1、等差數列的前n項和,陳 軍,123100？,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。 你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？,七大奇跡之一：泰姬陵,高斯(Carl Friedrich Gauss)德國數學家，也是天文學家和物理學家，他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家，有“數學王子”之稱。高斯最出名的故事就是他十歲時，小學老師出了一道算術難題

2、：“計算123100？”。這可難為初學算術的,學生，但是高斯卻在幾秒后將答案解了出來。他利用算術級數（等差級數）的對稱性，然后就像求得一般算術級數和的過程一樣，把數目一對對的湊在一起：1100，299，398，4952，5051，而這樣的組合有50組， 所以答案很快的就可以求出是：101505050。,問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？,獲得結果：,等差數列an的前n項和：,你可否用類似的方法推導出等差數列的前n項和？,思考,（1）,（2）,(1)+(2)得到： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an-1+a2)+(an+a1) =n(a1+an),或,120,72

3、60,9,22,2,10,2550,500,填寫下列表格：,練習,或,例1.求集合 中元素的個數，并求這些元素的和 例2.已知一個等差數列的前 10 項和是 310，前20 項和是 1220，由此可以確定求其前 n 項和的公式嗎？,例3.一個項數為26的等差數列的前四項和為 21，末四項和為67，求 S26 例4.項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求項數及中間的一項。,結論：等差數列的奇數項(偶數項)組成的數列仍是 等差數列 若等差數列an共有2n+1項，則必有 S奇-S偶 = a中， S奇+S偶 = (2n+1) a中 若等差數列an共有2n項，則必有 S偶- S奇

4、= nd,例5.已知等差數列an中，Sm = 10， S2m = 30 ，則 S3m = ( ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 70,結論：等差數列的依次m項之和構成的數列仍為等差數列 即 等差數列an中，Sm， S2m-Sm， S3m-S2m 成等差數列,練習：,設等差數列的前n項和為 Sn，且 S10=100，S100=10，求 S110,例6.已知數列an的通項公式是 an = 2n-48，nN*，求 Sn 達到最小時的 n 值,例7.已知數列an的前n項和 Sn = 25n-2n2 求證：an是等差數列 求數列|an|的前n項和 Tn,例8.項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求項數及中間的一項。,結論：等差數列的奇數項(偶數項)組成的數列仍是 等差數列 若等差數列an共有2n+