1、1.3 二項(xiàng)式定理,1.3.1 二項(xiàng)式定理 設(shè)計(jì)人：黃黨新,引入課題,1.(ab)2和(ab)3展開后分別等于什么？,(ab)2a22abb2，,(ab)3a33a2b3ab2b3.,2.對(duì)于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為二項(xiàng)式，其一般形式為(ab)n（nN*）.由于在許多代數(shù)問(wèn)題中需要將它展開，因此，研究(ab)n展開后的表達(dá)式的一般結(jié)構(gòu)，就是一個(gè)具有重要意義的課題.,二項(xiàng)式定理,探究（一）：二項(xiàng)式定理,問(wèn)題1：將(ab)2(ab)(ab)按多項(xiàng)式乘法法則展開，每個(gè)括號(hào)內(nèi)各取一個(gè)數(shù)相乘得到展開式中的一項(xiàng)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前共有多少項(xiàng)

2、？其中不取b，取一個(gè)b和一個(gè)a，取二個(gè)b的項(xiàng)數(shù)用組合數(shù)分別怎樣表示？由此可得(ab)2的展開式是什么？,問(wèn)題2：類似地，將(ab)3(ab) (ab)(ab)按多項(xiàng)式乘法法則展開，在合并同類項(xiàng)之前共有多少項(xiàng)？其中不取b，取一個(gè)b和二個(gè)a，取二個(gè)b和一個(gè)a，取三個(gè)b的項(xiàng)數(shù)用組合數(shù)分別怎樣表示？由此可得(ab)3的展開式是什么？,問(wèn)題3：在(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的展開式中，有哪幾種形式的項(xiàng)？合并同類項(xiàng)之后各項(xiàng)的系數(shù)分別是什么組合數(shù)？由此可得(ab)4的展開式是什么？,問(wèn)題4：根據(jù)歸納推理，你能猜測(cè)出 (ab)n(nN*)的展開式是什么嗎？,問(wèn)題5：如何證明這個(gè)猜想？,問(wèn)題6：公

3、式 叫做二項(xiàng)式定理，等式右邊叫做二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù) (k0，1，2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，那么二項(xiàng)展開式在結(jié)構(gòu)上有哪些基本特征？,共有n1項(xiàng)；字母a的最高次數(shù)為n且按降冪排列；字母b的最高次數(shù)為n且按升冪排列；各項(xiàng)中a與b的指數(shù)冪之和都是n；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為 ，且與a，b無(wú)關(guān).,問(wèn)題7：根據(jù)二項(xiàng)式定理，(1x)n (nN*)等于什么？,問(wèn)題8：(ab)n(nN*)的展開式是什么？,探究（二）：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),問(wèn)題1：在二項(xiàng)展開式中，用Tk表示從左到右第k項(xiàng)，那么Tk和Tk1分別等于什么？,問(wèn)題2：在(ab)n的二項(xiàng)展開式中， 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，那么(ab)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

4、是什么？,問(wèn)題3：(2x3y)20的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是什么？,問(wèn)題4：(12x)7的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)分別是什么？,二項(xiàng)式系數(shù)： ， 系數(shù)： .,經(jīng)典范例,例1 求 的展開式.,例2 求 的展開式中x3的系數(shù).,84,例3 已知 的展開式中 第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為143，求展開式中所有的有理項(xiàng).,課堂小結(jié),1.二項(xiàng)式定理是以公式的形式給出的一個(gè)恒等式，其中n是正整數(shù)，a，b可以任意取值，也可以是代數(shù)式.,2.(ab)n的展開式統(tǒng)一規(guī)定按a的 降冪排列，各項(xiàng)的系數(shù)與a，b的取值有關(guān)，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b的取值無(wú)關(guān).,3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 是研究二項(xiàng)展開式問(wèn)題的重要工具，但需注意通項(xiàng)是表示二項(xiàng)展開式中