1、第4章 時(shí)變電磁場(chǎng),本章內(nèi)容 4.1 波動(dòng)方程 4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 時(shí)諧電磁場(chǎng),4.1 波動(dòng)方程,波動(dòng)方程 二階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性,麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng) 間的相互作用關(guān)系,問(wèn)題的提出,在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有,無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程,同理可得,推證,4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù),討論內(nèi)容,位函數(shù)的性質(zhì),位函數(shù)的定義,位函數(shù)的規(guī)范條件,位函數(shù)的微分方程,引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。,引入位函數(shù)的意義,位函數(shù)的定義,位函數(shù)的不確定性,滿足下列變換關(guān)系

2、的兩組位函數(shù) 和 能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。,即,也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。,為任意可微函數(shù),除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即,在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即,位函數(shù)的規(guī)范條件,造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定 的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。,位函數(shù)的微分方程,同樣,4.3 電磁能量守恒定律,討論內(nèi)容,坡印廷定理,電磁能量及守恒關(guān)系,坡印廷矢量,電場(chǎng)能量密度：,磁場(chǎng)能量密度：,電磁能量密度：,空間區(qū)域V中的電磁能量：,特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量

3、密度也要隨 時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng),電磁能量及守恒關(guān)系,進(jìn)入體積V的能量體積V內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量,電磁能量守恒關(guān)系：,坡印廷定理,表征電磁能量守恒關(guān)系的定理。,由,推證,在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有,將以上兩式相減，得到,即可得到坡印廷定理的微分形式,再利用矢量恒等式：,在任意閉曲面S 所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式,其中：, 單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加 的電磁能量, 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率, 通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積V 的電磁功率,積分形式：,物理

4、意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積V的電磁能量等于 體積V 中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。,定義： ( W/m2 ),物理意義：,的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较?的大小 通過(guò)垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率,描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量,坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）,例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I 。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。,同軸線,解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體

5、為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為,內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量,電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源向負(fù)載，如圖所示。,同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量 （理想導(dǎo)體情況）,穿過(guò)任意橫截面的功率為,（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng),內(nèi),磁場(chǎng)則仍為,內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為,由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。,以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著

6、定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。,進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為,式中 是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。,4. 4 惟一性定理,在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問(wèn)題。,惟一性問(wèn)題,在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)V，如果給定t0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值，并且在 t 0 時(shí)，給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度

7、的切向分量，那么，在 t 0 時(shí)，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。,惟一性定理的表述,惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng) 問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。,4. 5 時(shí)諧電磁場(chǎng),復(fù)矢量的麥克斯韋方程,時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示,復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率,時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù),亥姆霍茲方程,平均能流密度矢量,時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念,如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。,研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義,在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣

8、播、電視和通信 的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。,任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不 同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。,4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示,時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題得分析得以簡(jiǎn)化。,設(shè) 是一個(gè)以角頻率 隨時(shí)間t 作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成,式中的A0為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。,其中,時(shí)間因子,利用三角公式,照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為,復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng) 真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)

9、式 由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來(lái)，只用寫與坐標(biāo)有關(guān) 的部份就可表示復(fù)矢量,有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明,例4.5.1 將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式,（2）,（1）,所以,解：（1）由于,（2）因?yàn)?故,所以,例4.5.2 已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量,解,其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。,以電場(chǎng)旋度方程 為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得,上式對(duì)任意 t 均成立。,4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程,令t/2 ，得,即,令 t0 ，得,從形式上講，只要把微分算子 用 代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程,例題：已知正弦電磁

10、場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為,式中,解:(1),故電場(chǎng)的復(fù)矢量為,試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。,（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量,磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值,實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗 電介質(zhì)受到極化時(shí)，存在電極化損耗 磁介質(zhì)受到磁化時(shí)，存在磁化損耗 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。,4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率,導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù) 對(duì)于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有,其中c= -j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。,電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)

11、，有 ，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。,同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì) 對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為,磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率 對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。,損耗角正切 工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有,導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。, 一般導(dǎo)電媒質(zhì), 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體, 良導(dǎo)體,4.5.4 亥姆霍茲方程,導(dǎo)電媒質(zhì),理

12、想介質(zhì),在時(shí)諧時(shí)情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。,瞬時(shí)矢量,復(fù)矢量,4.5.5 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù),在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。,洛侖茲條件,達(dá)朗貝爾方程,瞬時(shí)矢量,復(fù)矢量,4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量,時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。,設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為,電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。,則能流密度為,如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有,先取實(shí)部，再代入,使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題,二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式 場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可 場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘” 如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子,二次式的時(shí)間平均值,在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心二次式在一個(gè)時(shí)間周期 T 中的 平均值，即,平均能流密度矢量,在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì) 算，有,平均電場(chǎng)能量密度,平均磁場(chǎng)能量密度,具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其它 時(shí)變電磁場(chǎng)；而 只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。,在 中， 和 都是實(shí)數(shù)形式且是 時(shí)間的函數(shù)，所以 也是時(shí)