1、.北京市西城區(qū) 2016年高三一模試卷數(shù)學(xué)（理科）2016.4第卷（選擇題共 40 分）一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1設(shè)集合 a24x 0 ，集合 b n | n 2k1, kz ，則 ai b（） x | x（ a ） 1,1（ b） 1,3（ c） 3, 1（ d） 3, 1,1,32. 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為x 22 cos, ( 為參數(shù) ) ，則曲線 cy2 sin是（）（ a ）關(guān)于 x 軸對(duì)稱的圖形（ b）關(guān)于 y 軸對(duì)稱的圖形（ c）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形（ d ）關(guān)于直線 y

2、x 對(duì)稱的圖形3. 如果 f ( x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是（）（ a ） y x f ( x)（ b ） y xf ( x)（ c） y x2f ( x)（ d ） y x2 f ( x)4. 在平面直角坐標(biāo)系uuuruuurxoy 中，向量 oa ( 1, 2) ， ob (2, m) ， 若 o, a, b 三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則（）（ a ） m4（ b） m4開(kāi)始（ c） m 1（ d） mr輸入 a, s5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a, s 分別為 0, 1，k1則輸出的 s（）aa k（ a ）4k k 2（ b）16ss a（ c）

3、27k4否（ d）36是輸出 s結(jié)束.6. 設(shè) x(0, 1) ，則“ a (,0) ”是“ log 1x x a ”的（）22（ a ）充分而不必要條件（ b）必要而不充分條件（ c）充分必要條件（ d）既不充分也不必要條件7. 設(shè)函數(shù)fxasinx（ a ，是常數(shù)，a0 ，0 ），且函數(shù)fx 的部分圖象如圖所示，則有（）y（ a ） f (3f (5f (7)436（ b） f (3f (7f (5)4635 57o（ c） f (f (f (3126)364x537（ d） f ( ) f () f ()3468. 如圖，在棱長(zhǎng)為 a (a 0) 的正四面體 abcd 中，點(diǎn) b1 ,c

4、1 , d1 分別在棱 ab , ac , ad 上，且平面 b1c1 d1 / 平面 bcd ， a1 為 d bcd 內(nèi)一點(diǎn)， 記三棱錐 a1 - b1 c1 d1 的體積為 v，設(shè) ad1 = x ，ad對(duì)于函數(shù) v =f (x) ，則（）a2（ a ）當(dāng) x =時(shí)，函數(shù)f ( x) 取到最大值b1d13（ b）函數(shù) f (x) 在 ( 1 ,1)上是減函數(shù)bc12d（ c）函數(shù)f (x) 的圖象關(guān)于直線x= 1a12 對(duì)稱cx1va- bcd 為四面體 abcd 的體積）（ d）存在0 ，使得 f ( x ) va- bcd （其中03.第卷 （非選擇題共 110 分）二、填空題：本大

5、題共6 小題，每小題5 分，共 30分9.zzz1_在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且z1 1 i ，則.1z210已知等差數(shù)列 an 的公差 d0， a33， a2a45 ，則an_ ；記 an的前n 項(xiàng)和為 s，則s的最小值為 _.nn2222x22正 (主 )視圖側(cè) (左 )視圖1與雙曲線c：1(a0)11若圓 (x 2)y2y的漸近a線相切，則 a_；雙曲線 c 的漸近線方程是 _.12. 一個(gè)棱長(zhǎng)為 4的正方體， 被一個(gè)平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積是_.俯視圖13. 在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等5 人報(bào)名參加了 a, b, c 三個(gè)項(xiàng)目的

6、志愿者工作，因工作需要， 每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需 1 名志愿者， 且甲不能參加 a, b 項(xiàng)目，乙不能參加 b, c 項(xiàng)目， 那么共有 _ 種不同的選拔志愿者的方案 .（用數(shù)字作答）14. 一輛賽車在一個(gè)周長(zhǎng)為3 km 的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖 1 反映了賽車在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系s（abs圖1）ssc（d圖2）根據(jù)圖 1，有以下四個(gè)說(shuō)法：在這第二圈的 2.6 km 到 2.8 km 之間，賽車速度逐漸增加；1在整個(gè)跑道中，最長(zhǎng)的直線路程不超過(guò)0.6 km；2大約在這第二圈的 0.4 km 到 0.6 km 之間，賽車開(kāi)始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛；3在

7、圖 2 的四條曲線（注： s 為初始記錄數(shù)據(jù)位置）中，曲線b 最能符合賽車的運(yùn)動(dòng)軌跡 .4.其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是_.三、解答題： 本大題共6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）在 abc 中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a b，c.設(shè) a， sin b 3sin c .3（）若 a7 ，求 b 的值；（）求 tanc 的值 .16（本小題滿分13 分）某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40 名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50) ， 50,60) ， 60,70) ， 70,80) ，80,90) ，9

8、0,100 進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖（如下）.各14分 12數(shù) 108段6人數(shù) 42o455565758595體育成績(jī)（）體育成績(jī)大于或等于70 分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000 名學(xué)生，試估計(jì)高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；（）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)?0,70) 和 80,90) 的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2 人，求在抽取的2 名學(xué)生中，至少有1 人體育成績(jī)?cè)?0,70) 的概率；（ ）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為a，b，c ，且分別在 70,80)，80,90) ，90,100三組中，

9、其中 a， b， cn 當(dāng)數(shù)據(jù) a，b，c 的方差 s2 最小時(shí)，寫出 a，b， c 的值 .（結(jié)論不要求證明）（注： s2 1( x1x )2( x 2 x)2l ( xnx)2 ，其中 x 為數(shù)據(jù) x1 , x2,l , xn 的平均數(shù)）n.17（本小題滿分14 分）如圖，四邊形abcd 是梯形， ad / bc ， bad90o ，四邊形 cc1 d1 d 為矩形，已知ab bc1 ，ad4，ab2，bc.1（）求證：bc 1 / 平面 add1 ；（）若 dd12 ，求平面 ac1 d1 與平面 add1 所成的銳二面角的余弦值；（）設(shè) p 為線段 c1 d 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外）

10、，判斷直線 bc1 與直線 cp 能否垂直？并說(shuō)明理由 .d 1c1adbc18（本小題滿分13 分）已知函數(shù)f ( x)xexaex 1 ，且 f (1)e .（）求 a 的值及 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（）若關(guān)于x 的方程f ( x)kx22 (k2) 存在兩不相等個(gè)正實(shí)數(shù)根x1 , x2 ，證明：| x1x2 |ln 4 e.19（本小題滿分14 分）22的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 6 ， o 為坐標(biāo)原點(diǎn) .已知橢圓 c ： mx3my 1(m 0)（）求橢圓c 的方程和離心率；（）設(shè)點(diǎn)a(3,0) ，動(dòng)點(diǎn) b 在 y 軸上，動(dòng)點(diǎn)p 在橢圓 c 上，且 p 在 y 軸的右側(cè)，若| ba | | bp

11、 |，求四邊形opab 面積的最小值 .20（本小題滿分13 分）設(shè)數(shù)列 an 和 bn 的項(xiàng)數(shù)均為 m，則將數(shù)列 an 和 bn 的距離定義為m| aibi | .i 1（）給出數(shù)列1,3,5,6 和數(shù)列 2,3,10,7 的距離；（）設(shè)a為滿足遞推關(guān)系an 11an 的所有數(shù)列 a的集合， b 和 c 為 a 中的兩1nnnan個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為m，若 b12 ， c13 ， bn 和 cn 的距離小于 2016 ，求 m 的最大值；（）記 s 是所有 7 項(xiàng)數(shù)列 an |1 n 7, an 0 或 1 的集合， ts ，且 t 中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3，證明： t 中的元素個(gè)數(shù)小

12、于或等于16.北京市西城區(qū)2016 年高三一模試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)高三數(shù)學(xué) （理科）2016.4一、 ：本大 共8 小 ，每小 5 分，共 40分 .1 c2 a3 b4 b5 d6 a7 d8 a二、填空 ：本大 共6 小 ，每小 5 分，共 30分 .9 i10 2n91611y3x12 6 3313 2114 14注：第 10， 11 第一 2 分，第二 3 分；第14 多 、少 或 均不得分 .三、解答 ：本大 共6 小 ，共 80分 . 其他正確解答 程， 參照 分 準(zhǔn) 分.15（本小 分13 分）（） 解：因 sinb3sin c ，由正弦定理abc，sin bsin asin

13、c得 b 3c .3分由余弦定理 a2b2c 22bccos a 及 a7 ， 5分3， a得 7 b2c2bc ，所以 b2( b )2b 27 ，33解得 b3 . 7分（） 解：由 a2c .，得 b33所以 sin(2c) 3sin c . 83分.即3cosc1 11 分2sinc 3sin c ，2所以3 cosc5 sin c ，22所以 tan c3 . 135分16（本小 分13 分）（） 解：由折 ，知 本中體育成 大于或等于70 分的學(xué)生有 30人， 2分所以 校高一年 學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大 有100030750 人 . 440分（） 解： “至少有 1人體育

14、成 在 60,70) ” 事件 a ， 5 分由 意，得p ( a)c3237121，c51010因此至少有1 人體育成 在60,70)的概率是 7. 9 分10（） 解： a , b , c 的 分 是 79 , 84, 90 ；或 79, 85 , 90. 13 分17（本小 分14 分）（） 明 ：由 cc1 d1 d 矩形，得cc1 / dd 1 ，又因 dd 1平面 add 1 ， cc 1平面 add 1 ，所以 cc1 / 平面 add 1 ，2分同理 bc / 平面 add 1 ，又因 bc i cc 1c ，所以平面bcc 1 / 平面 add 1 ,3 分又因 bc1平面

15、bcc 1 ，.所以 bc1 / 平面 add1 . 4分（ ）解：由平面 abcd中， ad /bc ，bad 90o ，得 abbc ，又因 ab bc1 ， bc i bc1b ，所以 ab平面 bcc1 ，所以 abcc1 ，又因 四 形cc1d1d 矩形，且底面abcd中 ab與 cd 相交一點(diǎn)，所以 cc1平面 abcd，因 cc1 / dd 1 ，所以 dd1平面 abcd.過(guò) d 在底面 abcd中作 dmad ，所以 da, dm , dd1兩兩垂直， 以 da, dm , dd1 分別為 x 、 y 和 z ，如 建立空 直角坐 系，6 分則 d(0,0,0) ， a(4,

16、0,0) ， b(4, 2,0) ， c(3, 2,0) ， c1 (3,2, 2) ， d1 (0, 0, 2) ，uuuruuur所以 ac1( 1,2,2) , ad1( 4,0, 2) . 平面 ac1d1 的一個(gè)法向量 m( x, y, z) ，uuuuruuuurx2 y2z 0,由 m ac10 ， m ad10 ，得2z0,4xzd1c1令 x 2 ，得 m (2, 3, 4). 8 分p易得平面 add 1 的法向量 n(0,1,0) .xadm n3 29bc所以 cos m , n.| m | n |29y即平面 ac1 d1 與平面 add1 所成的 二面角的余弦 3

17、29 . 10 分29（） 結(jié)論 ：直 bc1 與 cp 不可能垂直 . 11分.uuuruuuur 明： 設(shè) dd1m(m 0) ， dpdc1 (0,1) ，由 b(4,2,0) ， c(3,2,0) ， c1 (3,2, m) ， d (0,0,0) ，uuuuruuuuruuuruuuuruuur得 bc1( 1,0, m) ， dc1(3,2, m) ， dpdc1 (3 ,2,m) ， cd ( 3, 2,0)，uuuruuuruuur(33,22,m) . 12 分cpcddpuuuuruuur(33) m20 ，即 (m2若 bc1cp ， bc1cp3)3 ，因 0 ，所以

18、m233 0 ，解得1， 與 01 矛盾 .所以直 bc1 與 cp 不可能垂直 .14 分18. （本小 分 13 分）（） 解： f (x) 求 ，得f ( x)(1x)exaex 1， 2分所以 f (1) 2ea e ，解得 ae . 3分故 f ( x)xexex ， f(x) xex .令 f ( x)0 ，得 x 0 .當(dāng) x 化 ， f ( x) 與 f (x) 的 化情況如下表所示：x(,0)0(0,)f( x)0f ( x)所以函數(shù) f ( x) 的 減區(qū) (,0) ， 增區(qū) (0,) . 5 分（） 解：方程 f ( x)kx22，即 ( x 1)exkx22 0 ， 函

19、數(shù) g( x) ( x 1)exkx22. 6分求 ，得 g (x)xex2kxx(ex2k) 由 g ( x)0 ，解得 x0 ，或 xln(2k ) . 7 分.所以當(dāng) x (0,) 化 ， g ( x) 與 g( x) 的 化情況如下表所示：x(ln(2 k), )(0,ln(2 k )ln(2 k)g (x)0g (x)所以函數(shù) g(x) 在 (0,ln(2 k ) 減， 在 (ln(2 k),) 上 增 . 9 分由 k2 ，得 ln(2k )ln 4 1 .又因 g(1)k20 ，所以 g(ln(2 k)0 .不妨 x1 x2 （其中 x1 , x2 為 f ( x) kx22 的

20、兩個(gè)正 數(shù)根） ，因 函數(shù) g(x) 在 (0,ln2k) 減，且 g(0) 10 ， g(1)k 2 0 ，所以 0x11. 11分同理根據(jù)函數(shù)g( x) 在 (ln 2k ,) 上 增，且g(ln(2 k) 0，可得 x2ln(2 k)ln 4，所以 | x1x2 | x2x1ln 4 1 ln 4 ，e即 | x1x2 |ln 4. 13分e19（本小 分14 分）（） 解：由 意， c： x2y21 ， 1 分11m3m所以 a21， b21，m3m故 2a 212 6，解得 m1 ，m6所以 c 的方程 x2y21. 3 分62因 ca 2b 22 ，所以離心率 ec6 . 5a3.

21、分（） 解： 段 ap 的中點(diǎn) d ，因 | ba | | bp |，所以 bdap， 7 分由 意，直 bd 的斜率存在， 點(diǎn) p( x0 , y0 )( y00) ， 點(diǎn) d 的坐 ( x03 , y0) ，22且直 ap 的斜率 kapy0， 8x03分所以直 bd的斜率 13x0，kapy0所以直 bd的方程 ： yy03x0( xx03) . 10 分2y02令 x0 ，得 yx02y029 ， b(0, x02y029 ) ，2 y02 y022x0y0262由21 ，得 x03 y0 ，6化 ，得 b (0,2 y023 11 分2 y0) .所以四 形 opab 的面 sopa

22、bs oaps oab13| y0 |13 | 2 y023 | 12 分222 y032 y23(| y0 | |0|)22 y03(2 | y0 |3)22 | y0 | 322 | y0 |322| y0 |33 .當(dāng)且 當(dāng) 2 y0332,2 等號(hào)成立 .2y0，即 y02所以四 形 opab面 的最小 33 . 14 分20（本小 分13 分）（） 解：由 意，數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7 的距離 7.2 分（） 解： a1p ，其中 p0 ，且 p1 .由 an 11an，得 a21p， a31p1p ，1an1p， a4， a5pp1所以 a1a5 ，因此 a中數(shù)列的 周期性重復(fù)，且每隔4 重復(fù)一次 . 4分所以 bn 中， b2， b3 ，b1，b1（k n*），4k 34 k 24 k 124k3所以 cn 中， c4 k33 ， c4k22 ， c4 k 11， c4 k1（ kn* ） . 5分32k1k由| bici|bici |，得 數(shù) m 越大，數(shù)列 bn 和 cn 的距離越大 .|i1i 147由|bici|，