1、第二章 數(shù) 列,2.1數(shù)列的概念與簡單表示法,(1)人們在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為,(2)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思為：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完。如果將“一尺之棰”視為一份，那么每日剩下的部分依次為,1、考察下面的問題,1740，1823，1960，1989，2072，,問題創(chuàng)設(shè),古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家曾研究過三角形數(shù)：1，3，6，10，,類似地，1，4，9，16，25， 被稱為正方形數(shù)。,這些數(shù)有什么共同特點(diǎn)？,一、數(shù)列的概念：,按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,思考1：拿“1，2

2、，3”這三個(gè)數(shù)來排，能排出幾個(gè)數(shù)列？,例如：三角形數(shù) 1，3，6，10， 正方形數(shù) 1，4，9，16，,1，2，3 2，1，3 3，1，2 1，3，2 2，3，1 3，2，1,注意：每個(gè)數(shù)列中的數(shù)都有特定的順序，但不一定要有 特殊的規(guī)律.,一、數(shù)列的概念：,按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,注：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次 叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n項(xiàng).,我們常把數(shù)列的一般形式寫成 a1，a2，a3，an，. (nN*) 簡記作an 。,例如：若用an來表示“2，1，3”這個(gè)數(shù)列，則a2=_；,1,思考2：能不能把數(shù)列“2，1，3”記為2，1，3？,不行，2，1

3、，3是一個(gè)集合，集合中的元素是 沒有順序的,一、數(shù)列的概念：,按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,注：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次 叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n項(xiàng).,我們常把數(shù)列的一般形式寫成 a1，a2，a3，an，. (nN*) 簡記作an 。,思考3：an 與an的意思一樣嗎？ an表示一個(gè)數(shù)列：a1，a2，a3，an，. an表示數(shù)列an中的第n項(xiàng),各項(xiàng)都相等的數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)， 有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列,二、數(shù)列的分類： 1、以項(xiàng)數(shù)來分類： （1）有窮數(shù)列： （2）無窮數(shù)列： 2、以各項(xiàng)的大小關(guān)系來分類： （1）遞增數(shù)列： （2）遞

4、減數(shù)列： （3）常 數(shù) 列： （4）擺動(dòng)數(shù)列：,項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列,對(duì)任意nN*，總有an+1an (或an+1-an0),對(duì)任意nN*，總有an+1an (或an+1-an0),從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列,思考：觀察下列數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并猜想 這些數(shù)列的第n項(xiàng)an是什么？ （1）1 ， ，9，16，25， ，49， ； （2）2，4， ，16，32， ，128， ； （3）1，-1，1 ， ，1，-1 ， ，-1， ；,4,36,8,64,-1,1,1 = 2,2 = 2 ,3 = (1) +1 或 = (1)

5、1,三、數(shù)列的通項(xiàng)公式：,如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以 用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式，簡稱通項(xiàng)。,例如：an=n2 就是數(shù)列1，4，9，16，的一個(gè)通項(xiàng)公式,注意：通項(xiàng)公式的主要作用是“知序號(hào)可求項(xiàng)” 如：數(shù)列n2的第11項(xiàng)是_ 一些數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的； 如：數(shù)列1，-1，1，-1， 不是每一個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式。 如：1，24，8，3，19,121,例1、試寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別 是下列各數(shù)：,變題：4，6，8，10,變題：-3，-1，1，3,（1）2，4，6，8； （2）1，3，5，7；,an=2n,an=2n

6、+2,an=2n-1,an=2n-5,變題：5，55，555，5555,（4）9，99，999，9999；, , , , , = + , = , = ( ),（1）-2，2，-2，2； , , ,- （3）2，0，2，0；,拓展、試寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng) 分別是下列各數(shù)：,練習(xí)：課本P31第1，4題,an= () ,an= () + ,an= () + +,小結(jié),觀察法求通項(xiàng)公式：,（1)常見數(shù)列：正整數(shù)列；奇數(shù)列，偶數(shù)列，平方數(shù)列，三角形數(shù)列，,（2) 分?jǐn)?shù)列：觀察分子、分母的特點(diǎn)。,（3) 指數(shù)數(shù)列：觀察底數(shù)、指數(shù)的特點(diǎn)。,（4) 各項(xiàng)符號(hào)一正一負(fù)：,() 或 () +,

7、例1、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=-n2+4n-1， （1）寫出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)； （2）你能判斷出這個(gè)數(shù)列哪一項(xiàng)最大嗎？為什么？,注意：an=-n2+4n-1可看成以n為自變量的一個(gè)函數(shù),（2）an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3 當(dāng)n=2時(shí)，an取到最大值3,思考：上述數(shù)列的通項(xiàng)an=-n2+4n-1與函數(shù)f (x)= -x2+4x-1 有什么不同？,(3) -13是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎？,遞增數(shù)列： 遞減數(shù)列：,對(duì)任意nN*，總有an+1an (或an+1-an0),對(duì)任意nN*，總有an+1an (或an+1-an0),例2、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+n，其中nN*，

8、求證an是個(gè)遞增數(shù)列。,證明：對(duì)任意nN*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n) =2n+20 an是個(gè)遞增數(shù)列,四、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：,從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N* （或它的有限子集1，2，n）為定義域的函數(shù) an=f (n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)， 所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.,數(shù)列的其他表示方法：,如：數(shù)列2，4，6，2n，,列表法，圖象法,例4、下圖中的三角形稱為謝賓斯基三角形，在下圖4個(gè) 三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo) 系中畫出它的圖象.,（1）,（2）,（3）,（4）, = ,

9、 = ,思考：如果一個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng) 都等于它的前一項(xiàng)的2倍再加1，即 an=2an-1+1(n2) 則該數(shù)列的第5項(xiàng)是什么？,已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任意一項(xiàng) an與前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式 來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式,練習(xí)：試寫出數(shù)列1，3，6，10，的一個(gè)遞推公式。,練習(xí)：寫出下列數(shù)列an的前5項(xiàng) （1）a1=5，an=an-1+3 (n2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n2)；,思考：你能否利用上面兩題的條件求出數(shù)列an的 通項(xiàng)公式？,（1）5，8，11，14，17 （2）2，4，8，16，32,總結(jié),檢測反饋,1.根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式填表：,21,69,12,2,基礎(chǔ)題組,2.下面對(duì)數(shù)列的理解有四種： 數(shù)列可以看成一個(gè)定義在 上的函數(shù)； 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的； 數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)； 數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的其中說法正確的序號(hào)是（ ） A B C D,C,3. 在數(shù)列1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x應(yīng)等