1、高二數(shù)學(xué) 選修1-1,1.1.2-1.1.3 四種命題與四種命題間的相互關(guān)系,復(fù)習(xí)引入,二、從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件p和結(jié)論q兩部分構(gòu)成,“若p則q”形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式,也可寫成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。 其中p和q可以是命題也可以不是命題.,一、命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題 定義的要點(diǎn)：能判斷真假的陳述句,判斷為真的語句叫做真命題。 判斷為假的語句叫做假命題。,下列四個命題中，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；

2、若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)； 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)； 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)。,觀察命題(1)與命題(2)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；,互逆命題：一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題叫做互逆命題。 原 命 題：其中一個命題叫做原命題。 逆 命 題：另一個命題叫做原命題的逆命題。,即 原命題:若p,則q,逆命題:若q,則p,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是“ ”。,兩直線平行，同位角相等,觀察命題(

3、1)與命題(3)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 3. 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).,原命題:若p,則q,為書寫簡便,常把條件p的否定和結(jié)論q的否定分別記作 “p” “q”，讀作“非”“非q”。,否命題:若p,則q,互否命題：如果第一個命題的條件和結(jié)論是第二個命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題。,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的否命題是“ ”。,同位角不相等，兩直線不平行,觀察命題(1)與命題(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦

4、函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 4. 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù).,原命題: 若p, 則q,逆否命題: 若q, 則p,互為逆否命題：如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是第二個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題。,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是“ ”。,兩直線不平行，同位角不相等,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若p, 則q 若q, 則p,1：要寫出一個命題的另外三個命題關(guān)鍵是分清命題的題設(shè)和結(jié)論（即把原命題寫成“若P則q”的形式）,2：（1）

5、“或”的否定為“且”，（2）“且”的否定為“或”， （3）“都”的否定為“不都”。,注意：三種命題中最難寫 的是否命題。,2）原命題：若a=0, 則ab=0。,逆命題：若ab=0, 則a=0。,否命題：若a 0, 則ab0。,逆否命題：若ab0,則a0。,(真),(假),(假),(真),(真),例1 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：,1）原命題：若x=2或x=3, 則x2-5x+6=0。,逆命題：若x2-5x+6=0, 則x=2或x=3。,否命題：若x2且x3, 則x2-5x+60 。,逆否命題：若x2-5x+60，則x2且x3。,(真),(真),(真),3) 原命題

6、：若a b, 則 ac2bc2。,逆命題：若ac2bc2,則ab。,否命題：若ab,則ac2bc2。,逆否命題：若ac2bc2,則ab。,（假）,（真）,（真）,（假）,例2 若m0或n0，則m+n0。寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并分別指出其假。,分析：搞清四種命題的定義及其關(guān)系，注意“且” “或”的 否定為“或” “且”。,解：逆命題：若m+n0，則m0或n0。,否命題：若m0且n0, 則m+n0.,逆否命題：若m+n0, 則m0且n0.,（真）,（真）,（假）,小結(jié)：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的 真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命 題真假等價。,一般地,四種

7、命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:,四種命題的真假性關(guān)系如下： 1.兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 2.兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系。,四種命題之間的關(guān)系,原命題 若p則q,逆命題 若q則p,否命題 若 p則 q,逆否命題 若 q則p,互為逆否 同真同假,互為逆否 同真同假,1.判斷下列說法是否正確。,1）一個命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；,（對）,2）一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真。,（對）,2.四種命題真假的個數(shù)可能為（ ）個。,答：0個、2個、4個。,3）一個命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。,（錯）,4）一個命題的逆否命題

8、為假，它的否命題為假。,（錯）,練一練,3:寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題。 (1)原命題： 若 則 答:逆命題： 若 則 否命題： 若 則 逆否命題： 若 則,(2)原命題：若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是0； 逆命題：若一個數(shù)的平方是0，則它是負(fù)數(shù)； 否命題：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是0； 逆否命題：若一個數(shù)的平方不是0，則它不是負(fù)數(shù).,試判斷上面命題的真假.,真命題,假命題,假命題,真命題,假,假,假,假,4、把下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題.并判斷真假。,解：原命題：若一個函數(shù)是奇函數(shù) , 則它的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱; 逆命題：若一個函

9、數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,則它是奇函數(shù); 否命題：若一個函數(shù)不是奇函數(shù) , 則它的圖象不關(guān)于原點(diǎn)中心對稱; 逆否命題:若一個函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 , 則它不是奇函數(shù).,練習(xí),奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.,試判斷上面命題的真假.,真命題,真命題,真命題,真命題,否命題是用否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。 命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”作用于判斷,只否定結(jié)論不否定條件。 對于原命題: 若 p , 則 q 有 否命題: 若p , 則q 。 命題的否定: 若 p ，則q 。,例.命題：ABC中，若C90，則A、B都是銳角.命題的否命題是（ ），命題的否定是（ ） (A)ABC中，若C90，

10、則A、B都不是銳角 (B)ABC中，若C90，則A、B不都是銳角 (C)ABC中，若C90，則A、B都不一定是銳角 (D) ABC中，若C90，則A、B不都是銳角,否命題與命題的否定,不是,不都是,不大于,大于或等于,一個也沒有,至少有兩個,至多有（n-1)個,至少有（n+1)個,存在某x， 不成立,存在某x， 成立,不等于,某個,某些,下面是一些常見詞語的否定,證明命題的方法,方法一：直接法，從命題的條件p出發(fā)，經(jīng)推理直接得出結(jié)論p，證明其為真命題；,方法二：等價法，證明命題（若p，則q）的等價命題逆否命題（若q，則q）為真，則原命題也為真；,方法三：反證法，證明命題的否定（若p，則q）為假

11、命題，從而間接地證明了命題（若p，則q）為真命題。,例1 證明：若x2+y2=0，則x=y=0.,證明：若x，y中至少有一個不為0，不妨設(shè)x0，則x20，所以 x2+y2 0， 也就是說x2+y2 0. 因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為 真命題,因為原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難的時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接證明原命題為真命題。,例2： 證明：若pq2，則p2q22.,證明一：要證“若pq2，則p2q22” 只需證它的逆否命題“若p2q22，則pq2”成立。 p2q2=2，則2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q

12、2+2pq=2+2pq 4 p+q 2 逆否命題為真命題， 故原命題也為真命題。 證明二：假設(shè)p2q2=2，則2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2，這與命題的條件pq2相矛盾， 假設(shè)不成立，即p2q22， 故原命題為真命題。,（同題多解，學(xué)會等價法與反證法地靈活應(yīng)用）,關(guān)于反證法,證明二（反證法）：假設(shè)p2q2=2， 則2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2， 這與命題的條件pq2相矛盾， 假設(shè)不成立，即p2q22， 故原命題為真命題。,例3： 證明：若pq2，則p2q22.,假設(shè)原命題結(jié)論的

13、反面成立,看能否推出原命題條件的反面成立,嘗試成功,得證,反證法的一般步驟：,假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假 設(shè)結(jié)論的反面成立；,從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假設(shè)不正確， 從而肯定命題的結(jié)論正確。,1、反證法證題時關(guān)鍵在第二步，如何導(dǎo)出矛盾。,2、導(dǎo)出矛盾有四種可能：,（1）與原命題的條件（題設(shè)）矛盾；,（2）與定義、公理、定理等矛盾；,（3）與結(jié)論的反面（反設(shè)）成立矛盾。,（1）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題； （2）唯一性命題； （3）“至多”或“至少”性命題； （4）否定性或肯定性命題。,3、反證法的使用范圍：,幾點(diǎn)注意：,（4）在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。,P8 習(xí)題1.1 B組 例4：求證：圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。,已知：如圖，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑. 求證：弦AB、CD不被P平分. 證明：假設(shè)AB、CD被P平分， 則OP是等腰AOB, COD的底邊上的中線， 所以，OPAB, OPCD 但AB和CD都經(jīng)過點(diǎn)P,且與OP 垂直，這是不可能的， 所以假設(shè)不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命題得證。,連結(jié)OA,OB,OC,OD及OP,-,課堂小結(jié),1.本節(jié)重點(diǎn)研究了四種命題的概念與相互關(guān)系。即如果