1、1,5-2 留數(shù)和留數(shù)定理,一、留數(shù)的定義和計算 二、 留數(shù)定理 三*、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),2,.,的某去心鄰域,一 、留數(shù)的定義和計算,3,0,(高階導(dǎo)數(shù)公式),0 (柯西積分定理),4,1. 定義,記作,任意一條簡單閉曲線 C 的積分,的值,(Residue),則沿,內(nèi)，,除,稱為,5,2. 計算留數(shù)的一般公式,由Laurent級數(shù)展開定理, 定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域 內(nèi)Laurent級數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)c-1,(1)若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點, (負(fù)冪項的項數(shù)為零個), 則它在點z0的留數(shù)為零.,注：當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點時,若 為偶函數(shù), 則f(z)

2、在點z0的去心鄰域內(nèi)Laurent級數(shù)只含z-z0的偶次冪, 其奇次冪系數(shù)都為0, 得,6,如果 為 的一級極點, 那么,規(guī)則1,成Laurent級數(shù)求,7,規(guī)則2 若z0為f(z) 的m級極點, 則對任意整數(shù) 有,說明 將函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)看作它本身, 規(guī)則1可看作規(guī)則2當(dāng)n=m=1時的特殊情形, 且規(guī)則2可取m=1.,8,規(guī)則3,如果,的一級極點,且有,9,為 的一級極點,證,10,3.典型例題,解,11,分析,由規(guī)則2得,計算較麻煩.,12,解,13,注意:,如 為 m 級極點，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,2. 在應(yīng)用規(guī)則2時,取得比實際的級數(shù)高.,級數(shù)高反而使計算方便.,1. 在實際計

3、算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則.,為了計算方便一般不要將m,但有時把m取得比實際的,如上例取,14,例3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù) (1) , ;,解： 是函數(shù) 的一級零點,又是函數(shù) 的五級零點.,于是它是 的四級極點,可用規(guī)則 計算其留數(shù),其中 ,為了計算簡便應(yīng)當(dāng)取其中 ,這時有,15,另解： 在點 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級數(shù)為 , 其中 的項的系數(shù)為 ,從而也有 .,例3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù) (1) , ;,16,(2) , ;,解： 在點 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級數(shù)為,顯然 為它的本性奇點,其中 的項的系數(shù)為 ,于是得,17,(3) , .,解：顯然 是 的一級極點;可是不

4、能用規(guī)則 求其留數(shù),由規(guī)則 得,18,思考：,有關(guān)因式分解問題？,1.,2.,19,二、留數(shù)定理,定理1 若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,zn外解析，則有,留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理. 它使得一些積分的計算變得十分容易.,20,例4. 計算下列積分(1),解：被積函數(shù) 的奇點 和 都在圓 的內(nèi)部,由規(guī)則1,2可得以下結(jié)果 ; 于是由留數(shù)定理得積分值為,21,(2),解： 在圓 的內(nèi)部有一個二級極點 和兩個一級極點 ,于是利用留數(shù)的計算規(guī)則 和 得,22,(2),最后由留數(shù)定理得積分值為,23,解,由規(guī)則3,24,例6 計算積分,C為正向

5、圓周 :,解,除,被積函數(shù),點外, 無其他奇點，,在圓外。,所以,25,因此,26,1 若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點，(負(fù)冪項的項數(shù)為零個)，則它在點z0的留數(shù)為零.,2 當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點時，若 為偶函數(shù)，則f(z)在點z0的留數(shù)為零.,小結(jié)：留數(shù)的計算,3 若z0為f(z) 的一級極點，則有,4 若z0為f(z) 的m級極點，則對任意整數(shù) 有,27,5 設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點z0都解析。若 ，Q(z0)=0且 ，則z0為f(z) 的一級極點，且有,6 由Laurent級數(shù)展開定理，留數(shù)等于f(z)在環(huán)域 內(nèi)Laurent級數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)