1、第6章 多目標(biāo)決策分析,6.1 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 6.2 目標(biāo)規(guī)劃方法 6.3 化多為少方法 6.4 多維效用合并方法 6.5 AHP方法（簡(jiǎn)介） 6.6 DEA方法,6.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系,一、什么是目標(biāo)準(zhǔn)則體系 二、結(jié)構(gòu)如何，幾種類型 三、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用函數(shù) 四、對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因素的處理,一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義,決策目標(biāo) 在決策分析中，決策問(wèn)題要達(dá)到的目的。 決策準(zhǔn)則 用數(shù)值表示決策方案實(shí)現(xiàn)某個(gè)目標(biāo)程度的標(biāo) 準(zhǔn)和法則。 目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題 單目標(biāo)決策單決策準(zhǔn)則（準(zhǔn)則選擇）方案擇優(yōu) 多目標(biāo)決策多決策準(zhǔn)則（構(gòu)建目標(biāo)準(zhǔn)則體系）總體上 對(duì)可行方案擇優(yōu) 構(gòu)造原則：系統(tǒng)性原則可比性原則可操作性原

2、則,一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題,直接進(jìn)行評(píng)價(jià)和比較 目標(biāo) 難以直接評(píng)價(jià) 分解成子目標(biāo) （可以直接評(píng)價(jià)為止） 例如，某經(jīng)濟(jì)特區(qū)計(jì)劃興建一個(gè)大型海港，港址的選擇就是多目標(biāo)決策問(wèn)題 海港港址決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系，包括經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境以及社會(huì)四個(gè)分目標(biāo),一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題,上面四個(gè)分目標(biāo)均不能直接用一個(gè)或幾個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng) 價(jià) ，逐級(jí)分解為若干子目標(biāo),一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題,直接經(jīng)濟(jì)效益分解 為投資額、投資回收期和利稅總額等三個(gè)二級(jí)子目標(biāo),一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題,對(duì)于技術(shù)、社會(huì)和環(huán)境目標(biāo)，均可以進(jìn)行同樣的分解這樣，形成了一個(gè)分層結(jié)構(gòu)復(fù)雜的目標(biāo)準(zhǔn)則體系（圖6.）,這就是目標(biāo)準(zhǔn)則體系,圖6.1,二、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu),

3、可將目標(biāo)準(zhǔn)則體系分成以下三種類型： 1單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 各個(gè)目標(biāo)都屬于同一層次，每個(gè)目標(biāo)無(wú)須分解就可以用單準(zhǔn)則給出定量評(píng)價(jià)其結(jié)構(gòu)如圖6.2所示,圖6.2,二、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu),2序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 目標(biāo)準(zhǔn)則體系的各個(gè)目標(biāo)，均可以一層層按類別有序地分解為若干低一層次的子目標(biāo)。 特點(diǎn)：每個(gè)子目標(biāo)均可由相鄰上一層次的某個(gè)目標(biāo)分解而成。 各子目標(biāo)可以按序列關(guān)系分屬各類目標(biāo)，不同類別的目標(biāo)準(zhǔn)則之間不發(fā)生直接聯(lián)系。 適用：宏觀經(jīng)濟(jì)管理，例如前面提到的海港港址的決策 。,二、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu),3非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 相鄰兩層次子目標(biāo)之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標(biāo)之間用實(shí)線連

4、結(jié)，無(wú)實(shí)線連結(jié)的子目標(biāo)之間，不存在直接聯(lián)系。,圖6.3,準(zhǔn)則層,第n層目標(biāo),第1層目標(biāo),總目標(biāo),三、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用函數(shù),多目標(biāo)決策的關(guān)鍵 如何從總體上給出可行方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系中全部目標(biāo)的滿意度 不同的目標(biāo)用不同的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則衡量 化為無(wú)量綱統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度 按特定的法則和邏輯過(guò)程進(jìn)行歸納與綜合 建立具有可比性的數(shù)量關(guān)系 滿意度： 聯(lián)系第三章知識(shí)，效用值分別表示了可行方案在各目標(biāo)準(zhǔn)則下，對(duì)于決策主體的價(jià)值，都用區(qū)間0， 1上的實(shí)數(shù)表示。 任何一個(gè)可行方案在總體上對(duì)決策主體滿意度，通過(guò)這些效用值按照某種法則并合而得,四、目標(biāo)準(zhǔn)則體系風(fēng)險(xiǎn)因素的處理,單目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策 期望效用值較好地表示滿意度 多目標(biāo)

5、決策 風(fēng)險(xiǎn)型多目標(biāo)問(wèn)題,6.2 目標(biāo)規(guī)劃方法,稱為目的規(guī)劃，是查恩斯（ACharnes）和庫(kù)柏（WWCooper）于1961年提出來(lái)的 目標(biāo)規(guī)劃克服了線性規(guī)劃目標(biāo)單一的缺點(diǎn)，是一種實(shí)用的多目標(biāo)決策方法這種方法對(duì)單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系的決策問(wèn)題十分有效.,目標(biāo)規(guī)劃,一、目標(biāo)規(guī)劃模型 多目標(biāo)線性規(guī)劃的一般形式是,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,為了求解多目標(biāo)線性規(guī)劃，需要解決兩個(gè)問(wèn)題:,第一，如何將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃求解；,第二，K個(gè)目標(biāo)函數(shù)對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)，有主次輕重之分，如何表示多目標(biāo)的主次順序,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法很多，目標(biāo)規(guī)劃是其中有效方法之一 基本方法： 對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)引進(jìn)一

6、個(gè)期望值,引入正、負(fù)偏差變量，表示實(shí)際值與期望值的偏差，并將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組 引入目標(biāo)的優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題求解,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,1目標(biāo)函數(shù)的期望值,對(duì)于多目標(biāo)線性規(guī)劃的每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值Zk（k=1，2，K），根據(jù)實(shí)際情況和決策者的希望，確定一個(gè)期望值ek盡管K個(gè)目標(biāo)的期望值難以全部達(dá)到，尋求可行解應(yīng)該使這些目標(biāo)的期望值最接近地得以實(shí)現(xiàn),一、目標(biāo)規(guī)劃模型,2正、負(fù)偏差變量,對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，分別引入正、負(fù)偏差變量,（k1，2，K）,表示第k個(gè)目標(biāo)超出（未達(dá)到）期望值ek的數(shù)值， 其中至少有一個(gè)為零。,

7、一、目標(biāo)規(guī)劃模型,引入偏差變量之后，目標(biāo)函數(shù)就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分 原有的約束條件，也可以用引入偏差變量的辦法，將不等式約束變成等式約束，偏差變量起著松弛變量的作用,3準(zhǔn)則函數(shù),各個(gè)目標(biāo)函數(shù)引入期望值和偏差變量后，已并入約束條件組，需要構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù),一、目標(biāo)規(guī)劃模型,目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)稱為準(zhǔn)則函數(shù)，是一個(gè)以諸偏差變量取最小值，單一綜合性的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)，多目標(biāo)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題準(zhǔn)則函數(shù)的一般形式是,具體形式有三種：,要求某個(gè)目標(biāo)恰好達(dá)到期望值，正、負(fù)偏差變量,都應(yīng)該取最小值，可取和式,達(dá)到最小值準(zhǔn)則函數(shù)的形式為,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,要求某個(gè)目標(biāo)不低于期望值，即

8、該目標(biāo)的正偏差變量不受限制，負(fù)偏差變量取最小值準(zhǔn)則函數(shù)形式為,要求某個(gè)目標(biāo)不高于期望值，即該目標(biāo)的負(fù)偏差變量不受限制，正偏差變量取最小值準(zhǔn)則函數(shù)形式為,將各目標(biāo)不同形式取最小值的偏差變量相加，就得到準(zhǔn)則函數(shù),一、目標(biāo)規(guī)劃模型,4. 優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù) 各個(gè)目標(biāo)有主次之分為此，引進(jìn)優(yōu)先因子Pi（i1，2，L），表示目標(biāo)屬于第i個(gè)優(yōu)先級(jí)別，共有L個(gè)優(yōu)先等級(jí),一、目標(biāo)規(guī)劃模型,相鄰優(yōu)先級(jí)別的關(guān)系是:,規(guī)定級(jí)別Pi比Pi+1有更大的優(yōu)先權(quán),首先必須保證級(jí)別Pi的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，其后再考慮Pi+1級(jí)目標(biāo)由于Pi，Pi+1不是同一級(jí)別的量，對(duì)于任意正數(shù) M，均有Pi M Pi+1例如，P1 100P2等,一、目標(biāo)

9、規(guī)劃模型,在同一優(yōu)先級(jí)別中，為了區(qū)分不同目標(biāo)偏差變量的重要程度，引入權(quán)系數(shù)ij, 權(quán)系數(shù)的數(shù)值根據(jù)實(shí)際情況而定,目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式是,（6.2）,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,目標(biāo)規(guī)劃的建模步驟,假設(shè)決策變量；,建立約束條件；,建立各個(gè)目標(biāo)函數(shù)；,確定各目標(biāo)期望值，引入偏差變量，將目標(biāo)函數(shù)化為約束方程；,確定各目標(biāo)優(yōu)先級(jí)別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù),分析實(shí)際問(wèn)題到建立模型，是應(yīng)用目標(biāo)規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵而困難的一步,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,例6.1某廠生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的產(chǎn)品，需要消耗甲、乙兩種材料，其單位消耗、單位利潤(rùn)和材料庫(kù)存如表6.1市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品B的需求量大，要盡可能多生產(chǎn)，如何安排生產(chǎn)A，B型號(hào)產(chǎn)品，使

10、廠家獲得最大利潤(rùn) 根據(jù)市場(chǎng)需求情況，決策者確定首要目標(biāo)是確保利潤(rùn)755萬(wàn)元，其次是產(chǎn)品B的產(chǎn)量不得低于目標(biāo)值650萬(wàn)件，試對(duì)廠家生產(chǎn)作出決策分析,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,解：設(shè)A，B型產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1, x2萬(wàn)件先分析該問(wèn)題的約束條件,原材料約束：由表6.1知，對(duì)于材料甲，A、B型產(chǎn)品的單耗分別為0.5，0.3，材料存量為300于是，有約束條件 0.5x10.3x2300 同樣，對(duì)于材料乙，有約束條件0.1x1十0.3x2180,利潤(rùn)約束：A，B型產(chǎn)品的單位利潤(rùn)分別為0.7，1.0，管理首要目標(biāo)是確保利潤(rùn)755萬(wàn)元于是，有約束條件,由于第一級(jí)管理目標(biāo)要確保利潤(rùn)值，設(shè)利潤(rùn)值的正、負(fù)偏差變量為 d3

11、， d3-，約束條件即為,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,產(chǎn)量約束：產(chǎn)品B的產(chǎn)量不得低于650，于是有,由于第二級(jí)管理目標(biāo)要不低于650，設(shè)產(chǎn)品B產(chǎn)量的正、負(fù)偏差變量為,約束條件即為,再分析準(zhǔn)則函數(shù)的優(yōu)先級(jí)別各級(jí)管理目標(biāo)依次是：,P1級(jí)目標(biāo)：確保利潤(rùn)值恰好為 755，即有,P1 (d3+ +d3- ) 表示利潤(rùn)值的正負(fù)偏差變量之和最小,P2級(jí)目標(biāo)：產(chǎn)品B的產(chǎn)量不得低于650，即有P2d4-，表示產(chǎn)品B產(chǎn)量的負(fù)偏差變量最小。,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,另外，為使材料約束條件的不等式約束化為等式約束，分別設(shè)dl，d1-為甲材料的正、負(fù)偏差變量，d2，d2-為乙材料的正、負(fù)偏差變量綜上分析，此問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型為,一、目

12、標(biāo)規(guī)劃模型,例6.2某紡織廠生產(chǎn)尼龍布和棉布，平均生產(chǎn)能力是每小時(shí)1千米，工廠開(kāi)工能力為每周80小時(shí)根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，每周最大銷售量尼龍布70千米，棉布45千米尼龍布單位利潤(rùn)為每米2.5元，棉布每米1.5元廠家確定四級(jí)管理目標(biāo)：,P1：保證正常生產(chǎn)，避免開(kāi)工不足； P2：限制加班時(shí)間，不超過(guò)10小時(shí)； P3：盡量達(dá)到最大銷售量，尼龍布70千米，棉布45千米； P4：盡可能減少加班時(shí)間,試對(duì)該廠尼龍布和棉布生產(chǎn)進(jìn)行決策分析,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,解：設(shè)尼龍布和棉布周生產(chǎn)量分別為x1,x2（千米）先分析約束條件，并引入各目標(biāo)約束的偏差變量,開(kāi)工能力約束：每周開(kāi)工80小時(shí)，由于尼龍布和棉布生產(chǎn)能力是每小時(shí)

13、1千米，其生產(chǎn)時(shí)間分別是x1， x2小時(shí)并設(shè)開(kāi)工時(shí)間的正、負(fù)偏差變量為d1，d1-，于是,銷售量約束：尼龍布和棉布最大周銷售量分別為70千米，45千米設(shè)尼龍布和棉布的負(fù)偏差變量分別為d2+,d2-,d3+,d3-,于是有,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,加班時(shí)間約束：加班時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)設(shè)正、負(fù)偏差變量分別為d4+，d4-，于是有,再分析優(yōu)先級(jí)別，確定權(quán)系數(shù)和建立準(zhǔn)則函數(shù),P1級(jí)目標(biāo)：避免開(kāi)工不足，開(kāi)工時(shí)間的負(fù)偏差變量要盡量地小，即P1 d1-,P2級(jí)目標(biāo)：加班時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)，即P2 d4+,P3級(jí)目標(biāo)：盡量達(dá)到最大銷售量，P3級(jí)目標(biāo)應(yīng)包括 d2-， d3-，并取和式d2-d3-由于尼龍布和棉布的單位

14、利潤(rùn)分別為2.5元米，1.5元米，權(quán)系數(shù)應(yīng)取比例2.5:1.5= 5:3于是有 P3（5 d2- 3 d3-）,P4級(jí)目標(biāo)：盡可能減少加班時(shí)間，即有P4 d1+,一、目標(biāo)規(guī)劃模型,綜上所述，該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型為,6.3 化多為少方法,一、主要目標(biāo)法 二、線性加權(quán)和法 三、平方和加權(quán)法 四、理想點(diǎn)法 五、步驟法（STEM法）,對(duì)于一般單層次多目標(biāo)決策模型，經(jīng)常采用化為單目標(biāo)決策模型來(lái)求解。其方法大致可分為兩類，一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題；另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題。 一般單層次多目標(biāo)決策模型可表示為,(6.3),一、主要目標(biāo)法,在有些多目標(biāo)決策問(wèn)題中，各種目標(biāo)的重要程度往往不一樣。其中一個(gè)重

15、要程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)，其余的目標(biāo)則為非主要目標(biāo)。,例如，在多目標(biāo)決策問(wèn)題(6.3)式中，假設(shè)f1(x)為主要目標(biāo)，其余m-1個(gè)目標(biāo)為非主要目標(biāo)。此時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即,通過(guò) 求解單目標(biāo)決策問(wèn)題(6.4)可得多目標(biāo)決策問(wèn)題(6.3)的一個(gè)弱有效解。,(6.4),例6.5 某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗原材料A、B和設(shè)備C三種不同的資源，每件產(chǎn)品對(duì)資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤(rùn)和所造成的單位污染如下表所示。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問(wèn)每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤(rùn)和產(chǎn)值都達(dá)到最大，且造

16、成的污染達(dá)到最小？,解： 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2件。,該問(wèn)題有3個(gè)目標(biāo)，即,該問(wèn)題的約束條件為,建立該問(wèn)題的多目標(biāo)決策模型：,假定對(duì)上述模型的3個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤(rùn)最大為主要目標(biāo)，另兩個(gè)目標(biāo)則通過(guò)預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000個(gè)單位，而污染量則應(yīng)控制在90個(gè)單位以下，即,由主要目標(biāo)法得到如下單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：,用單純形法求解，得x1=12.5,x2=26.25,f1(x)=4025,f2(x)=20750,f3(x)=90,二、線性加權(quán)和法,將求解多目標(biāo)問(wèn)題(6.3)轉(zhuǎn)化為求解如下單目標(biāo)決策問(wèn)題,由于多目標(biāo)決策問(wèn)題中關(guān)于目標(biāo)的度

17、量單位和數(shù)量級(jí)不同，一般先應(yīng)作標(biāo)準(zhǔn)化處理。,(6.5),二、線性加權(quán)和法,例6.6 某公司計(jì)劃進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有4種類型：A1,A2,A3,A4,現(xiàn)考慮6個(gè)方案屬性：維修期限f1,百升汽油公里數(shù)f2,最大載重噸數(shù)f3，價(jià)格(萬(wàn)元)f4，可靠性f5,靈敏性f6。這4種型號(hào)的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)fij如表所示。,解：先將定性指標(biāo)定量化：,可靠性：一般（5），低（3），高（7），很高（9）,靈敏性：高（7），一般（5），很高（9）,按以下公式做無(wú)量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理：,變換后的指標(biāo)值矩陣（aij）如下表：,設(shè)權(quán)系數(shù)向量 =（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3），則,運(yùn)用線性

18、加權(quán)和法求解多目標(biāo)決策問(wèn)題的難點(diǎn)是如何找到合理的權(quán)系數(shù)，下面介紹幾種確定權(quán)系數(shù)方法。,1. 法,以兩個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)決策問(wèn)題為例，解釋法確定權(quán)系數(shù)的原理。,設(shè)有多目標(biāo)決策問(wèn)題：,化為單目標(biāo)決策問(wèn)題：,其中，1，2由下述方程組來(lái)確定,解上述方程組可得：,若規(guī)定 1+2=1，即可得到,于是有,例 6.7 設(shè)有多目標(biāo)決策問(wèn)題,解：先分別對(duì)目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)求得其最優(yōu)解，它們是,由此可得,于是,容易求得,2. - 法,設(shè)有多目標(biāo)決策問(wèn)題公式(6.3)，- 法確定權(quán)系數(shù)的原理是將公式(6.3)化為如下單目標(biāo)決策問(wèn)題,適用條件：fi*0,三、平方和加權(quán)法,四、理想點(diǎn)法,要求目標(biāo)fi(x)與規(guī)定值

19、fi*相差盡量?。╥=1, 2, , m），可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：,構(gòu)成單目標(biāo)決策問(wèn)題：,i 權(quán)系數(shù)，可按要求的相差程度分別給出。,設(shè)為x(0),則x=x(0)即為公式(6.5)的最優(yōu)解；若不然，則考慮解如下單目標(biāo)決策問(wèn)題,例6.8 設(shè)有多目標(biāo)決策問(wèn)題,試用理想點(diǎn)法求解。,解：先分別對(duì)目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)求得其最優(yōu)解，,故理想點(diǎn)為F*=(f1*,f2*)T=(12,24)T 。,然后求解單目標(biāo)決策問(wèn)題,可求得最優(yōu)解 x*=(0.53,5.65)T, 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值分別為,五. 步驟法（STEM法）,是逐步迭代的方法，也稱逐步進(jìn)行法、對(duì)話式方法。 在求解過(guò)程中，每進(jìn)行一步，分析者就把計(jì)算結(jié)

20、果告訴決策者，決策者對(duì)計(jì)算結(jié)果作出評(píng)價(jià)。若認(rèn)為已滿意了，則迭代停止；否則分析者再根據(jù)決策者的意見(jiàn)進(jìn)行修改和再計(jì)算，如此直到求得決策者認(rèn)為滿意的解為止。,設(shè)有多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題：,其中,STEM法的求解步驟： (1)分別求解k個(gè)單目 標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題,結(jié)果可列表給出（稱為支付表）:,得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值記為fi*（i=1, 2, , k），并x(i)代入其它目標(biāo)函數(shù)：,(2)求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到,為找出目標(biāo)值的偏差以及消除不同目標(biāo)值的量綱不同的問(wèn)題，進(jìn)行如下處理：,歸一化后得權(quán)系數(shù)：,(3)求解,該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解記為x0 。,(4)將x0 和相應(yīng)的目標(biāo)值,交給決策

21、者判斷。,決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，若認(rèn)為滿意了，則可停止計(jì)算；若認(rèn)為相差太遠(yuǎn)，則考慮適當(dāng)修正 。 如：考慮對(duì)第r個(gè)目標(biāo)讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目標(biāo)值fr 。,(5)求解,求得解后，再與決策者對(duì)話，如此重復(fù)，直至決策者認(rèn)為滿意了為止。,例6.9,某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽(yáng)能電池，生產(chǎn)過(guò)程會(huì)在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個(gè)目標(biāo)：極大化利潤(rùn)與極小化總的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是1單位，由于機(jī)器能力（小時(shí)）、裝配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件

22、是（ x1、x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）：,該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：,先分別求解,得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0,支付表,求權(quán)系數(shù)：從 支付表中得到,歸一化后得權(quán)系數(shù)：,求解,最優(yōu)解為x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57,將x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交給決策者判斷。 決策者將其與理想值（45.5, 0）進(jìn)行比較后，認(rèn)為f2 是滿意的， 但利潤(rùn)太低。且認(rèn)為 可以接受污染值為10 個(gè)單位。 修改約束集,求解得x1=(0, 10

23、)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10,決策者認(rèn)為滿意，停止迭代。,6.4 多維效用并合方法,如何解決多目標(biāo)決策出現(xiàn)的不可公度性和矛盾性？ 一、多維效用并合模型 二、多維效用并合規(guī)則 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,一、多維效用并合模型,設(shè)多目標(biāo)決策問(wèn)題有s個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，有m個(gè)可行方案 測(cè)定和計(jì)算s個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則相應(yīng)的效用函數(shù)為u1，u2，us，得到 m個(gè)可分方案a1，a2，am在S個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則下的效用值分別是 將s個(gè)分效用并合為總效用，并依據(jù)總效用對(duì)可行方案進(jìn)行排序 適用：主要解決序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題,一、多維效用并合模型,設(shè)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)分析，已經(jīng)構(gòu)建了序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系,一、多

24、維效用并合模型, ,最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過(guò)并合得到,如此并合，繼續(xù)由下而上進(jìn)行第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)的并合效用值,一、多維效用并合模型,（i=1,2,m）,（6.8）,最后，可行方案ai的滿意度,多維效用并合的最滿意方案為a*，其滿意度,二、多維效用并合規(guī)則,二維效用函數(shù) 設(shè)效用u1,u2分別在區(qū)間0,1上取值，二元連續(xù)函數(shù)ww（u1,u2）,n維效用函數(shù) 設(shè)效用u1，u2，un分別在區(qū)間0，1取值，n元連續(xù)函數(shù)Ww（u1，u2，un）,二、多維效用并合規(guī)則,決策目標(biāo)的屬性不同，效用并合的方式不同,討論幾種常用的二維效用并合規(guī)則,1距離規(guī)則,滿足如下條件：,當(dāng)二效用同時(shí)達(dá)到

25、最大值時(shí)并合效用才達(dá)到最大值；,當(dāng)二效用同時(shí)取最小值時(shí)并合效用取零效用值 ；,二效用之一達(dá)到最大值 均不能使并合效用達(dá)到最大值；,二維效用平面上其余各點(diǎn)效用值，與該點(diǎn)與并合效用最大值點(diǎn)的距離成正比例 ；,二、多維效用并合規(guī)則,設(shè)二維效用函數(shù)W=W（u1，u2）按照距離規(guī)則所滿足的條件，W=W（u1，u2）應(yīng)該滿足條件：,W（1，1）=1；,W（0，0）=0；,0w(1,u2) 1, 0u21,0w(u1,1) 1, 0u11,設(shè)效用最大值點(diǎn)為Q*(1,1)，效用最小值點(diǎn)Qo（0,0），即有W（Q*）=1，W（Qo）0,點(diǎn)Q*與Qo之間的距離為 1.414,點(diǎn)Q（u1，u2）與點(diǎn)Q*之間的距離為

26、,W(u1, u2)取值與距離d=,成正比例變化.,d=,于是，根據(jù)條件，有比例式,即,從而解得（6.9）:,二、多維效用并合規(guī)則,公式（6.9）可以推廣到多維情形 . n維效用空間是一個(gè)有2n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體, 唯一點(diǎn)Q*（1，1，1）是并合效用最大值點(diǎn)，即W（Q*）=1. 唯一零效用值點(diǎn)Qo（0，0，0），即W（Qo）0 . n維效用空間任一點(diǎn)Q（u1，u2，un）與點(diǎn)Q*之間的距離為,二、多維效用并合規(guī)則,點(diǎn)Q*與Qo之間的距離為 于是，同樣可以推出n維效用并合的距離規(guī)則計(jì)算公式為,d=,（6.10）,例如：成本和效益的效用并合可以按距離規(guī)則進(jìn)行，并合效用函數(shù),二、多維效用并合規(guī)則,W（

27、0，0）=0；,W（1，1）=1；, w( 1,u2) =1, 0u21,w(u1,1) =1, 0u11,設(shè)代換規(guī)則所確定的二維效用函數(shù)wW（u1，u2），根據(jù)代換規(guī)則的特點(diǎn)，此效用函數(shù)應(yīng)該滿足條件：,2代換規(guī)則,滿足條件：二效用對(duì)決策主體具有同等重要性。,只要其中一個(gè)目標(biāo)的效用取得最大值并合效用也達(dá)到最高水平,二、多維效用并合規(guī)則,推廣到多維情形 在n維效用空間中，除點(diǎn)Qo（0，0，0）并合效用值為零以外 ，凸多面體效用空間的其余2n1個(gè)頂點(diǎn)的總效用值均等于 1,(6.11),(6.12),由上述條件，容易導(dǎo)出代換規(guī)則的二維效用并合公式為,n維效用并合的代換公式為,二、多維效用并合規(guī)則,W

28、（1，1）=1；,3加法規(guī)則,適用情況：二效用的變化具有相關(guān)性，對(duì)并合效用的貢獻(xiàn)沒(méi)有本質(zhì)差異，并且可以互相線性地補(bǔ)償，即一目標(biāo)效用的減少可以由另一目標(biāo)效用值的增加得到補(bǔ)償. 完滿的總效用只有當(dāng)二效用值均達(dá)到最高水平時(shí)才能實(shí)現(xiàn),加法規(guī)則所確定的二維效用函數(shù)WW（u1，u2），應(yīng)滿足如下條件：,W（0，0）=0；,0w(1,0) =1 ， W(0,1)=2 ，并且1+2=1.,二、多維效用并合規(guī)則,根據(jù)上述條件，容易導(dǎo)出加法規(guī)則的二維效用并合公式為,推廣到一般情形 n維效用空間 ，除 W（ Q*）=1， W（Qo）=0外，其余2n2個(gè)頂點(diǎn)的并合效用值均在0和1之間 。其中僅有一維效用值為1，其余維

29、效用值為0的n個(gè)點(diǎn)的并合效用值大小，由該效用對(duì)并合效用的重要程度來(lái)決定。,其中，1,2為常數(shù)，0i1（i1，2），稱為二效用u1，u2的權(quán)系數(shù)，表示二效用各自在并合中的重要程度,二、多維效用并合規(guī)則,（6.14）,加法規(guī)則的n維并合效用公式為,例如，居民消費(fèi)水平目標(biāo)可以分解為吃、用兩個(gè)子目標(biāo)，其中一個(gè)子目標(biāo)效用值減少，而另一個(gè)子目標(biāo)效用值增加，可以認(rèn)為它們之間相互能夠補(bǔ)償，居民消費(fèi)水平并沒(méi)有下降,i稱為第i個(gè)目標(biāo)效用的權(quán)系數(shù),其中,二、多維效用并合規(guī)則, W（1，1）=1；, W（0，0）=0；, W（1，0）=W（0，1）=0；,4乘法規(guī)則,乘法規(guī)則確定的二維效用函數(shù)WW（u1,u2），應(yīng)滿

30、足如下條件：,適用情況：二目標(biāo)效用對(duì)于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代。只要其中任意一個(gè)目標(biāo)效用值為0，無(wú)論另一個(gè)目標(biāo)效用取值多大，并合效用值均為0,二目標(biāo)效用對(duì)于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代,二、多維效用并合規(guī)則,根據(jù)乘法法則與代換法則的關(guān)系，容易導(dǎo)出乘法法則的二維效用并合公式由公式（6.11），有,令,于是，得到乘法法則并合效用計(jì)算公式,是正常數(shù),其中，,乘法法則效用并合更一般的計(jì)算公式是,當(dāng),時(shí)，即為公式 （6.15）,(6.15),(6.16),二、多維效用并合規(guī)則,更一般的計(jì)算公式是,也可以表示為對(duì)數(shù)形式，即,其中，,是正常數(shù),當(dāng) 時(shí)，即為公式（6.17）

31、,(6.18),(6.19),(6.17),推廣到多維情形 n維效用空間 ，其凸多面體 個(gè)頂點(diǎn)，除點(diǎn)Q*的并合效用值等于1之外，其余 個(gè)頂點(diǎn)的并合效用值均為0 n維效用并合乘法規(guī)律的計(jì)算公式為,二、多維效用并合規(guī)則,(6.20),(6.21),5混合規(guī)則,混合規(guī)則適用于各目標(biāo)效用之間較為復(fù)雜的關(guān)系 ，當(dāng)代換、加法和乘法三規(guī)則選用哪一種拿不準(zhǔn)時(shí)，可以使用混合規(guī)則。,混合規(guī)則的二維效用并合公式，可由代換規(guī)則二維效用并合公式（6.11）變化而得，用 代替,當(dāng) 0時(shí)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單恒等變形，公式（6.20）可以化為較為規(guī)范的形式,則有,1稱為形式因子，取不同值分別表示上述三種規(guī)則：,二、多維效用并合規(guī)則,當(dāng)

32、形式因子 1，且c1c2=1時(shí)，公式化為代換規(guī)則形式，即,(6.22),當(dāng) = 0時(shí)，c1+c2=1時(shí)，公式化為加法規(guī)則形式；即,當(dāng) 0時(shí)，公式近似于乘法規(guī)則形式，即,推廣到n維情形，混合規(guī)則的n維效用并合公式為,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo) 實(shí)例是西安交通大學(xué)系統(tǒng)工程研究所已完成的研究課題，引用已發(fā)表的部分資料 （應(yīng)用多維效用并合方法 ）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,3目標(biāo)準(zhǔn)則體系 （序列型，簡(jiǎn)化處理,共分為五個(gè)層次 ） 總目標(biāo)：100年內(nèi)我國(guó)最合理的人口目標(biāo) 分目標(biāo)：共設(shè)四個(gè)分目標(biāo) 分目標(biāo)1根據(jù)我國(guó)資源和環(huán)境條件，在決策分析的時(shí)間范圍內(nèi)，能 承受的供全國(guó)人民吃和用的能力，

33、簡(jiǎn)稱“吃用” 分目標(biāo)2根據(jù)我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃，與總?cè)丝谀繕?biāo)相適應(yīng)的經(jīng)濟(jì) 實(shí)力，簡(jiǎn)稱“實(shí)力” 分目標(biāo)3根據(jù)我國(guó)計(jì)劃生育政策，人民群眾所能接受的最低總和生 育率，大約等于一對(duì)夫婦一生中平均生育孩子數(shù)，簡(jiǎn)記為 “ ” 分目標(biāo)4我國(guó)總?cè)丝谠鲩L(zhǎng)要與世界各國(guó)人口增長(zhǎng)相適應(yīng)一個(gè)國(guó)家 人口太多，將成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的沉重負(fù)擔(dān)但人口畢竟 是一個(gè)國(guó)家的重要資源，也不宜太少和世界各國(guó)人口對(duì) 比，簡(jiǎn)稱“各國(guó)對(duì)比” 以上四個(gè)分目標(biāo)，在計(jì)算并合效用時(shí)，將“吃用”和“實(shí)力”并合為效用值V1，“ ”和“各國(guó)對(duì)比”并合為效用值V2,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,“吃”分解為人均糧食需求和人均魚(yú)肉需求兩個(gè)更低一層的子目標(biāo)，

34、簡(jiǎn)稱“糧食”和“魚(yú)肉” “用”也可以分解為人均土地需求、人均空氣需求、人均用水需求三個(gè)低一層子目標(biāo)，簡(jiǎn)稱“土地”、“空氣”、“水”。,（）,（）,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,分目標(biāo)“實(shí)力”可以分解為人均能源需求和人均國(guó)民生產(chǎn)總值兩個(gè)子目標(biāo)，簡(jiǎn)稱“能源”和“GNP”,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,目標(biāo)準(zhǔn)則體系為 （圖6.7）,圖6.7,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（+）,（+）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,4評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用 分別用9個(gè)準(zhǔn)則評(píng)價(jià)度量，測(cè)定相應(yīng)的效用函數(shù)，計(jì)算各人口方案的效用值 糧食 按照聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織有關(guān)人均耗糧標(biāo)準(zhǔn)資料測(cè)算，總?cè)丝跀?shù) N=12.6億時(shí)，人均

35、糧食需求量為最優(yōu)值，取 N* 12. 6億，效用值 u1（ N*）1總?cè)丝跀?shù)N=648億，人均糧食需求量為最劣值，取No=648億，u1（No）=0,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,根據(jù)效用函數(shù)導(dǎo)出方法，可以求出“糧食”準(zhǔn)則的效用函數(shù) UU1（N）（圖6.8），并計(jì)算出14個(gè)方案的效用值,圖6.8,u1,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,土地 按照人均耕地增長(zhǎng)和人口總數(shù)增長(zhǎng)比例測(cè)算認(rèn)定，總?cè)丝跀?shù) N10億時(shí)，人均土地占有量為最優(yōu)值，取 N* 10當(dāng)總?cè)丝跀?shù)N56.7億時(shí)，人均土地占有量為最劣值，取No56.7億 導(dǎo)出“土地”準(zhǔn)則的效用函數(shù)uu3（N）（圖6.9），并計(jì)算出N個(gè)方案的效用值，即,三、多

36、維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,水 根據(jù)我國(guó)人口增長(zhǎng)、工農(nóng)業(yè)生活用水量增長(zhǎng)和水資源開(kāi)發(fā)利用等情況，結(jié)合世界各國(guó)用水資料對(duì)比分析，認(rèn)定總?cè)丝跀?shù)N=4.5億時(shí)，人均用水需求量準(zhǔn)則其效用為最優(yōu)值，取N*4.5 ,圖6.9,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,當(dāng)總?cè)丝跀?shù)N54億時(shí)，人均用水需求量準(zhǔn)則其效用為最劣值，取No54億，導(dǎo)出相應(yīng)效用函數(shù) uu5（N）（圖6.10），并計(jì)算各方案的效用值，即,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,能源 按世界各國(guó)人均能源需求標(biāo)準(zhǔn)測(cè)算，認(rèn)定總?cè)丝?N=11.5億時(shí)，人均能源需求量的效用最優(yōu)，取N*= 11.5億,圖6.10,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,隨著總?cè)丝谠黾?，其效用值逐漸減少

37、，當(dāng)總?cè)丝诔^(guò) 50億時(shí)，其效用值接近于0導(dǎo)出能源目標(biāo)準(zhǔn)則效用函數(shù) u=u6（N）（圖6.11），計(jì)算各方案的效用值即,圖6.11,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例, 認(rèn)定總?cè)丝跀?shù)N= 7億時(shí)，目標(biāo)效用值最優(yōu)，取 N*7億假設(shè) 100年內(nèi)一胎率達(dá)到100，預(yù)測(cè)100年后總?cè)丝跀?shù)為2.333.07億，根據(jù)我國(guó)國(guó)情難以實(shí)現(xiàn) 由此，認(rèn)定N=3時(shí)，目標(biāo)效用值最劣，取No= 3億導(dǎo)出目標(biāo)的效用函數(shù) u u8（N）（圖6.12），各方案的效用值依次為,圖6.12,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,5多維效用并合過(guò)程 按照目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次結(jié)構(gòu)（圖 6.7）。從下至上逐層進(jìn)行效用并合最底一層 9個(gè)子目標(biāo)和分目標(biāo)分為四

38、類進(jìn)行并合,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,（）,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,（）,（）,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,上述四類目標(biāo)效用并合結(jié)果，得到上一層次于目標(biāo)并合效用w1（吃），w2（用），v1（實(shí)力），V2，按乘法規(guī)則計(jì)算并合效用值，故有,按照層次結(jié)構(gòu)圖6.7，繼續(xù)進(jìn)行倒數(shù)第二層目標(biāo)效用并合w1（吃），w2（用）二效用可以線性地相互補(bǔ)償，宜用加法規(guī)則，在圖上相應(yīng)處注明記號(hào)“”民以食為天“吃”和“用”的權(quán)數(shù)分別取,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,于是“吃用”效用值 v1（吃用）和v2（實(shí)力）二目標(biāo)效用之間，相互可以線性地補(bǔ)償而不能替代，宜用加法規(guī)則 權(quán)系數(shù)分別取作出 于是 最后

39、，V1和V2并合為總效用值，即我國(guó)總?cè)丝诜桨傅臐M意度H由于V1，V2之間強(qiáng)烈關(guān)聯(lián)，不可缺一，宜用乘法規(guī)則滿意度,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,將上述各層次目標(biāo)效用值計(jì)算結(jié)果代人上式，得到滿意度H的計(jì)算公式 至此，全部效用并合過(guò)程完成將14個(gè)方案各目標(biāo)效用值u1u9代入（6.23）式，得到14個(gè)總?cè)丝诜桨傅臐M意度，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6.12,(6.23),表 6.12,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,計(jì)算結(jié)果表明，我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)控制在710億時(shí)，滿意度相對(duì)較高，均在0.820以上其中方案a6（7億）為最滿意，其滿意度 其次，是方案a7（8億），a8（9億），a9（10億）即 各方案滿意度變化情況可以用圖

40、6.13表示,三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例,“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”課題的研究結(jié)論 可以作為國(guó)家制定社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略和人口政策的重要參考為使我國(guó)在下世紀(jì)中期，綜合國(guó)力達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平，將我國(guó)總?cè)丝诳刂圃?7 10億最為適宜。,圖 6.13,6.5 AHP方法,AHP（Analytic Hierarchy Process）方法,一、AHP方法的基本原理,AHP方法 Analytic Hierarchy Process，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法 。 作用 該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，能夠有效地分析目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測(cè)度決策者的判斷和比較 應(yīng)用 社

41、會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等許多方面，得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用,一、AHP方法的基本原理,1遞階層次結(jié)構(gòu)模型 應(yīng)用AHP方法 ，首先要把問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次結(jié)構(gòu)模型 制約 制約 ,一、AHP方法的基本原理,一般來(lái)說(shuō)，可以將層次分為三種類型： 最高層只包含一個(gè)元素，表示決策分析的總目標(biāo)因 此，也稱為總目標(biāo)層 中間層包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各 子目標(biāo)，包括各種準(zhǔn)則、約束、策略等因此，也稱為目 標(biāo)層 最低層表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱 為方案層,一、AHP方法的基本原理,層次結(jié)構(gòu)圖如圖6.3在層次結(jié)構(gòu)模型中，相鄰兩層次元素之間的關(guān)系用直線標(biāo)

42、明，稱之為作用線,圖6.3,準(zhǔn)則層,n層子目標(biāo),總目標(biāo),方案層,一、AHP方法的基本原理,如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系例如，圖6.3中總目標(biāo)層的元素G。 如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。 模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的復(fù)雜程度和決策的實(shí)際需要而定，不宜過(guò)多（每一層次元素一般不要超過(guò)9個(gè) ）,一、AHP方法的基本原理,例 6.10構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型對(duì)于科研課題的決策，往往涉及眾多因素最主要涉及到成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、可行性及發(fā)展前景等四個(gè)目標(biāo)和這四個(gè)目標(biāo)相關(guān)的因素又有以下幾個(gè)： 實(shí)用價(jià)值是指科研課題的研究成果給

43、社會(huì)帶來(lái)的效益，包括經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益實(shí)用價(jià)值與成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)和發(fā)展前景等目標(biāo)都有關(guān)系 科技水平指課題在學(xué)術(shù)上的理論價(jià)值以及在同行中的領(lǐng)先水平科技水平直接關(guān)系到成果貢獻(xiàn)，也關(guān)系到人才培養(yǎng)、發(fā)展前景,一、AHP方法的基本原理,優(yōu)勢(shì)發(fā)揮指課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢(shì)程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性和發(fā)展前景均有關(guān)系 難易程度指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備條件所決定的成功可能性這與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián) 研究周期指課題研究預(yù)計(jì)所需時(shí)間，這與可行性直接相關(guān) 財(cái)政支持是指課題的經(jīng)費(fèi)、設(shè)備以及經(jīng)費(fèi)來(lái)源，還包括有關(guān)單位支持，這與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān),建立科

44、研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型（圖6.14）模型從上到下，分為四個(gè)層次，層次之間的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標(biāo)明,圖6.14,一、AHP方法的基本原理,2層次元素排序的特征向量法 構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)模型：決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化排序問(wèn)題 AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標(biāo) 優(yōu)先權(quán)重 是一種相對(duì)度量數(shù)，表示方案相對(duì)優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和1之間。數(shù)值越大，方案越優(yōu)。 遞階層次權(quán)重解析過(guò)程 方案層優(yōu)先權(quán)重，通過(guò)遞階層次從上到下逐層計(jì)算得到的過(guò)程。,一、AHP方法的基本原理,遞階層次權(quán)重解析過(guò)程基礎(chǔ) 構(gòu)造判斷矩陣 層次單排序 層次總排序 方案層優(yōu)先權(quán)重，層次分析法也因此得名 層次元素排序的特征向量法原理 設(shè)有m個(gè)

45、物體，它們的重量分別為g1,g2,gm為了測(cè)出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體重量與其它物體重量作兩兩比較,一、AHP方法的基本原理,例如，第i個(gè)物體重量與其它物體重量相比較，得到 m個(gè)重量比值gig1， gig2， gigm（ i l， 2， m）將 m個(gè)重量比作為第i行，構(gòu)成一個(gè)m行m列的矩陣A，稱為m個(gè)物體重量的判斷矩陣即 設(shè)各物體重量組成的向量為 AG mG 得,一、AHP方法的基本原理,一、AHP方法的基本原理,顯然，判斷矩陣 的元素aij0，（ i，j= 1，2， m），并且滿足條件： 滿足條件的矩陣A，稱為互反的一致性正矩陣 判斷矩陣 （單根？正數(shù)？）互反的一致性正矩陣？,(i=1,2

46、,m)；,(i,j=1,2,m)；,( i,j ,k=1,2,m),一、AHP方法的基本原理,3互反正矩陣和一致性正矩陣 定義6.1 設(shè)矩陣 如果aij0，(i，jl，2，m)，則稱A為非負(fù)矩陣，記作 A0如果 aij0，（ i，j1，2，m），則稱 A為正矩陣，記作 A0 定義6.2 設(shè)m維列向量X（x1，x2，xm），如果xj0，（j1，2，m），則稱X為非負(fù)向量，記作X0如果xj0，（j=1，2，m），則稱X為正向量，記作X0,一、AHP方法的基本原理,定理 6. 1（Perron）設(shè)矩陣 ，A0，則 A有最大的正特征值 ，并且是 單根，其余特征值 的模均小于 ； A的屬于 的特征向量X

47、0; 由等式給出其中,(6.24),一、AHP方法的基本原理,定義 6.3設(shè) ， A0，如果滿足條件： 則稱A為互反正矩陣 定義 6.4設(shè) ， A0，如果 則稱A為一致性矩陣,(i=1,2,m)；,(i,j=1,2,m)，,，( i,j ,k=1,2,m),一、AHP方法的基本原理,一致性矩陣A具有下列性質(zhì)： 一致性正矩陣是互反正矩陣； A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣； A的每一行均為任意指定一行的正倍數(shù),并且秩（A）1； A的最大特征值 m，其余特征值均為0； 若A的屬于 的特征向量為X=(x1，x2，xm)T，則aij=xi/xj，（i，j1，2，m）,一、AHP方法的基本原理,一致性正矩

48、陣是互反正矩陣反之，互反正矩陣不一定是一致性正矩陣 根據(jù)主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性，并不具有一致性 下面，給出互反正矩陣的一些性質(zhì),一、AHP方法的基本原理,定理64設(shè) 互反正矩陣，A是一致性矩陣的充分必要條件是 =m,二、判斷矩陣,1判斷矩陣的構(gòu)造 定義6.5 設(shè)m個(gè)元素（方案或目標(biāo)）對(duì)某一準(zhǔn)則存在相對(duì)重要性，根據(jù)特定的標(biāo)度法則，第i個(gè)元素（i1，2，m）與其它元素兩兩比較判斷，其相對(duì)重要程度為aij（j=1，2，m），這樣構(gòu)造的m階矩陣用以求解各元素關(guān)于某準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重，稱為權(quán)重解析判斷矩陣，簡(jiǎn)稱判斷矩陣，記作 定義6.5指出，構(gòu)造判斷矩陣的關(guān)鍵，在于設(shè)計(jì)一種特定的比較判斷兩元素相

49、對(duì)重要程度的標(biāo)度法則，使得任意兩元素相對(duì)重要程度有一定的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)這種標(biāo)度法則是AHP方法的重要特色，是將人的決策判斷數(shù)量化的方法。,二、判斷矩陣,TLSaaty教授引用的19標(biāo)度方法，其各級(jí)標(biāo)度的含義如表6.13所示 設(shè)有m個(gè)元素A1，A2，Am，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)于準(zhǔn)則Cr的判斷矩陣將m個(gè)元素自上而下排成一列，自左至右排成一行，左上角交叉處標(biāo)明準(zhǔn)則記號(hào)Cr,表 6.13,二、判斷矩陣,將左邊第一列任一元素Ai（i1，2，m）和上邊第一行的任一元素Aj（j=1，2，m）比較，關(guān)于準(zhǔn)則Cr的重要程度作出判斷，按照1-9標(biāo)度給出相應(yīng)的標(biāo)度aij這樣，就構(gòu)造出元素A1，A2，Am關(guān)于準(zhǔn)則Cr的判斷矩陣 其形

50、式如式（6.14）,二、判斷矩陣,例如，判斷矩陣 標(biāo)度a123表示，關(guān)于準(zhǔn)則Cr，第一個(gè)元素比第二個(gè)元素稍為重要 標(biāo)度a31=4表示，第三個(gè)元素比第一個(gè)元素介于稍微重要和明顯重要之間其余標(biāo)度意義類似,二、判斷矩陣,2判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) 按照 l 9標(biāo)度構(gòu)造的判斷矩陣 A(aij)mxm，顯然有 aij0，矩陣 A是正矩陣并且，滿足條件, 矩陣A是互反正矩陣 一般來(lái)說(shuō)，不一定滿足一致性條件 滿足一致性條件的矩陣，稱為具有完全的一致性判斷矩陣一般不具有完全的一致性,(i=1,2,m),(i,j=1,2,m),，( i,j ,k=1,2,m,二、判斷矩陣,滿意的一致性 盡管判斷矩陣不具有完全的一致

51、性，仍希望它的最大特征值 略大于階數(shù)m，其余特征值接近于零。 因此，必須對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，使之達(dá)到滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn) 設(shè)判斷矩陣A的全部特征值為 由于A是互反正矩陣，aij=1，（il，2，m）判斷矩陣A的跡,二、判斷矩陣,于是，A的全部特征值之和 從而， 使得除了 之外，其余特征值盡量接近于零 取其余m1個(gè)特征值和的絕對(duì)值平均作為檢驗(yàn)判斷矩陣一致性的指標(biāo)，即,二、判斷矩陣,稱之為判斷矩陣的一致性指標(biāo)（Consistency index），記作 其中，m為判斷矩陣的階數(shù)，為判斷矩陣的最大特征值 一般來(lái)說(shuō)，C.I越大，偏離一致性越大反之，偏離一致性越小 另外，判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的

52、主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大反之，偏離一致性越小 當(dāng)階數(shù)m2時(shí)，C.I=0，判斷矩陣具有完全的一致性,（6.26）,二、判斷矩陣,平均隨機(jī)一致性指標(biāo)（random index），記作R.I R.I指標(biāo)隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，具體數(shù)值如表6.15 一致性比率（consistency ratio） 一致性指標(biāo)CI與同階的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的比值， 記作 用一致性比率CR檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性,（6.27）,表6.15,二、判斷矩陣,當(dāng)C.R0.1時(shí)，判斷矩陣符合滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)。否則，需要修正判斷矩陣 一致性檢驗(yàn)步驟 求出一致性指標(biāo)； 查表得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I; 計(jì)算一致性

53、比率C.R=C.I/R.I, 當(dāng)C.R0l時(shí)，接受判斷矩陣否則，修改判斷矩陣,二、判斷矩陣,3判斷矩陣的求解 Perron定理是判斷矩陣求解方法的理論依據(jù) 由Perron定理可知，最大特征值 唯一存在，對(duì)應(yīng)的特征向量 根法 三種近似計(jì)算方法 和法 冪法（適于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算）,二、判斷矩陣,（1）根法 設(shè)判斷矩陣 ，根法的基本步驟是： 計(jì)算A的每一行元素之積 計(jì)算Mi 的m次方根 對(duì)向量 a(a1，a2，am)T作歸一化處理， 令 得到最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,，（i=1,2,m）,，（i=1,2,m）,，（i=1,2,m）,二、判斷矩陣,求A的最大特征值 由于AWw，而 故有 記 ,表示向量A

54、w的第i個(gè)分量于是取算術(shù)平均值，即,(i=1,2,m),（6.28）,二、判斷矩陣,例 6.11求解判斷矩陣 的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn) 解：用根法求解因?yàn)?=1.10064,二、判斷矩陣,對(duì)向量 作歸一化處理，得特征向量 由于,=(1.9672,0.8261,0.2602)T,二、判斷矩陣,由公式（6.28），最大特征值為 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，由于 所以，判斷矩陣滿足一致性檢驗(yàn),=3.0535,二、判斷矩陣,和法 和法的步驟是： 將判斷矩陣A的元素按列做歸一化處理得到矩陣 其中 將矩陣Q的元素按行相加，得到向量 ，其中 對(duì)向量a做歸一化處理，即 得特征向量,(i,j=1,2

55、,m),(i=1,2,m),(i=1,2,m),二、判斷矩陣,求出最大特征值 【例6.12】用和法求解例6.11中判斷矩陣A的最大特征值和其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 解：將判斷矩陣A按列做歸一化處理，得,二、判斷矩陣,將Q的元素按行相加，得 對(duì)a做歸一化處理，所求特征向量為 由于,=（1.9818,0.8344,0.2619）T,二、判斷矩陣,最大特征值 進(jìn)行一致性檢驗(yàn) 判斷矩陣A滿足一致性檢驗(yàn)，由此看出，兩種方法計(jì)算結(jié)果大致相同,=3.0541,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 1、遞階權(quán)重解析公式 首先，討論兩相鄰層次間的權(quán)重解析 其次，用公式將遞階權(quán)重

56、解析公式表示出來(lái)，給出方案層關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量 最后，計(jì)算方案層各方案關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重 于是，遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程為,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,2、AHP方法的基本步驟 分為四個(gè)基本步驟： 建立層次結(jié)構(gòu)模型。（突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵因素） 構(gòu)造判斷矩陣。(從上到下逐層，標(biāo)度) 層次單排序及一致性檢驗(yàn)。(最大特征值，特征向量，修正) 層次總排序及一致性檢驗(yàn)。（按表格計(jì)算，一致性檢驗(yàn)常常省略）,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,【例6.14】 某市中心有一座商場(chǎng)，由于街道狹窄，人員車輛流量過(guò)大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個(gè)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)有關(guān)專家會(huì)商研究，制定出三個(gè)可行方案： a1

57、：在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋； a2：在商場(chǎng)附近修建地下人行通道； a3：搬遷商場(chǎng)。 決策的總目標(biāo)是改善市中心交通環(huán)境。根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w條件和有關(guān)情況，專家組擬定五個(gè)目標(biāo)作為對(duì)可行方案的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則： c1：通車能力；c2:方便群眾；c3：基建費(fèi)用不宜過(guò)高； c4：交通安全；c5：市容美觀。 試對(duì)該市改善市中心交通環(huán)境問(wèn)題作出決策分析。,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,解：用AHP方法對(duì)此問(wèn)題 作出決策分析。 構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型 建立模型（圖6.16）,總目標(biāo),圖6.16,準(zhǔn)則層,方案層,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,層次單排序及一次性檢驗(yàn) 對(duì)于總目標(biāo)G,準(zhǔn)則層各準(zhǔn)則構(gòu)造判斷矩陣 求解，一致性檢驗(yàn),三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,對(duì)于各準(zhǔn)則層，構(gòu)造各方案層各方案的判斷矩陣，求解，一致性檢驗(yàn)。,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程,三個(gè)可行方案對(duì)總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為 因此 這說(shuō)明三個(gè)可行方案的排序結(jié)果為 a1a2a3 即修建天橋?yàn)樽顫M意方案，其次修建人行道，最次修建商場(chǎng),6.6DEA方法,在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域中，常常需要對(duì)具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時(shí)期的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)。 決策單元待評(píng)價(jià)的