1、絕密考試結(jié)束前2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共5頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至5頁。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分（共50分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試卷和答題紙規(guī)定的位置上。2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。參考公式如果事件互斥 ，那么如果事件相互獨(dú)立，那么如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,那么次

2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 恰好發(fā)生次的概率臺(tái)體的體積公式其中,分別表示臺(tái)體的上、下面積，表示臺(tái)體的高柱體體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式 其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共8小題, 每小題5分, 共40分, 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合P=x|x2-2x0, Q=x|10, dS40 B. a1d0, dS40, dS40 D. a1d04.命題“ 且f(n)n” 的否定形式是( )A.且f(n)n B.或f(n)nC.且f(n0)n0 D.或f(n0)n05.如圖, 設(shè)拋物線y2

3、=4x的焦點(diǎn)為F, 不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A, B, C, 其中點(diǎn)A, B在拋物線上, 點(diǎn)C在y軸上, 則BCF與ACF的面積之比是( )A. B. C. D.6.設(shè)A, B是有限集, 定義d(A, B)=card(AB)-card(AB), 其中card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù), 命題：對(duì)任意有限集A, B, “AB”是“d(A, B)0”的充分必要條件；命題：對(duì)任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C), 則( )A.命題和命題都成立 B.命題和命題都不成立 C.命題成立, 命題不成立 D.命題不成立, 命題成立7.存在函數(shù)f(x)滿足, 對(duì)

4、任意xR都有( )A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|8.如圖, 已知ABC, D是AB的中點(diǎn), 沿直線CD將ACD折成, 所成二面角的平面角為, 則( )A. B.C. D.二、填空題：本大題共7小題, 多空題每題6分, 單空題每題4分, 共36分。9.雙曲線的焦距是 , 漸近線方程是 10.已知函數(shù)f(x)=, 則f(f(-3)= , f(x)的最小值是 11.函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 , 單調(diào)遞減區(qū)間是 12.若a=log43, 則= 13.如圖, 三棱錐A-B

5、CD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2, 點(diǎn)M, N分別是AD, BC的中點(diǎn), 則異面直線AN, CM所成的角的余弦值是 14.若實(shí)數(shù)x, y滿足x2+y21, 則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 15.已知是空間單位向量, =, 若空間向量滿足=2, =, 且對(duì)于任意x, yR, | =1 (x0, y0R), 則x0= , y0= ,|= 三、解答題：本大題共5小題, 共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.(本題滿分14分)在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 已知A=, b2-a2=c2(I)求tanC的值；(II)若A

6、BC的面積為3, 求b的值17.(本題滿分15分)如圖, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90, AB=AC=2, A1A=4, A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn), D為B1C1的中點(diǎn).(I)證明: A1D平面A1BC; (II)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值18.(本題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a, bR), 記M(a, b)是|f(x)|在區(qū)間-1,1上的最大值(I)證明: 當(dāng)|a|2時(shí), M(a, b)2; (II)當(dāng)a, b滿足M(a, b)2, 求|a|+|b|的最大值19.(本題滿分15分)已知橢圓=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A, B關(guān)于直線y=mx

7、+對(duì)稱(I)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(II)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)) 20.(本題滿分15分)已知數(shù)列an滿足a1=, 且=- (nN*)(I)證明：12 (nN*)(II)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 證明 (nN*)2015年浙江省高考數(shù)學(xué)(理)參考答案1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B9., xy=0 10. 0,-3 11. p, kp +, kp +, kZ12. 13. 14. 3 15. 1, 2,16.解: (I)a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc 又b2-a2=c2bc-c2=c2即3c=b 3sinC=2sinB=2sin(C

8、+)=2(sinC+cosC) sinC=2cosC, 故tanC=2(II)SABC=bcsinA=bc=3bc=6又c=bb2=6b2=9, 故b=3法二: (I)b2-a2=c2, A=sin2B=sin2C 即-cos2B=sin2Csin2C=-cos2()=sin2C=2sinCcosC 即sinC=2cosC, 故tanC=2(II)由tanC=2, 0C, 得cosC=, sinC=sin2B=(1+sin2C)=sinB=sinC, 從而c=b又SABC=bcsinA=bc=b2= 3 b2=9, 故b=317.解: (I)設(shè)BC的中點(diǎn)為O, 則A1O平面A1B1C1, 即A

9、1O平面ABC A1OA1D 又A1B1=A1C1, B1D=DC1A1DB1C1A1DBC, BCA1O=OA1D平面A1BC(II)建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz, 則=(-, 0, 0), =(, -)設(shè)平面A1BD的法向量為=(x, y, z), 則=0, 令z=1, 得=(0, 1)設(shè)平面BB1D的法向量為=(u, v, w), 則=0, 又=(0, 0) , 令w=1, 得=(, 0, 1) cos=又二面角A1-BD-B1的平面角是鈍角, 故所求的平面角的余弦值為法二: 過A1作A1HBD交BD于H, 連結(jié)B1H, 由BAC=90, AB=AC=2 AO=OB=A1O=, 從而A

10、1B=4=BB1 又A1D=B1D= A1BDB1BD (此題數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的要點(diǎn), 非常規(guī), 不易發(fā)現(xiàn))故由A1HBD得B1HBD A1HB1是二面角A1-BD-B1的平面角由B1C1A1D, B1C1A1O 得B1C1平面A1DOB1C1OD 從而B1C1BB1A1H= B1H =cosA1HB1=因此, 二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值是18.解: (I)|a|2 1, 故f(x)在-1, 1上為單調(diào)函數(shù) M(a, b)=max|f(-1)|, |f(1)|=max|1+b-a|, |1+b+a|=|1+b|+|a|2 (最佳表達(dá)式, 重復(fù)應(yīng)用)(II)由(I)知|a|2, 1 M(a,

11、 b)=max|f(-1)|, |f(1)|, f()|b|-1+|a|1+b|+|a|=max|f(-1)|, |f(1)|M(a, b)2|a|+|b|3, 當(dāng)a= -2, b= -1時(shí), M(a, b)=2, |a|+|b|=3 (每一點(diǎn)的知識(shí)都不難, 串起來才難)因此, |a|+|b|的最大值為3 法二: (I)由已知得|f(-1)|M(a, b), |f(1)|M(a, b) 又f(-1)=1-a+b, f(1)=1+a+b 2a=f(1) -f(-1) (隱含著通過函數(shù)值反求系數(shù), 常法) 42|a|f(1)|+|f(-1)|2M(a, b) M(a, b)2(II)由(I)知a+

12、b=f(1)-1, a-b=1-f(-1)|a|+|b|=max|a+b|, |a-b|=max|f(1) -1|, |1- f(-1)|M(a, b)+13當(dāng)a= -2, b= -1時(shí), f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2-2, 2, |x|1, 此時(shí)M(a, b)=2, |a|+|b|=3因此, |a|+|b|的最大值為319.解: (I)設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), AB的中點(diǎn)M(x0, y0), 則2x0=x1+x2, 2y0=y1+y2顯然m0, 故可設(shè)直線AB的斜率k= 由, 相減得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0 即x0y0

13、=0又點(diǎn)M(x0, y0)在直線y=mx+上, y0=mx0+, 故得x0=, y0=又點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部, 故得因此, m或m0 整理得m2+2-m2b20 (*)且x0=(x1+x2)=, y0=x0+b=又點(diǎn)M(x0, y0)在直線y=mx+上, y0=mx0+, 整理得bm=代入(*)式得m2+20 即4m2-(m2+2)0, 解得m2因此, m或m (其中也可得x0=, y0=)(II)由k=, 則0k2. 由(I)可得直線AB: y+=k(x-k) 即kx-y-k2=0原點(diǎn)O到直線AB的距離d=由得x2-2kx+(2k2+1)=0 (利用|x1-x2|=)|AB|=|x1-x2|=故

14、SAOB=|AB|d=, 且0k2因此, 當(dāng)k2=即m=時(shí), AOB的面積SAOB有最大值20.解: (I)an-an+1=0 an+1an ana1= 由an=得an=, 故0 an 從而1, 2 即12 法二: 在0 an基礎(chǔ)上證an2an+1可用分析法 要使an2an+1, 只要an2(an-)2an0 an, 故an2an+1成立(II)=an-an+1 Sn=a1-a2+a2-a3+an-an+1=a1-an+1=-an+1由an+1=an(1-an) 1, 2, 00”的充分必要條件；命題：對(duì)任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C), 則( )A.

15、命題和命題都成立 B.命題和命題都不成立C.命題成立, 命題不成立 D.命題不成立, 命題成立解: 命題的逆否命題：對(duì)任意有限集A, B, “A=B”是“d(A, B)=0”的充分必要條件 若A=B得d(A, B)=0; 反之, 若d(A, B)=0, 則AB=AB, A=B. 故命題成立 對(duì)于命題, 此題似乎暗含高等數(shù)學(xué)度量空間的度量的性質(zhì)的背景作出文氏圖, 易得d(A, B)+d(B,C)-d(A,C)=card(BCU(AC)+card(AC)CUB)07.存在函數(shù)f(x)滿足, 對(duì)任意xR都有( )A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x

16、+1| D.f(x2+2x)=|x+1|解: (排除法, 利用函數(shù)的單值性)在A選項(xiàng)中, 令x=0, 可得f(0)=0或1, 排除AB選項(xiàng)中, 令x=0, p可得f(0)=0或p2+p, 排除BC選項(xiàng)中, 令x=1, -1得f(2)=0或2, 排除C事實(shí)上, 在D選項(xiàng)中, 令x2+2x=t, 則(x+1)2=t+1 f(t)= 即存在f(x)=8.如圖, 已知ABC, D是AB的中點(diǎn), 沿直線CD將ACD折成, 所成二面角的平面角為, 則( )A. B.C. D.解: 過B作BHCD交于H, 過A作AE/CD交BH的延長線于E, 點(diǎn)E折后對(duì)應(yīng)點(diǎn) 設(shè)AD=BD=x, BH=HE=d, AE=2y

17、=2DH, 則xd, 且x2-d2=y2, =a 易知 = cos= cosa, 故得a13.如圖, 三棱錐A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2, 點(diǎn)M, N分別是AD, BC的中點(diǎn), 則異面直線AN, CM所成的角的余弦值是 解: 取DN的中點(diǎn)E, 則ME/AN, CME是AN, CM所成的角 易得CM=2, ME=, CE=,故cosCME=為所求14.若實(shí)數(shù)x, y滿足x2+y21, 則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 解: 由x2+y21, 得S=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y= 畫出的可行域, 這是單位圓位于直線2x+y=2的上方部分(含邊界), 目標(biāo)函數(shù)S=x-2y+4在交點(diǎn)A()處取最小值Smin=3. 再畫出的可行域, 這是單位圓位于直線2x+y=2的下方部分(含邊界), 注意, 過點(diǎn)A的圓的切線方程為3x+4y-5=0,故知此時(shí)目標(biāo)函數(shù)S=8-3x-4y仍在交點(diǎn)A()處取最小值Smin=3(此題是分段的目標(biāo)函數(shù), 再加上是非線性規(guī)劃問題, 考生不易對(duì)付吧)15.已知是空間單位向量, =, 若空間向量滿足=2, =, 且對(duì)于任意x, yR, | =1 (x0, y0R), 則x0= , y0=