1、回歸分析，是在對(duì)線性回歸模型提出若干基本假設(shè)的條件下，應(yīng)用普通最小二乘法得到了線性的、無(wú)偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量。 但是，在實(shí)際的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見(jiàn)。 如果違背了某一項(xiàng)基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)模型就不能得到無(wú)偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量，OLS法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。 本章就是來(lái)學(xué)習(xí)打破經(jīng)典假定下的回歸模型,說(shuō) 明,基本假定違背：不滿足基本假定的情況。 主要包括： （1）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在異方差性； （2）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在序列相關(guān)性； （3）解釋變量之間存在多重共線性； （4）解釋變量是隨機(jī)變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān) （隨機(jī)解釋變量）；,本章學(xué)

2、習(xí)重點(diǎn)是前兩個(gè),5.1 異方差性,一、異方差的概念 二、異方差的類型 三、異方差產(chǎn)生的原因 四、異方差性的后果 五、異方差性的檢驗(yàn) 六、異方差的解決方法 七、案例,對(duì)于模型,如果出現(xiàn),即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。,一、異方差的概念,矩陣表示：,(A),簡(jiǎn)單一元Y與X的異方差圖形,同方差,同方差性假定：i2 = 常數(shù) f(Xi) 異方差時(shí)： i2 = f(Xi),異方差一般可歸結(jié)為三種類型： (1)單調(diào)遞增型： i2隨X的增大而增大 (2)單調(diào)遞減型： i2隨X的增大而減小 (3)復(fù) 雜 型： i2與X的變化呈

3、復(fù)雜形式,二、異方差的類型,1、同方差 2、單調(diào)遞增型 3、單調(diào)遞減型 4、集簇型,1. 模型中缺失了某些解釋變量,三、產(chǎn)生異方差的原因,4. 隨機(jī)因素的影響,2. 模型的設(shè)定誤差,3. 樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果：,1、參數(shù)估計(jì)量非有效,OLS估計(jì)量仍然具有無(wú)偏性，但不具有有效性,這是因?yàn)樵谟行宰C明中利用了同方差假設(shè) E()=2I,四、異方差的后果,以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說(shuō)明：,（1）仍存在無(wú)偏性：證明過(guò)程與方差無(wú)關(guān),（2）不具備最小方差性,由于,（注：交叉項(xiàng),的期望為零）,在,為同方差的假定下，,在,存在異方差

4、的情況下,記異方差情況下,的,OLS,估計(jì)為,，則,=,2,2,2,2,1,),(,),(,),var(,i,i,i,x,X,f,x,s,b,最小方差性不再保留,2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義,在變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量,同樣，在高斯-馬爾科夫假設(shè)下用來(lái)做假設(shè)檢驗(yàn) 的其他統(tǒng)計(jì)量都失去意義。,3、模型的預(yù)測(cè)精度降低,一方面，由于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)失效，回歸變量的解釋力打上問(wèn)號(hào)；,所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，將導(dǎo)致預(yù)測(cè)區(qū)間偏大或偏小，預(yù)測(cè)功能失效。,檢驗(yàn)思路：,由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)干擾項(xiàng)具有不同的方差。那么： 檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的

5、相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。 回想，線性回歸模型中，殘差項(xiàng)ei可以視為隨機(jī)干擾項(xiàng)i的估計(jì),五、異方差的檢驗(yàn),一般的處理方法：,即用,來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。,幾種異方差的檢驗(yàn)方法：,1、圖示法,（1）X-Y的散點(diǎn)圖 看散點(diǎn)圖是否存在明顯的擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）。如果存在，則說(shuō)明很可能存在異方差。,圖示法只能對(duì)異方差有個(gè)大概的判斷,看是否形成一斜率為零的直線,X,X,同方差,遞增異方差,X X,遞減異方差,復(fù)雜型異方差,2、帕克(Park)檢驗(yàn)與戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn),基本思想: 嘗試建立方程：,（帕克檢驗(yàn)）,選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，包括指數(shù)型、多項(xiàng)式型、

6、倒數(shù)型等，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說(shuō)明原模型存在異方差性。 如： 帕克檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式：,或,或 （戈里瑟檢驗(yàn)）,局限性 需要選擇多個(gè)不同的解釋變量 嘗試各種不同的函數(shù)形式，反復(fù)試驗(yàn) 優(yōu)點(diǎn) 探索異方差的具體形式，有助于針對(duì)性的消除異方差的影響,若在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明存在異方差性。,3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn),G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。,G-Q檢驗(yàn)的思想 先將樣本一分為二，對(duì)子樣和子樣分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。 由于該統(tǒng)計(jì)量服

7、從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。,G-Q檢驗(yàn)的步驟：,將n對(duì)樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊(duì) 將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2 對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和,在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的統(tǒng)計(jì)量,給定顯著性水平，確定臨界值F(v1,v2)， 若F F(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差。 當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對(duì)應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。,缺點(diǎn)：只能

8、檢驗(yàn)單調(diào)型異方差。,3、懷特（White）檢驗(yàn),基本思想：,仍然是探索方差和解釋變量之間的關(guān)系。 用殘差平方對(duì)這些單變量、平方變量和兩兩交叉乘積變量做回歸。,優(yōu)點(diǎn)：在多變量的情況下能夠檢驗(yàn)異方差的存在性。,懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟（以二元為例）,然后做如下輔助回歸,可以證明，在 假設(shè)下：,(*),R2為(*)的可決系數(shù)，h為(*)式解釋變量的個(gè)數(shù)，,表示漸近服從某分布。,如果 或P值很小，則認(rèn)為存在異方差。,注意：,輔助回歸的本質(zhì)作用仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。 在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量（如k=6時(shí)，要有27個(gè)

9、回歸元），從而方程變得繁瑣且消耗自由度，有時(shí)可去掉交叉項(xiàng)。 懷特檢驗(yàn)不需要排序，適合任何形式的異方差。 要求大樣本。,當(dāng) 已知時(shí)，可用加權(quán)最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）進(jìn)行估計(jì)。,WLS是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計(jì)其參數(shù)。,在采用WLS方法時(shí): 對(duì)較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)， 對(duì)較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。,六、異方差的解決方法,1. 加權(quán)最小二乘法,Why?,以常用的為例 在一元下，運(yùn)用“偏導(dǎo)法”得參數(shù)估計(jì)式：,特別的，如果，就是OLS，對(duì)應(yīng)著同方差,運(yùn)用矩陣語(yǔ)言：,實(shí)證常用步驟,例如，如果對(duì)一

10、元模型，經(jīng)檢驗(yàn)（如通過(guò)戈里瑟檢驗(yàn)）知：,相應(yīng)這個(gè)新模型的方差,滿足同方差性，再用OLS估計(jì)。 模型變換法實(shí)際上是WLS的一種。,2. 模型變換法,可以將模型兩邊同時(shí)除以,對(duì)模型兩邊的變量同時(shí)取對(duì)數(shù)，由于尺度縮小，可以降低異方差性的影響,3. 模型的對(duì)數(shù)變換,注意，這不是等價(jià)變換！ 這樣做，也可以估計(jì)出來(lái)所謂的“彈性”等應(yīng)用解釋。,對(duì)于多元線性回歸模型： Y=X+U,U的方差-協(xié)方差矩陣為,4*. 廣義最小二乘法（GLS）,為n階實(shí)對(duì)稱正定矩陣； 如果同方差，則=I,例: 中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來(lái)決定。 農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營(yíng)性

11、收入(3)工資性收入、(4)財(cái)產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入。 考察從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入(X1)和其他收入(X2)對(duì)中國(guó)農(nóng)村居民消費(fèi)支出(Y)增長(zhǎng)的影響:,七、案例：中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù),普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果：,異方差檢驗(yàn),進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),(1)G-Q檢驗(yàn),將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序，去掉中間的7個(gè)數(shù)據(jù)，得兩個(gè)容量為12的子樣本。 對(duì)兩個(gè)子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：,子樣本1：,(3.18) (4.13) (0.94) R2=0.7068， RSS1=0.0648,子樣本2：,(0.43) (0.73) (6.53) R2=0.8339， RSS2=0.2729,計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量： F= RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31,查表 給定=5%，查得臨界值 F0.05(9,9)=2.97 判斷 F F0.05(9,9) 否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)項(xiàng)存在遞增異方差性。,（2）懷特檢驗(yàn),作輔助回歸:,（-0.04）(0.10) (0.21) (-0.12) (1.47),(-1.11) R2 =0.4638,似乎沒(méi)有哪個(gè)參數(shù)的t檢驗(yàn)是顯著的 。但 n R2 =31*0