1、課題引入,不完全歸納法,費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他觀察當(dāng)n0，1，2，3，4時(shí)的值都是質(zhì)數(shù)，提出猜想得到的半個(gè)世紀(jì)后，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn) 4 294 967 2976700417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒(méi)想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立,舉例說(shuō)明： 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an= (n25n+5)2 請(qǐng)算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= 猜測(cè)an?,由于a525 1，所以猜測(cè)是不正確的,所以由不完全歸納法得到的結(jié)論不一定可靠,1,1,1,1,猜測(cè)是否正確呢？,2.3 數(shù)學(xué)歸納法,問(wèn)題情境三,多 米

2、諾 骨 牌 課 件 演 示,思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？,多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長(zhǎng)方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。,只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：,（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 （依據(jù)）,條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。,（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）,定義：證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：,當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0 N*)時(shí)命題成立 (歸納奠基） ；,2.

3、假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，kn0)時(shí)命題成立， 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立(歸納遞推）。 這種證明方法就叫做_。,數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 關(guān)鍵步驟如下：,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 時(shí)命題成立,完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定： 命題對(duì)從 開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立,(2)假設(shè)當(dāng) 時(shí),命題成立 證明當(dāng) 時(shí),命題也成立,（基礎(chǔ)）,（依據(jù)）,驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立,若n=k(kn0)時(shí)命題成立, 證明n=k+1時(shí)命題也成立.,歸納奠基,歸納遞推,命題對(duì)從n0開(kāi)始所有的正整數(shù)n都成立,根據(jù)(1)(2)可知對(duì)任意正整數(shù)n猜想都成立.,證明：,思

4、考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項(xiàng)公式 這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？,多米諾骨牌游戲的原理,這個(gè)猜想的證明方法,（1）第一塊骨牌倒下。,（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。,根據(jù)（1）和 （2）， 可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。,（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。,（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立， 即 ，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想 也成立，即 。,根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想 都成立。,已知數(shù)列,證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 右邊,等式顯然成立。,例 證明：,數(shù)學(xué)運(yùn)用,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有

5、,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。,根據(jù)和，可知對(duì)任何nN*等式都成立。,例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+3+5+(2n-1)n2,(2)假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即,(1) n1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；,1+3+5+(2k-1)k2,那么當(dāng)nk+1時(shí)，,由、 可知對(duì)任何nN*時(shí)，等式都成立,需要證明的式子是?,1+3+5+(2k-1)+（2k+1） k2+（2k+1）（k+1）2,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：, 明確首取值n0并驗(yàn)證真假。（必不可少） “假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫(xiě)出命題形式。 分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與

6、“n=k”時(shí) 命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。 明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等， 并 用上假設(shè)。,思考1：試問(wèn)等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？,解:設(shè)nk時(shí)成立，即,這就是說(shuō)，nk+1時(shí)也成立,2+4+6+2kk2+k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí) 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對(duì)任何nN*都成立,事實(shí)上，當(dāng)n1時(shí)，左邊2，右邊3 左邊右邊，等式不成立,該同學(xué)在沒(méi)有證明當(dāng)n=1時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式

7、對(duì)任何nN*都成立，為時(shí)尚早,2.3 數(shù)學(xué)歸納法,下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題 的過(guò)程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么? (1).當(dāng)n=1時(shí),左邊= , 右邊= (2).假設(shè)n=k時(shí)命題成立 即 那么n=k+1時(shí), 左邊 =右邊, 即n=k+1時(shí),命題也成立. 由(1)(2)知,對(duì)一切自然數(shù),命題均正確.,思考2,證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊,右邊,假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，,那么n=k+1時(shí),等式成立,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何nN都成立,即,第二步的證明沒(méi)有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去。,答：不一定,舉例說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 n邊形 的對(duì)角線的條數(shù)是,此時(shí)n取的第一值,2. 數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的步驟是：,（1）證明當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 或2等）時(shí)命題成立,遞推基礎(chǔ),在完成了這兩步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從n0 開(kāi)始 的所有正整數(shù)n都成立,1. 數(shù)