1、2章 命題與證明,一、四個概念,1.對于一個概念的特征性質(zhì)的描述叫做這個概念 的定義。 2.敘述一件事情的句子，要么是真的，要么是假 的，那么稱這個陳述句是一個命題。 命題可看做由條件（題設）和結(jié)論兩部分組成。 題設是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。,拓展,“同角的余角相等”是真命題嗎？你能說明為什么嗎?分析：我們可以假設1與3互余,2與4也互余且1=2我們來說明3=4 說理:因為1與3互余 所以1+3=900 即3=900 1 因為2與4也互余 所以2+4=900 即4=900 2 因為1=2 所以3=4,3.像上面這樣用推理的方法 判斷為正確的 命題叫做定理 . 定理也可以作為判斷其

2、他命題真假的依據(jù). 數(shù)學中通常挑選一部分人類經(jīng)過長期實踐 后公認為正確的命題叫做公理. 公理也是判斷其他命題真假的依據(jù). 注意：公理不用說明理由，而定理一定要說明理由。,4.從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理 （推理），得出它結(jié)論成立，從而判斷 該命題為真，這個過程叫作證明。,命題“a，b是實數(shù)，若，則a2b2”命題 的結(jié)論保持不變，改變命題的條件，有下 列四種改法： a，b是實數(shù)，若ab0，則a2b2； a，b是實數(shù)，若ab，且a+b0， 則a2b2； a，b是實數(shù)，若ab2； a，b是實數(shù)，若ab2 以上哪幾個是真命題？請說明理由,證明的方法,1.綜合法：從題目條件出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，得

3、出結(jié)論正確。,2.分析法：從結(jié)論出發(fā)，追索到題目的已知條件,3.反證法：假設命題結(jié)論不成立； 經(jīng)過推理得出矛盾；（結(jié)論與已知條件矛盾， 或者結(jié)論與已學定義、定理或公理矛盾） 從而判斷命題結(jié)論一定成立.,（一般用于尋找證題思路）,（一般用于書寫證明過程）,（用常規(guī)方法無法解決時，可考慮反證法）,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,兩面夾攻,2.推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(三線合一).,二、三角形的相關(guān)定理：,1.定理: 等腰三角形的兩個底角相等,簡稱:等邊對等角,4.定理:在直角三角形中,如果一個銳角等于300,那么這個銳角所對直角邊等于斜邊的一半,它的逆命題:,在直角三

4、角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于300.,3.等邊三角形的判定：,(3).有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形,(1).三條邊都相等的三角形是等邊三角形,(2).三個角都相等的三角形是等邊三角形,有兩個角相等的三角形是等腰三角形,逆定理:,5.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.,它的逆定理:,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形,6.三角形全等的判定定理： SSS,SAS,ASA,AAS,斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等,(簡稱“HL”),直角三角形全等的判定定理:,定理：線段垂直平分線上的點到

5、這條線段兩個端點的距離相等。,8.線段的垂直平分線,它的逆命題:,到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上,9.角平分線,定理:角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。,逆命題:,在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上,10.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。,三、幾種特殊四邊形的性質(zhì)定理及比較,圖形,元素,邊,角,對角線,對稱性,平行四邊形,矩形,菱形,正方形,對邊平行且相等,對邊平行且相等,對邊平行且相等 四條邊都相等,對邊平行且相等 四條邊都相等,對角相等，鄰角互補,對角相等，鄰角互補 四個角都是直角,對角相等，鄰角

6、互補,對角相等，鄰角互補 四個角都是直角,對角線互相平分,對角線互相平分 對角線相等,對角線互相平分 對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角,對角線互相平分 對角線互相垂直相等，且每一條對角線 平分一組對角,兩底平行，兩腰相等,同一底上的兩個角相等 不同底上的兩個角互補,對角線相等,中心對稱,中心對稱 軸對稱,中心對稱 軸對稱,中心對稱 軸對稱,軸對稱,等腰梯形,圖形,元素,幾種特殊四邊形的判定定理,邊,角,對角線,平行四邊形,矩形,正方形,菱形,等腰梯形,兩組對邊分別平行的四邊形；,兩組對邊分別相等的四邊形；,一組對邊平行且相等的四邊形。,兩組對角分別相等的 四邊形,對角線互相平分的四邊形,無,四個角都是直角的四邊形； 有一個角是直角的平行四 邊形。,對角線相等且互相平分的四邊形； 對角線相等的平行四邊形。,四條邊都相等的四邊形； 一組鄰邊相等的平行四邊 形。,無,對角線互相垂直平分