1、最新資料推薦專題 20正方形閱讀與思考矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題正方形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本圖形例題與求解【例 l】 如圖，在正方形紙片 ABCD 中，對(duì)角線 AC ， BD 交于點(diǎn) O ，折疊正方形紙片 ABCD ，使 AD 落在 BD 上，點(diǎn) A 恰好與 BD 上的點(diǎn) F 重合，展開后，折痕 DE 分別交 AB ， AC 于點(diǎn) E ， G .下

2、列結(jié)論：AGD 112.50 ；AD； S AGDS OGD ；四邊形 AEFG 是菱形；BE 2OG .2AE其中，正確結(jié)論的序號(hào)是 _ （重慶市中考試題）解題思路 ：本題需綜合運(yùn)用軸對(duì)稱、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法【例 2】如圖 1，操作：把正方形 CGEF 的對(duì)角線 CE 放在正方形 ABCD 的邊 BC 的延長(zhǎng)線上(CGBC) ，取線段 AE 的中點(diǎn) M .連 MD ， MF （ 1）探究線段 MD ， MF 的關(guān)系，并加以證明（ 2）將正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖 2），其他條件不變探究線段 MD ， MF 的關(guān)系，并加以證明（大連市中考題改編）解題思路 ：由 M

3、 為 AE 中點(diǎn)，想到“中線倍長(zhǎng)法”再證三角形全等FADADFMEMBCBCEGG圖1圖21最新資料推薦【例 3】如圖，正方形 ABCD 中， E ， F 是 AB ， BC 邊上兩點(diǎn)，且 EF AE FC ， DG EF 于 G ，求證： DG DA .（重慶市競(jìng)賽試題）解題思路 ：構(gòu)造 AEFC 的線段是解本例的關(guān)鍵ADEGBFC【例 4】如圖，正方形ABCD 被兩條與邊平行的線段EF 、 GH 分割成四個(gè)小矩形，P 是 EF 與GH 的交點(diǎn)，若矩形PFCH 的面積恰是矩形AGPE 面積的 2 倍，試確定HAF 的大小，并證明你的結(jié)論（北京市競(jìng)賽試題）解題思路： 先猜測(cè) HAF 的大小，再

4、作出證明，解題的關(guān)鍵是由條件及圖形推出隱含的線段間的關(guān)系A(chǔ)EDGHPBFC【例 5】 如圖，在正方形ABCD 中， E ， F 分別是邊 BC ， CD 上的點(diǎn)，滿足 EFBE DF ，AE, AF 分別與對(duì)角線BD 交于點(diǎn) M , N 求證：（ 1） EAF45 0 ；（ 2） MN 2BM 2DN 2 （四川省競(jìng)賽試題）解題思路 ：對(duì)于（ 1），可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過(guò)三角形全等，即可解答；對(duì)于（2），很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)DNFMBEC2最新資料推薦【例 6】已知 ：正方形 ABCD 中，MAN 450 ，MAN 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB ， DC （或它們

5、的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M , N 當(dāng) MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BMDN 時(shí)（如圖 1），易證 BMDN MN （1）當(dāng)MAN 繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)到 BMDN 時(shí)（如圖2），線段 BM , DN 和 MN 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到如圖3 的位置時(shí)，線段BM , DN 和 MN 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想（黑龍江省中考試題）解題思路 ：對(duì)于（ 2），構(gòu)造 DNBM 是解題的關(guān)鍵ADADADNNBMCBMCMBC圖 1圖 2N圖 3能力訓(xùn)練A 級(jí)1. 如圖，若四邊形ABCD 是正方形，CDE 是等邊三角形，則EAB 的度數(shù)為 _ .（北京市競(jìng)賽

6、試題）2. 四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O ，給出以下題設(shè)條件： AB BC CD DA ； AOBOCODO , ACBD ； AOCO, BODO, ACBD ； AB BC ,CD DA 其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是_.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填在橫線上）（浙江省中考試題）3最新資料推薦31的兩個(gè)正方形互相重合，按住一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300 ，如圖，邊長(zhǎng)為則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是_.（青島市中考試題）ADDADAADPECBCBCBCP第 1 題圖第 3 題圖第 4 題圖4.如圖， P 是正方形ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，將ABP 繞點(diǎn) B 順時(shí)針

7、方向旋轉(zhuǎn)至能與CBP 重合，若PB 3 ，則 PP=_.（河南省中考試題）5.n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1 , A2 ,An分別是正方形的中心，則n個(gè)正將方形重疊形成的重疊部分的面積和為()A . 1 cm2B n cm2C.n 1 cm2D. ( 1 ) n cm24444（晉江市中考試題）BCA2A3A4AA1OA5FE第 5 題圖第 6 題圖6. 如圖，以 Rt BCA 的斜邊 BC 為一邊在BCA 的同側(cè)作正方形BCEF ，設(shè)正方形的中心為O ，連接 AO ，如果 AB4, AO 6 2 ，則 AC 的長(zhǎng)為 ()A . 12B 8C. 4 3D. 8 2（浙江省競(jìng)賽

8、試題）7如圖，正方形ABCD 中， CEMN ,MCE35 0 ，那么ANM 是 ()A . 450B 550C.650D. 7504最新資料推薦8如圖，正方形ABCD 的面積為256，點(diǎn) F 在 AD 上，點(diǎn) E 在 AB 的延長(zhǎng)線上，Rt CEF 的面積為 200，則 BE 的值是 ()A 15B 12C 11D 10ANDDCFEBMCABE第7題圖第 8題圖9如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 邊的中點(diǎn)， BD 與 CE 交于 F 點(diǎn)，求證： AF BE AEDFBC10. 如圖，在正方形ABCD 中， E 是 AB 邊的中點(diǎn)， F 是 AD 上的一點(diǎn)，且 AF1 AD 求證

9、： CE 平分 BCF 4AFDEBC11. 如圖，已知P 是正方形 ABCD 對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)， PEDC , PFBC , E, F 分別是垂足求證： APEF （揚(yáng)州市中考試題）ADPEBFC5最新資料推薦12.（ 1）如圖 1，已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF (CGBC ) ， B,C , G 在同一條直線上，M 為線段 AE 的中點(diǎn)探究：線段 MD , MF 的關(guān)系（ 2）如圖 2，若將正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 450 ，使得正方形 CGEF 的對(duì)角線 CE 在正方形 ABCD 的邊 BC 的延長(zhǎng)線上， M 為 AE 的中點(diǎn)試問(wèn)： （ 1）中探究的結(jié)論是否

10、成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（大連市中考試題）FEFDAADMMBECBCGG圖 1圖 2B 級(jí)1. 如圖，在四邊形ABCD 中， AD DC ,ADCABC90 0 ， DEAB 于 E ，若四邊形ABCD 的面積為 8，則 DE 的長(zhǎng)為 _.1 , CMD2.如圖， M 是邊長(zhǎng)為1 的正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，若 MA 2MB 2900 ，則 MCD2_ .（北京市競(jìng)賽試題）DADFCMAOEAEBBCCB第 1題圖第 2題圖第 3題圖3.如圖，在 Rt ABC 中， C900 , AC 3 ，以 AB 為一邊向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心為 O ，且 OC4 2

11、 ，則 BC 的長(zhǎng)為 _.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）6最新資料推薦4.如圖： 邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD ， Q 是 CD 上一動(dòng)點(diǎn)， AQ 交 BD 于 M ，過(guò) M 作 MNAQ 交BC 于 N 點(diǎn)，作 NPBD 于點(diǎn) P ，連接 NQ ，下列結(jié)論：AMMN ； MP1BD ；2 BNDQNQ ； ABBN 為定值，其中一定成立的是 ()BMA . BC. D. 5.如圖， ABCD是正方形， BF / AC ， AEFC 是菱形，則ACF與 F 度數(shù)的比值是 ()A . 3B 4C. 5D. 不是整數(shù)6.一個(gè)周長(zhǎng)為 20的正方形內(nèi)接于一個(gè)周長(zhǎng)為28 的正方形，那么從里面正方形的頂點(diǎn)到外面正方

12、形的頂點(diǎn)的最大距離是()A .58B7 5C. 8D.65E. 532（美國(guó)高中考試題）ADFADMDCQQPPEBNCABBC第 4題圖第 5題圖第6題圖第 7題圖7.如圖，正方形ABCD 中， AB 8， Q 是 CD 的中點(diǎn)，設(shè)DAQ，在 CD 上取一點(diǎn) P ，使BAP2 ，則 CP 的長(zhǎng)度等于 ()A . 1B 2C. 3D.3（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）8.已知正方形 ABCD 中， M 是 AB 中點(diǎn)， E 是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM 且交 CBE 平分線于 N （如圖1）（ 1）求證： MDMN ；（ 2）若將上述條件中的“M 是 AB 中點(diǎn)”改為“ M 是 AB 上任意一點(diǎn)”

13、其余條件不變（如圖2），（ 1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3）如圖2，點(diǎn) M 是 AB 的延長(zhǎng)線上（除B 點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（臨汾市中考試題）NDCDCDCNNAMBE AMBEAB ME圖1圖 2圖 37最新資料推薦9.已知 0a1,0b 1,求證：a 2b2(1a) 2b2a2(1 b) 2(1 a) 2(1 b) 22 2 10.如果，點(diǎn) M , N 分別在正方形ABCD 的邊 BC, CD 上，已知MCN 的周長(zhǎng)等于正方形ABCD 周長(zhǎng)的一半，求MAN 的度數(shù)（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）DNCMAB11.如圖，兩張大小適當(dāng)?shù)恼叫渭埰?，重疊地放在一起，