1、22.2二次函數(shù)與一元二次方程,（第一課時(shí)）,1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況可由 確定。, 0,= 0, 0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,沒(méi)有實(shí)數(shù)根,b2- 4ac,活動(dòng)1,2、在式子h=50t-20t2中，如果h=15，那么 50t-20t2= ，如果h=20，那50t-20t2= ， 如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我 們可以求 的解。,15,20,0,方程,1復(fù)習(xí)知識(shí)，回顧方法,b2 4ac 0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,2導(dǎo)入新課,我們學(xué)習(xí)了一元一次方程kxb0(k0)和一次函數(shù) ykxb(k0)后，討論了它們之間的關(guān)系當(dāng)一次函數(shù)中的函數(shù)值y0

2、時(shí)，一次函數(shù)ykxb就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程kxb0，且一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元一次方程kxb0的解,現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了一元二次方程ax2bxc0(a0)和二次函數(shù)yax2bxc(a0)，它們之間是否也存在一定的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將探索有關(guān)問(wèn)題,問(wèn)題1:如圖,以 40 m /s的速度將小球沿與地面成 30度角的方向擊出時(shí),球的飛行路線是一條拋物線,如果不考慮空氣阻力,球的飛行高度 h (單位:m)與飛行時(shí)間 t (單位:s)之間具有關(guān)系:h= 20 t 5 t2 考慮下列問(wèn)題: (1)球的飛行高度能否達(dá)到 15 m ? 若能,需要多少時(shí)間? (2)球的飛行高度能否達(dá)到

3、 20 m ? 若能,需要多少時(shí)間? (3)球的飛行高度能否達(dá)到 20.5 m ? 若能,需要多少時(shí)間? (4)球從 飛出到落地 要用多少時(shí)間 ?,活動(dòng)2,h=0,0= 20 t 5 t2,3小組合作，類比探究,廣東省懷集縣懷城鎮(zhèn)城東初級(jí)中學(xué) 鄧秋煥,分析：由小球的飛行高度h與飛行時(shí)間t有 的函數(shù)關(guān)系，可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式 ，得關(guān)于t的一元二次方程.,解:(1)解方程 解之得: , . 當(dāng)球飛行_和_時(shí)，它的高度是_.,15,t1=1,1s,3s,t2=3,15m,(1)小球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？,廣東省懷集縣懷城鎮(zhèn)城東初級(jí)中學(xué) 鄧秋煥,（2）解方程

4、解之得： .當(dāng)球飛行_時(shí)，它的高度是_. （3）解方程 . 化簡(jiǎn)得： 0 因?yàn)?所以方程 實(shí)數(shù)根，也就是說(shuō)小球飛行高度 20.5.,20,t1=t2=2,2s,20m,20.5,t2-4t+4.1,(-4) 2-4x4.1,無(wú),達(dá)不到,(2)小球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？ (3)小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？,0，,廣東省懷集縣懷城鎮(zhèn)城東初級(jí)中學(xué) 鄧秋煥,（4）解方程 . 解之得： ， . 結(jié)合圖形，當(dāng)小球飛行_和_時(shí)，它的高度是_，即_時(shí)球從地面飛出，_時(shí)球落回地面.,0,0s,4s,0m,t1=0,t2=4,0s,4s,(4)小球從飛出到落地要用多少時(shí)

5、間？,解：（1）解方程15=20t-5t2 即： t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 當(dāng)球飛行1s和3s時(shí)，它的高度為15m。,（2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0 t1=t2=2 當(dāng)球飛行2s時(shí)，它的高度為20m。,（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0 因?yàn)?-4)2-44.10，所以方程無(wú)解， 球的飛行高度達(dá)不到20.5m。,（4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0 t1=0,t2=4 球的飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m。即 飛出到落地用了4s 。,你能結(jié)合圖形指出為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為15m嗎？,那么為什么只在一個(gè)

6、時(shí)間求得高度為20m呢？,那么為什么兩個(gè)時(shí)間球的高度為零呢？,那么從上面，二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時(shí)為一元二次方程?它們的關(guān)系如何?,一般地，當(dāng)y取定值時(shí)，二次函數(shù)為一元二次方程。,如：y=5時(shí)，則5=ax2+bx+c就是一個(gè)一元二次方程。,自由討論,二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）,從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切,一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c 深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0,例如，已知二次函數(shù)y = x24x的值為3，求自變量x的值， 可以求一元二次方程x24x=3的解（即x24x+3=0）,反過(guò)來(lái)，解方程x24x+3=0 又可 以看作已

7、知二次函數(shù) y = x24x+3 的值為0，求自變量x的值,下列二次函數(shù)的圖象與 x 軸有交點(diǎn)嗎? 若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo). （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x2 4x +1 （3） y = x2 x+ 2,令 y= 0，解一元二次方程的根,4思考探究，獲取新知,（1） y = 2x2x3,解：當(dāng) y = 0 時(shí)，,2x2x3 = 0,（2x3）（x1） = 0,x 1 = ，x 2 = 1,所以拋物線的圖象 與x 軸有交點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)。,y =a（xx1）（x x 1）,二次函數(shù)的交點(diǎn)式,y=ax2+bx+c 的圖象與x軸,有兩個(gè)交點(diǎn),ax2+bx+c = 0 的根,有兩個(gè)不相等實(shí)

8、數(shù)根,b2 4ac 0,所以有兩個(gè)x值使y=0,交點(diǎn)坐標(biāo)(-32,0),(1,0),（2） y = 4x2 4x +1,解：當(dāng) y = 0 時(shí)，,4x2 4x +1 = 0,（2x1）2 = 0,x 1 = x 2 =,所以拋物線與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)。,y=ax2+bx+c 的圖象與x軸,ax2+bx+c = 0 的根,有一個(gè)交點(diǎn),有一個(gè)實(shí)數(shù)根（兩個(gè)相同的根）,b2 4ac = 0,所以有一個(gè)x值使y=0,交點(diǎn)坐標(biāo)(12,0),（3） y = x2 x+ 2,解：當(dāng) y = 0 時(shí)，,x2 x+ 2 = 0,所以與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)。,因?yàn)椋?1）2412= 5 0,y=ax2+bx+c 的圖象

9、與x軸,ax2+bx+c = 0 的根,沒(méi)有交點(diǎn),沒(méi)有實(shí)數(shù)根,b2 4ac 0,是否所有的二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),都與相應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)有關(guān)，或者說(shuō)可以用根的判別式來(lái)判斷二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),所以沒(méi)有一個(gè)x值能使y=0,下列函數(shù)的圖像與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？ （1）y=x+x-2； （2）y=x-6x+9； （3）y=x-x+1,4思考探究，獲取新知,思考：,下列函數(shù)的圖像與x軸有公共點(diǎn)什么意思？,1、二次函數(shù)y = x2+x-2 , y = x2 - 6

10、x +9 , y = x2 x+ 1的圖象如圖所示。,問(wèn)題2,(1).每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？ (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有幾個(gè)根? 驗(yàn)證一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根嗎?,答：2個(gè)，1個(gè)，0個(gè),邊觀察邊思考,（3）一般地，二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么關(guān)系？,(3),二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?,(-2,0),(1,0),x1=-2,x2=1,(3,0),x1=x2=3,無(wú)交點(diǎn),無(wú)實(shí)根,拋物線y=ax2

11、+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程ax2+bx+c =0的根。,歸納,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1,x2 ,則拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(x1,0),(x2,0),二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（2）,確定二次函數(shù)圖象與 x 軸的位置關(guān)系 (二次函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)),解一元二次方程的根（一元二次方程根的個(gè)數(shù)）,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 有一個(gè)根（兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根） 沒(méi)有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)交點(diǎn) 沒(méi)有交點(diǎn),b2 4ac 0,b2 4ac = 0,b2 4ac 0,二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象和x軸交點(diǎn)的三種情況與一元二次方程根的關(guān)系,ax

12、2+bx+c = 0 的根,y=ax2+bx+c 的圖象與x軸,若拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸有交點(diǎn)，則_ 。,b2 4ac 0,0,=0,0,o,x,y, = b2 4ac,2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn),則b2-4ac的情況如何。,0,=0,0,o,x,y, = b2 4ac,與x軸有兩個(gè)不 同的交點(diǎn) （x1，0） （x2，0）,有兩個(gè)不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,與x軸有唯一個(gè) 交點(diǎn),有兩個(gè)相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,與x軸沒(méi)有 交點(diǎn),沒(méi)有實(shí)數(shù)根,b2-4ac0,x 軸有交點(diǎn)，,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,b2 4ac 0,（2）二次函數(shù)的圖象

13、與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共 點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象可知,（1）如果拋物線y=ax2+bx+c 與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x0，那么當(dāng)x =x0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此x = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一個(gè)根,廣東省懷集縣懷城鎮(zhèn)城東初級(jí)中學(xué) 鄧秋煥,已知拋物線 與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是 ,5運(yùn)用新知，深化理解,例1,2.若拋物線y=x-mx+1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是 。 3.求證：拋物線y=x+ax+a-2

14、與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。,5運(yùn)用新知，深化理解,例,1.不與x軸相交的拋物線是（ ） A. y = 2x2 3 B. y=2 x2 + 3 C. y= x2 3x D. y=2(x+1)2 3,2.若拋物線 y = ax2+bx+c= 0，當(dāng) a0，c0時(shí)，圖象與x軸交點(diǎn)情況是（ ） A. 無(wú)交點(diǎn) B. 只有一個(gè)交點(diǎn) C. 有兩個(gè)交點(diǎn) D. 不能確定,D,C,6運(yùn)用性質(zhì)，鞏固練習(xí),3. 如果關(guān)于x的一元二次方程 x22x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m=，此時(shí)拋物線 y=x22x+m與x軸有個(gè)交點(diǎn).,4.已知拋物線 y=x2 8x + c的頂點(diǎn)在 x軸上，則 c =.,1,1,16,5.若拋物線

15、y=x2 + bx+ c 的頂點(diǎn)在第一象限,則方程 x2 + bx+ c =0 的根的情況是.,b24ac 0,6.拋物線 y=2x23x5 與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn).,7.一元二次方程 3 x2+x10=0的兩個(gè)根是x1=2 ，x2=5/3，那么二次函數(shù) y= 3 x2+x10與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.,(0，5),(5/2，0) (1，0),(-2，0) (5/3，0),歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1,x2 ,則拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(x1,0),(x2,0).,8.已知拋物線y = ax2+bx+c的圖象如圖,則關(guān)于x的方程ax2 + bx +

16、c3 = 0根的情況是（ ） A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根 C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根,x,A,1.3,.,9.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值: 判斷方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c為常數(shù))一個(gè)解x的范圍是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,10. 已知拋物線 和直線 相交于點(diǎn)P(3，4m)。 （1）求這兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式； （2）當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線與直線相交，并求交點(diǎn)坐標(biāo)。,解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（3，4m）在直線 上，所以 ，解得m1 所以 ，P（3，4）。因?yàn)辄c(diǎn)P（3，4）在拋物線 上，所以有41824k8 解得 k2 所以 （2）依題意，得 解這個(gè)方程組，得 所以拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（3，4），（1.5，2.5）。,7小結(jié)知識(shí)，梳理方法,1.拋物線y=ax+bx+c與一元二次方程ax+bx+c=0有何區(qū)別與聯(lián)系？ 2.