,0) 成中心對稱，對于任意x ，又有 f ( x3)f (x) ，則 f ( x) 的圖象關(guān)于直線42x3對稱；2函數(shù)

18、 f ( x) 對于任意 x ，滿足關(guān)系式f (x 2)f ( x4) ，則函數(shù) yf ( x3) 是奇函數(shù) .ab cd【答案】 d【解析】試題分析：.正確，因?yàn)楹瘮?shù) yf x 與 yfx關(guān)于 y 軸對稱，而 yfx 1和 yf 1x都是 yf x 與 yfx 向右平移1 個(gè)單位得到的，所以關(guān)于直線x1對稱；正確，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)- 3，0成中心對稱，所以 f3xfx ，而 f (x3)f ( x) ，所以422f3xf3x，即 fxfx ，又根據(jù) f (x3)f (x) ，可得函數(shù)的周期t3, 又有 fxf x ，222所以 f3fx3fx3，所以函數(shù)關(guān)于直線x3對稱；x2222x2x 43，所以函數(shù) f x 關(guān)于點(diǎn)3,0對稱，而函數(shù)yfx3是函數(shù) y f x向左平正確，因?yàn)?移 3個(gè)單位得到，所以函數(shù)yfx3 是奇函數(shù) . 故 3 個(gè)命題都正確，故選 d.考點(diǎn)：抽象函數(shù)的性質(zhì)2 x24x1(x 0)8. 【 2015-2016學(xué)年東北育才學(xué)校高二下段考二試數(shù)學(xué)，文12】函數(shù) f ( x)2x的圖像上關(guān)于原點(diǎn)( x0)e對稱的點(diǎn)有（）對a. 0b. 2c. 3d.無數(shù)個(gè)【答案】 b2x24x1( x 0)y 2x2