1、如何培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維 通州區(qū)袁灶初中 張紅珍摘要：培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力是初中數(shù)學教學目的之一。在教學中，首先教育學生要從多個方面、多個角度去思考問題，尋找解題方法；其次為培養(yǎng)學生發(fā)散思維創(chuàng)設內(nèi)、外部環(huán)境；最后運用不同解題方法培養(yǎng)學生發(fā)散思維。關鍵詞：數(shù)學教學；發(fā)散思維；培養(yǎng)所謂發(fā)散思維是不依常規(guī)，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式。這種思維方式的最基本的特色是：從多方面#、多思路去思考問題，而不是囿于一種思路，一個角度，一條路走到黑。它主要特征是：多向性、變通性、獨特性。事實上，在創(chuàng)造性思維活動中，發(fā)散性思維又起著主導作用，

2、是創(chuàng)造性思維的核心和基礎。數(shù)學教學其實是數(shù)學思維活動的教學。學習數(shù)學高有開思維，在數(shù)學思維過程中最高品質(zhì)，最高層次，而又最可貴的是創(chuàng)造性思維品質(zhì)。其實數(shù)學家創(chuàng)造能力的大小是與他本身的發(fā)散思維能力成正比的，即是說：科科學家的創(chuàng)造能力可用公式估計：創(chuàng)造能力=知識發(fā)散思維能力。而加強發(fā)散思維能力的訓練，是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。因此，在課堂教學中，老師們越來越重視對學生進行發(fā)散性思維的培養(yǎng)。下面談一談在培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力方面的一些措施與做法:一、在誘導樂于求異的心理傾向中，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力長期以來，初中數(shù)學教學以集中思維為主要思維方式，課本上的題目和材料的呈現(xiàn)過程大都循著一個模式，學生

3、習慣于按照書上寫的與教師教的方式去思考問題，用符合常規(guī)的思路和方法解決問題，這對于基礎知識、基本技能的掌握是必要的，但對于中學生學習數(shù)學興趣的激發(fā)、智力能力的發(fā)展，特別是創(chuàng)造性思維的發(fā)展，顯然是不夠的。而發(fā)散思維卻正好反映了創(chuàng)造性思維“盡快聯(lián)想，盡多作出假設和提出多種解決問題方案”的特點，因而成為創(chuàng)造性思維的一種主要形式。在中學數(shù)學教學的過程中，在培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力的同時，也要有意識地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。贊可夫說過：“凡是沒有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。贊可夫這句話說明了發(fā)散思維能力的形成，需要以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內(nèi)驅力。教師妥善于選擇具體

4、題例，創(chuàng)設問題情境，精細地誘導學生的求異意識。對于學生在思維過程中時不時地出現(xiàn)的求異因素要及時予以肯定和熱情表揚，使學生真切體驗到自己求異成果的價值。對于學生欲尋異解而不能時，教師則要細心點撥，潛心誘導，幫助他們獲得成功，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發(fā)展為穩(wěn)定的心理傾向，在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”“試試看，再從另一個角度分析一下！”的求異思考。事實證明，也只有在這種心理傾向驅使下，那些相關的基礎知識、解題經(jīng)驗才會處于特別活躍的狀態(tài)，也才可能對題中數(shù)量作出各種不同形式的重組，逐步形成發(fā)散思維能力。訓練學生對同一條件，聯(lián)想到多種結論的發(fā)散思維習慣。這種思維習慣是指確定

5、了已知條件后，沒有固定的結論，讓學生自己盡可能多地確定未知結論，并這個過程充分去求解這些未知結論。揭示思維的廣度和深度。不同層次的學生都能得到有益的嘗試，符合素質(zhì)教育面向全體學生的要求。(一)教育學生從多個方面、多個角度去認識事物，讓思維向四面八方發(fā)散出去，從而尋找解決問題更多更好的方法1、在課堂教學中應該適當給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件與機會為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部的環(huán)境。、在課堂上善于創(chuàng)設思維情景，引導學生積極思維，運用已學過知識去解決新問題。其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法。這樣培養(yǎng)的學生敢于提問題、敢于批判、敢于質(zhì)疑、思維敏捷。不受老師講解的束縛，可為發(fā)

6、散思維的培養(yǎng)創(chuàng)良好的內(nèi)、外部環(huán)境。例1我在講完直線和圓的位置關系后，用下面方式復習了切線的性質(zhì)：已知直線CB與O相切于點A，請同學們?nèi)我馓砑虞o助線，并寫出添加輔助線后能得到的結論（切線作為必要條件）把同學們的做法列成表寫在黑板上：輔助結論（） 連結。 OACB (2) 過A作的垂線。 AD圓心O, （3） 過作的垂線OE。 OE過切點A （） 過B作O的割線交O于F、G。 BA2=BFBG （） 過B作O的另一條切線交O于M。 BA=BM （）過A作弦AN，在CAN夾的弧上取點P,連結PA、 PN。 BAN=APN （）過A作弦AS=AT,連結ST。 AST 例2，已知ABC，P是邊AB的一點

7、，連結CP，要使ACPABC，只要加上什么條件即可？（至少寫出三種方案）方案一：（APC=ACB）方案二：(ACP=B) 方案三：(AP ：AC=AC ：AB) 讓學生充分展開想象的翅膀，使學生發(fā)散思維能力得到同步提高。目的基本達到后，再讓學生對其中的部分結論加以證明。在剛開始進行這訓練時，學生是不習慣的，思路有被“堵塞”感覺，但經(jīng)過一段時間的訓練后。學生的發(fā)散思維能力有了明顯的提高。比如。題目有切線這個條件時，他們就會迅速地對切線的性質(zhì)進行一次“盤點”，然后，從中挑出最利于問題解決的用法。(二)發(fā)散性思維體現(xiàn)了思維的開放性、創(chuàng)造性，是事物普遍聯(lián)系在頭腦中的反映1、既然事物是相互聯(lián)系的，是多方

8、面關系的總和。所以在教學中教育學生當一種方法，一個方面不能解決問題時，應主動地否定這一方法、方面，讓思維向另一方法、另一方面跨越。不要滿足已有的思維成果，力圖向新的方法、領域探索，并力圖在各種方法、方面中，尋找一種更好一點的方法、方面。2、教學上運用相關的題目進行訓練，促使學生在思維上善于從同一對象中產(chǎn)生多種分化因素的能力，從不同的方向去思考，揭示同一本質(zhì)表現(xiàn)出來的現(xiàn)象、形式之間的差異。3、使思維富于聯(lián)想，思路寬闊，能對已知信息進行多方向、多角度的聯(lián)想，從而能夠發(fā)現(xiàn)新知識、提出新問題，得到多種解答或結論。4、注意在學習過程中，對于學生提出的不同結論，如果講得有道理，教師就應該給予肯定，即便是與

9、教材中的敘述有所出入，教師也不應該硬將教材中的結論強加給學生，因為任何知識的學習都要經(jīng)歷由不完整到完整的過程。(1)讓學生真實的坦陳自己的想法，尊重孩子的思維成果，不輕易否定孩子在認真思維基礎上的答案，這樣，學生才會“放下包袱、開動機器”，這樣，才會“百花齊放、百家爭鳴”。(2)在引導學生進行發(fā)散思維的基礎上，我們還要引導學生相互比較鑒別，把發(fā)散的思維再回攏起來，這樣就有利于培養(yǎng)學生思維的系統(tǒng)性、嚴謹性和深刻性。二、在多種形式的訓練中，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力在中學數(shù)學教學過程中，教師可結合教學內(nèi)容和學生的實際情況，采取多種形式的訓練，培養(yǎng)學生思維的敏捷性和靈活性，以達到誘導學生思維發(fā)散，培養(yǎng)發(fā)

10、散思維能力的目的。這種思維習慣是指問題的結論確定以后，盡可能變化已知條件，進而不同的角度，用不同的知識來解決問題。這樣，一方面可以充分揭示數(shù)學問題的層次。另一方面又可以充分暴露學生自身的思維層次，使學生從中吸收數(shù)學知識的營養(yǎng)。在教學中，我們常常會遇到類似的問題，為了實現(xiàn)某個目標，要首先設計實現(xiàn)這一目標的各種可能性方案。加強學生這方面能力的培養(yǎng)，也是對學生進行素質(zhì)教育的一個方面。適當進行“一題多解”、“一題多變”、“一題多問”等教學活動，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維（一） 一題多變是對題中的條件、問題、情節(jié)作各種擴縮、順逆、對比或敘述形式的變化，讓學生在各種變化了的情境中，從各種不同角度理清問題間的邏輯關

11、系。采取步步變化深入，既發(fā)展了學生的探究思維能力，又綜合性地復習與鞏固了已學的有關知識，可取得較好的教學效果。對題中的條件、問題、情節(jié)作各種擴縮、順逆、對比或敘述形式的變化，讓學生在各種變化了的情境中，從各種不同角度認識數(shù)量關系。例如：在正方形ABCD中，M是AB邊上任意一點，MN垂直MD，MN=MD。(1)求證：BN平分CBE。(2)若將條件MN=MD變成結論，而BN平分 CBE變?yōu)闂l件是否成立？(3)若將MN垂直MD變成結論,而BE平分CBE變?yōu)闂l件,是否仍然成立?（二）一題多解是多角度地考慮同一個問題，找出各方法之間的關系和優(yōu)劣。在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思

12、考，探求不同的解題途徑。一題多解的訓練是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的一個好方法。也可以通過縱橫發(fā)散，使知識串聯(lián)、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。如：幾何課本上有一題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫斗圓，求所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積。思路1：因為陰影部分面積是相同的八個弓形面積之和組成。故利用扇形與三角形面積之差，就可求解。思路2：這個圖形里包含有正方形和半圓圖形，那么能不能利用這兩個圖形求陰影部分面積呢？容易發(fā)現(xiàn)正方形面積減去兩個半圓的面積等于兩個空隙的面積，再用正方形面積減去四個空隙面積即可得到所求的陰影部分面積。顯然，思路2思路1更廣一些。但是共同的思路是：都沒有離開基本

13、的幾何圖形去求解。沿著這個思路。我們還可以進一步啟發(fā)學生得到其它的求解方法（如一圓去兩空）。擴散思維可以是縱向的，也可以是橫向的，實際上我們在思考一個問題時，很難說是具體的運用了哪一種思維方向，而是全方位去想，去思考，即從擴散點向四面八方想開去。一題多解、多證就很好的體現(xiàn)了這種思維模式。再如:已知:在反比例函數(shù)Y=-4X-1上有一點P，在坐標軸上分別有兩個點，點A(0,2)和點B(2,0)，并且三角形PAB的面積為6，求點P的坐標.這到題有四個解,學生討論。點P有可能在第二和第四象限，學生很快想到這兩種可能。進而求解。充分調(diào)動學生的思維，橫向思維，還有縱向思維，開闊了思路，拓寬了視野。（三）一

14、題多問是利用一個題設多個結論來培養(yǎng)學生發(fā)散思維。提供某種數(shù)學情境，調(diào)度學生多方面的舊知、技能或經(jīng)驗，組織議論，引起思維火花的撞擊。“業(yè)精于勤”。只要我們在教學中運用以上各種解題方法培養(yǎng)學生，讓學生去理解各知識點之間的聯(lián)系，觸類旁通，使學生的思維時常處于多向、發(fā)散、開放狀態(tài)，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問題，從而使他們的思維上升到一個新的領域。例如：在學習弦切角定理時，可以從這樣一道智力題出發(fā)。例1：一張圓的烙餅，切三刀可分成幾塊？（注意，不可挪動烙餅）面對此題思維立刻會活躍起來，并探索出（圖）共有四種答案，第一種是四塊，第二種是六塊，第三種是五塊，第四種是七塊。每種答案的思維比前一種都深了一層。通過這道題研究

15、探索，應當認識到：有些問題的答案并不唯一，要分情況進行討論。為了深化，還可進一步思考：(1)最少切幾塊？最多切幾塊？為什么？(2)切成、塊，各有幾種方法？（為什么切塊時，只有一種？）(3)各種切法之間，有何聯(lián)系？（可以通過什么把它們貫串起來？）(4)用刀切西瓜會如何？在進行發(fā)散思維訓練時，不但要找準“發(fā)散點”，而且要能打破習慣的思維模式，發(fā)展思維的“求異”性。例2：試畫出平行四邊形的高（圖）圖二（）是習慣畫性，以為底畫高。從畫，并延長，得到（）。（）呢？是以為底畫高，通常我們認為這樣畫很別扭，但比（）的思維方式就新奇了一點，再引伸下去到（），無論從還是，向畫高，都必須延長。（四）一題多法和一法

16、多用是通過一題多種方法的訓練，使學生靈活掌握數(shù)學思想和方法，提高應變能力，大面積的提高發(fā)散思維能力。目的則是求得應用范圍的變化。條件開放型是利用一個結論多種題設，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。例如：解法發(fā)散類型題。為了搞好夏季防洪工作，要求必須在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果由乙隊單獨做，需超過期限3天；如果由甲隊單獨做，恰能如期完成?，F(xiàn)在由甲乙兩隊合作天后，余下的工作有乙隊單獨去做，恰好能在規(guī)定日期內(nèi)完成，求規(guī)定日期。(要求用三種解法)。做這道題時，我把學生分成三組進行討論，合作交流，尋求不同的解題方法。這三種方法，都有不同的思維角度，從不同的側面進行思考，得出的結論也不同。最后得出三種答案。(1)（）3（

17、）(2)(3)（五）一圖多問、一圖多變和一題多圖圖形發(fā)散習慣指對學生圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產(chǎn)生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三。觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，找出特殊與一般之間的關系。引導學生觀察同一事物時，要從不同的角度、不同的方面仔細地觀察，認識事物，理解知識，這樣既能提高學生思維的靈活性，又能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。例3：已知：ABC內(nèi)接于O，AB為直徑，CAE=B，求證：AE與O相切于點A。證明完畢后，我做了如下變化：如若（1）把“AB為直徑”改為“AB非直徑”，結論是否仍成立？并加以證明。（2）已知：等腰ABC內(nèi)接于O，AB

18、=AC、AEBC。求證：AE與O相切于點A。（3）已知：等腰ABC內(nèi)接于O，AB=AC，AE=AC，AE與O相切于點A。求證：AEBC。（4）已知：ABC內(nèi)接于O，AE與O相切于點A，AEBC。求證：ABC是等腰三角形。例4：多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2)180。課本用了從特殊到一般，由直觀到抽象的方式，找出了其中的規(guī)律（三角形個數(shù)，算出內(nèi)角和）從而推出公式（n-2)180（如圖四（1）。但這是以一個頂點為出發(fā)點向各項頂點引輔助線。這時，可移動這出發(fā)點P到邊上（2）、內(nèi)部（3）、外部（4）或多個出發(fā)點（5），甚至改變“方向”，先求外角和（6）或歸納地研究（7）等等，但注意適可而

19、止。通過適當變化幾何題目的已知或結論，可使學生的發(fā)散思維能力得到進一步加強。進行一次適當?shù)淖兪接柧?，學生就相當于做了一套“思維體操”。不僅能鞏固知識，開闊學生視野,還能活躍學生思維，提高學生的應變能力。三、在誘導變通中，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力變通是發(fā)散思維的顯著標志。要對問題實行變通，只有在擺脫習慣性思考方式的束縛，不受固定模式的制約以后才能實現(xiàn)。因此，在學生較好地掌握了一般方法后，要注意誘導學生離開原有思維軌道，從多方面思考問題，進行思維變通。當學生思維閉塞時，教師要善于調(diào)度原型幫助學生接通與有關舊知識和解題經(jīng)驗的聯(lián)系，作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，產(chǎn)生多種解決問題的設想。如對于下面的應

20、用題：王師傅做一批零件，8天做了這批零件的2/5，這樣，剩下的工作還要幾天可以完成？學生一般都能根據(jù)題意作出（1-2/5）（2/58）的習慣解答。此時，教師可作如下誘導：教師誘導性提問學生求異性解答： 完成這批零件需要多少天82/5-8或82/5（1-2/5）？ 已做零件數(shù)是剩下零件數(shù)2/5（1一2/5）的幾分之幾？ 剩下零件數(shù)是已做零件數(shù)（1-2/5）2/5的幾倍？ 能從題中數(shù)量間找出相等方程解法（略）關系嗎？ 從題中幾種量中能判斷出比例解法（略）比例關系嗎？通過這些誘導，能使學生自覺地從一個思維過程轉換到另一個思維過程，逐步形成在題中數(shù)量間自由往返調(diào)節(jié)的變通能力，這對于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維是

21、極為有益的。四、在鼓勵獨創(chuàng)中，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力心理學研究表明，創(chuàng)造性既非與生俱來，也不是少數(shù)尖子生所特有的。85%的創(chuàng)造性，只需要具有中等或中等以上的智力。老師在教學中要多表揚、少批評，讓學生建立自信，承認自我，同時鼓勵學生求新。訓練學生沿著新方向、新途徑去思考新問題，棄舊圖新、超越已知，尋求首創(chuàng)性的思維。（一） 發(fā)揮想象力德國著名的哲學家黑格爾說過：“創(chuàng)造性思維需要有豐富的想象?！币晃焕蠋熢谡n堂上給同學們出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處？”，要求同學們盡可能想得多一些，想得遠一些。馬上有的同學想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長城。有的同學想到古代人們把磚刻成建筑上的工藝品。有一位同學的

22、回答很有意思，他說磚可以用來打壞人。從發(fā)散性思維的角度來看，這位同學的回答應該得高分，因為他把磚和武器聯(lián)系在一起了。（二）淡化標準答案，鼓勵多向思維學習知識要不惟書、不惟上、不迷信老師和家長、不輕信他人。應倡導讓學生提出與教材、與老師不同的見解，鼓勵學生敢于和同學、和老師爭辯。單向思維大多是低水平的發(fā)散，多向思維才是高質(zhì)量的思維。只有在思維時盡可能多地給自己提一些“假如”、“假定”、“否則”之類的問題，才能強迫自己換另一個角度去思考，想自己或別人未想過的問題。老師在教學中要多表揚、少批評，讓學生建立自信，承認自我，同時鼓勵學生求新。訓練學生沿著新方向、新途徑去思考新問題，棄舊圖新、超越已知，尋求首創(chuàng)性的思維。培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性既要靠老師，也要靠家長。要善于從教學和生活中捕捉能激發(fā)學生創(chuàng)造欲望、為他們提供一個能充分發(fā)揮想象力的空間與契機，讓他們也有機會“異想天開”，心馳神往。要知道，奇思妙想是產(chǎn)生創(chuàng)造力的不竭源泉。在尋求“唯