1、最新資料推薦函數(shù)圖像過定點(diǎn)的研究題 1：求證：拋物線 y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)歸納：第一步：對含有變系數(shù)的項(xiàng)集中；第二步：然后將這部分項(xiàng)分解因式，使其成為一個(gè)只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個(gè)只含x 和常數(shù)的因式之積的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一個(gè)關(guān)于自變量x 的方程 (這時(shí)系數(shù)如何變化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值 x0(定點(diǎn)的橫坐標(biāo) )，將它代入原函數(shù)式(也可以是其變式)，即得到一個(gè)y的值 y0(定點(diǎn)的縱坐標(biāo) )，于是，函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(x0， y0)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟題 2：（2

2、001 年北京市西城區(qū)中考題）無論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像總過的點(diǎn)是（）A.（ 1，3）B. （1，0）C.（ 1，3）D. （ 1，0）1最新資料推薦鞏固練習(xí)：1無論 m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（ 2 m） x+m的圖象總是過定點(diǎn)（）A （ 1， 3）B（1，0）C （ 1，3） D （ 1，0）2對于關(guān)于 x 的二次函數(shù) y=ax2（ 2a1）x1（a0），下列說法正確的有（）無論 a 取何值，此二次函數(shù)圖象與x 軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；無論 a 取何值，圖象必過兩定點(diǎn)，且兩定點(diǎn)之間的距離為；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)在 x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng)a 0 時(shí)，函數(shù)圖象截 x 軸所得的線

3、段長度必大于2A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)23. （2012?鼓樓區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx2mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著 m的變化，這個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_4某數(shù)學(xué)小組研究二次函救y=mx2 3mx+2（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_5（2009?宜賓縣一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c 滿足 b c=2，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是_6無論 m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2

4、（ 2 m） x+m的圖象總是過定點(diǎn)_7已知一個(gè)二次函數(shù)具有性質(zhì)（1）圖象不經(jīng)過三、四象限； （ 2）點(diǎn)（ 2，1）在函數(shù)的圖象上；（3）當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而增大試寫出一個(gè)滿足以上性質(zhì)的二次函數(shù)解析式：_8. 證明無論 m為何值，函數(shù)y=mx-（4m-3) 圖像過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)2最新資料推薦9.（南京 2011 年 24 題 7 分）已知函數(shù) y=mx26x1（m 是常數(shù)）求證：不論 m 為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y 軸上的一個(gè)定點(diǎn)；若該函數(shù)的圖象與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m 的值10已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0， nm），其頂點(diǎn)恰好

5、在直線 y=x+ 1 （1m）上（其中 m、n 為正數(shù)）2（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；（2）在 x 軸上是否存在這樣的定點(diǎn)：不論 m、n 如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由3最新資料推薦4最新資料推薦函數(shù)圖像過定點(diǎn)的研究題 1：求證拋物線 y(3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)審題視角有些函數(shù)的圖象具有過定點(diǎn)的性質(zhì)，這是由函數(shù)式中的一些系數(shù)的取值特點(diǎn)所決定的，例如，直線 ykx b(k 0) ，當(dāng) b 確定時(shí)，無論 k 取不等于 0 的任何值，它總過定點(diǎn) (0 ，b) ；物線線 ya

6、x2bx c(a 0) ，當(dāng) c 確定時(shí)，無論 a、b 取何值，它總過定點(diǎn) (o ，c) 本題中可以把函數(shù)解析式整理變形，使含字母 k 的項(xiàng)組合于一組，賦值為零，可以求的自變量的值，而后代入函數(shù)解析式，再求得相對應(yīng)的函數(shù)值，即得定點(diǎn)的坐標(biāo)解：整理拋物線的解析式，得y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1 3x2 2x 1kx2 kx2k 3x2 2x 1k(x2 x2)(k 3) ，上式中令 x2x20，得 x1 1， x22.將它們分別代入y3x22x 1 k(x 2x2) ，解得 y14，y2 7，把點(diǎn) ( 1，4) 、 (2 ，7) 分別代入 y3x22x1k(x 2x2) ，無論 k

7、 取何值，等式總成立，即點(diǎn) ( 1，4) 、 (2 ，7) 總在拋物線 y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 上，即拋物線 y(3 k)x 2(k 2)x 2k1(k 3) 過定點(diǎn) ( 1，4) 、(2 ， 7) 歸納：第一步：對含有變系數(shù)的項(xiàng)集中；第二步：然后將這部分項(xiàng)分解因式，使其成為一個(gè)只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個(gè)只含x 和常數(shù)的因式之積的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一個(gè)關(guān)于自變量x 的方程 (這時(shí)系數(shù)如何變化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值 x0(定點(diǎn)的橫坐標(biāo) )，將它代入原函數(shù)式(也可以是其變式)，即得到一個(gè)y的值 y0(定點(diǎn)的縱坐標(biāo) )，于是，

8、函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(x0， y0)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟題 2：（2001 年北京市西城區(qū)中考題）無論 m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像總過的點(diǎn)是（）A. （ 1，3）B. （1，0）C. （ 1， 3）D. （ 1，0）5最新資料推薦解法一、特殊值法依據(jù)：二次函數(shù)的圖像隨著 m的取值不同，它的位置也隨之變化，可見這是一個(gè)拋物線群。如果這個(gè)拋物線群恒過某定點(diǎn)，則該拋物線群中的某兩條特殊的拋物線也必過這一定點(diǎn)。解：任意給 m賦予兩個(gè)特殊值，不妨設(shè)m=0和 m=2。則函數(shù)解析式變?yōu)椋?。?lián)立方程組解得把中，無論 m為何值，等式總成立。所以，拋物線群中所有的拋物線恒經(jīng)過定點(diǎn)（

9、1，3）。故應(yīng)選 A。解法二、變換主元法依據(jù)：一元一次方程的解有三種情形：（ 1）當(dāng) a0 時(shí)，方程有惟一解：；（ 2）當(dāng) a=b=0 時(shí)，方程的解為全體實(shí)數(shù)；（ 3）當(dāng) a=0，b0 時(shí)，方程無解。這里所求定點(diǎn)坐標(biāo)與 m 的值無關(guān)，相當(dāng)于關(guān)于 m的一元一次方程 am=b（ a、 b 為含 x、 y 的代數(shù)式）中， a=b=0 時(shí)的情形。解：將其二次函數(shù)整理變形為：令所以，無論 m為何值時(shí)，（ 1，3）恒滿足式，故該二次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)（1，3）。故應(yīng)選 A。鞏固練習(xí)：1無論 m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（ 2m）x+m的圖象總是過定點(diǎn)（）A （ 1， 3）B（1，0）C （ 1，3） D

10、（ 1，0）6最新資料推薦2對于關(guān)于 x 的二次函數(shù) y=ax2（ 2a1）x1（a0），下列說法正確的有（）無論 a 取何值，此二次函數(shù)圖象與x 軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；無論 a 取何值，圖象必過兩定點(diǎn)，且兩定點(diǎn)之間的距離為；當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)在 x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)圖象截 x 軸所得的線段長度必大于2A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)23. （2012?鼓樓區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx2mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著 m的變化，這個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_4某數(shù)學(xué)小組研

11、究二次函救y=mx2 3mx+2（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_5（2009?宜賓縣一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c 滿足 b c=2，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是_6無論 m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（ 2 m） x+m的圖象總是過定點(diǎn)_7已知一個(gè)二次函數(shù)具有性質(zhì)（ 1）圖象不經(jīng)過三、四象限； （ 2）點(diǎn)（ 2，1）在函數(shù)的圖象上；（3）當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而增大試寫出一個(gè)滿足以上性質(zhì)的二次函數(shù)解析式： _ 8. 證明無論 m為何值，函數(shù) y=m

12、x-（4m-3) 圖像過定點(diǎn)，求出 該定點(diǎn)坐標(biāo)9. 已知函數(shù) y=mx2 6x1（ m 是常數(shù)）求證：不論 m 為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y 軸上的一個(gè)定點(diǎn)；若該函數(shù)的圖象與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m 的值解：當(dāng) x=0 時(shí)， y1所以不論 m 為何值，函數(shù) ymx26x 1 的圖象經(jīng)過 y 軸上的一個(gè)定點(diǎn)（0， 1）當(dāng) m0時(shí)，函數(shù) y6x1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) m0 時(shí)，若函數(shù) y mx26x1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx26x 1 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 (6)24m0 ， m9 綜上，若函數(shù)ymx26x1的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則 m 的值為091

13、1已知二次函數(shù)的或 7最新資料推薦10. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0，n m），其頂點(diǎn)恰好在直線y=x+ （ 1m）上（其中 m、n 為正數(shù)）（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；（2）在 x 軸上是否存在這樣的定點(diǎn)：不論m、n 如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由分析：（ 1）把二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入代入y=x+（ 1 m）得+（ 1 m）=，整理后利用因式分解得到（ m n）（m+1 ） =0，則 m=n 或 m= 1（舍去），于是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0， 0），由 m 為正數(shù)可判斷二

14、次函數(shù)的頂點(diǎn)在第四象限，而拋物線過原點(diǎn)，所以拋物線開口向上，由此得到此二次函數(shù)的圖象與x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；（ 2）由（ 1）得到拋物線的對稱軸為直線x= ，拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 0），利用對稱性得到拋物線與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 0）（ 1）證明：把（，）代入 y=x+（1 m）得+（ 1 m） =，整理得 m2 mn+m n=0，（ m n）（ m+1） =0， m=n 或 m= 1（舍去），二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0， 0）， m 為正數(shù)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第四象限，而拋物線過原點(diǎn)，拋物線開口向上，此二次函數(shù)的圖象與x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；（ 2）解：存在拋物線的對稱軸為直線 x= ，拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，0），拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 0），即不論 m、 n 如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過點(diǎn)（1， 0）和（ 0， 0）反思： 本題考查了拋物線與 x 軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c （ a， b， c 是