1、學(xué)法點(diǎn)拔（9）（9）直線中的幾類對稱問題對稱問題，是解析幾何中比較典型，高考中?？嫉臒狳c(diǎn)問題. 對于直線中的對稱問題，我們可以分為：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱；直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，直線關(guān)于直線的對稱. 本文通過幾道典型例題，來介紹這幾類對稱問題的求解策略.一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，是對稱問題中最基礎(chǔ)最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱進(jìn)行求解. 熟練掌握和靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是處理這類問題的關(guān)鍵.例1 求點(diǎn)A（2，4）關(guān)于點(diǎn)B（3，5）對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo).分析 易知B是線段AC的中點(diǎn)，由此我們可以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，構(gòu)造方程求解.解 由題意知，B是線段AC的中

2、點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，解得，故C（4，6）.點(diǎn)評 解決點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，我們借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解. 另外此題有可以利用中點(diǎn)的性質(zhì)AB=BC，以及A，B，C三點(diǎn)共線的性質(zhì)去列方程來求解.二、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個(gè)方面：兩點(diǎn)連線與已知直線斜率乘積等于-1，兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.例2 求點(diǎn)A（1，3）關(guān)于直線l：x+2y-3=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo).分析 因?yàn)锳，A關(guān)于直線對稱，所以直線l是線段AA的垂直平分線. 這就找到了解題的突破口.解 據(jù)分析，直線l與直線AA垂直，并且平分線段AA，設(shè)A的坐標(biāo)為（x，y

3、），則AA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為由題意可知，解得. 故所求點(diǎn)A的坐標(biāo)為三、直線關(guān)于某點(diǎn)對稱的問題直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)對稱的問題，這里需要注意到的是兩對稱直線是平行的. 我們往往利用平行直線系去求解.例3 求直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對稱的直線方程.分析 本題可以利用兩直線平行，以及點(diǎn)P到兩直線的距離相等求解，也可以先在已知直線上取一點(diǎn)，再求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，代入對稱直線方程待定相關(guān)常數(shù).解法一 由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0. 由點(diǎn)到直線距離公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即為已知直

4、線，舍去）或c= -38. 故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.解法二 在直線2x+11y+16=0上取兩點(diǎn)A（-8，0），則點(diǎn)A（-8，0）關(guān)于P（0，1）的對稱點(diǎn)的B（8，2）. 由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0.將B（8，2）代入，解得c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.點(diǎn)評 解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行，再由點(diǎn)（對稱中心）到此兩直線距離相等，而求出c，使問題解決，而解法二是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線系方程，寫出直線方程. 本題兩種解法都體現(xiàn)了直線系方

5、程的優(yōu)越性.四、直線關(guān)于直線的對稱問題直線關(guān)于直線對稱問題，包含有兩種情形：兩直線平行，兩直線相交. 對于，我們可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題去求解；對于，其一般解法為先求交點(diǎn)，再用“到角”，或是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題.例4 求直線l1：x-y-1=0關(guān)于直線l2：x-y+1=0對稱的直線l的方程.分析 由題意，所給的兩直線l1，l2為平行直線，求解這類對稱總是，我們可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，再利用平行直線系去求解，或者利用距離相等尋求解答.解 根據(jù)分析，可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0，在直線l1：x-y-1=0上取點(diǎn)M（1，0），則易求得M關(guān)于直線l2：x-y+1=0的對稱點(diǎn)N（-1

6、，2），將N的坐標(biāo)代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直線l的方程為x-y+3=0.點(diǎn)評 將對稱問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是我們求解這類問題的一種必不可少的思路. 另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式，然后再在直線l2上的任取一點(diǎn)，在根據(jù)該點(diǎn)到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關(guān)常數(shù).例5 試求直線l1：x-y-2=0關(guān)于直線l2：3x-y+3=0對稱的直線l的方程.分析 兩直線相交，可先求其交點(diǎn)，再利用到角公式求直線斜率.解 由解得l1，l2的交點(diǎn)，設(shè)所求直線l的斜率為k，由到角公式得，所以k=-7.由點(diǎn)斜式，得直線l的方程為7x+y+22=0.點(diǎn)評 本題亦可以先求l1，l2的交點(diǎn)A

7、，再在直線l1上取異于點(diǎn)A的任意點(diǎn)B，再求點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B，最后由A，B兩點(diǎn)寫出直線l的方程.總結(jié)：（1）一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于x=a0對稱的直線方程，先寫成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再寫成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化簡后即是所求值.（2）一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于y=b0對稱的直線方程，先寫成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再寫ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化簡后即是的求值.（3）一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線方程，只需把x換成-x，把y換成-y，化簡后即為所求.（4）一般地直（曲）線f(x，y)=0關(guān)于直線y=x+c的對稱直（曲）線為f(y-c，x+c)=