1、矩陣,矩陣是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對(duì)矩陣的理解與掌握要扎實(shí)深入。,理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩 陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，以及它們的性質(zhì)。 掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律， 了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概 念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件， 理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣 的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，正 確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩 和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運(yùn)算。必須會(huì)解矩陣 方程。,總復(fù)習(xí),概念,特殊矩陣

2、,mn個(gè)數(shù)aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n),構(gòu)成的數(shù)表,單位矩陣: 主對(duì)角線元素都是1,其余元素都是零的 n 階方陣 E,對(duì)角矩陣:主對(duì)角元素是 其余元素都是零的n階方陣 ,對(duì)稱矩陣:,一、矩陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,AT = A,反對(duì)稱矩陣: AT = A,矩陣,運(yùn)算,A+B = ( aij + bij),kA= ( kaij ),AB = C 其中,A與B同型,的第 i 行是 A 的第 i 列.,|A|= detA, A必須是方陣.,伴隨矩陣,n 階行列式的 |A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣,AT: AT,逆矩陣,概念,求法,證法,如果AB=BA=E,則A可逆， B是A的逆

3、矩陣.,用定義,用伴隨矩陣,分塊對(duì)角矩陣,|A| 0 , A可逆 .,|A| = 0 , A不可逆 .,AB = E , A與B互逆.,反證法.,二、重要定理,1、設(shè)A、B是n階矩陣，則|AB|=|A|B|。,2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。,3、n階矩陣A可逆 |A| 0 R(A)=n A為滿秩矩陣。,4、若AB = E( 或BA =E ), 則B = A-1 。,5、若A為對(duì)稱矩陣，則AT A 。,6、若A為反對(duì)稱矩陣，則ATA 。,三、重要公式、法則。,1、矩陣的加法與數(shù)乘,A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O =

4、O + A = A; A + (A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。,2、矩陣的乘法 (AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.,3、矩陣的轉(zhuǎn)置 (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.,4、矩陣的逆 (A-1)-1

5、= A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ; (3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .,5、伴隨矩陣 AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ; (3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .,6、n階方陣的行列式 |AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ; (3) |AB| = |A|B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ; (5) |A*| = |A|n-1 .,四、典型例題,1、方陣的冪運(yùn)算,2、求逆矩陣,3、解矩陣方程,4、

6、A*題,方陣的行列式,行列式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)學(xué)中有較多的 應(yīng)用。,應(yīng)當(dāng)在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練地計(jì)算3階、4階行列式，也要會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。還要會(huì)運(yùn)用行列式求解n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的n元一次線性方程組。,計(jì)算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通 過降階來實(shí)現(xiàn)，但在展開之前往往先運(yùn)用行列式的性質(zhì)， 對(duì)行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡(jiǎn) 化計(jì)算。要熟練運(yùn)用計(jì)算行列式的典型的計(jì)算方法和計(jì)算 技巧。,一、行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖,概念,排列,行列式,逆序，奇排列，偶排列,一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和., D = DT 互換行列式

7、的兩行(列)，行列式變號(hào)。 某行有公因子可以提到行列式的外面。 若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個(gè)行列式. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。,行列式知識(shí)點(diǎn),性質(zhì),展開,計(jì)算,行展開,列展開,定義法 遞推法 加邊法 數(shù)學(xué)歸納法 公式法 拆項(xiàng)法 乘積法,齊次線性方程組有非零解的充要條件,克拉默法則,應(yīng)用,二、主要定理,1、行列式的展開定理。,= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n ),= a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj,2、行列式展開定理的推論。,ai1 Aj1 + ai2Aj2 + +

8、ainAjn = 0 ( i j ),a1jA1k+ a2jA2k + + anjAnk = 0 ( j k ),3、非齊次線性方程組克拉默法則。,其中Dj ( j = 1,2,n )是把系數(shù)行列式D 中的第j 列的元素用 方程組的常數(shù)項(xiàng)替換后得到的n階行列式。,的系數(shù)行列式D 0 ， 原方程組有惟一解,4、齊次線性方程組的克拉默法則。,若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為 零。,三、重要公式,四、典型例題,1、34階的行列式,2、簡(jiǎn)單的n階行列式,3、用公式,可逆矩陣與初等變換,矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鸬搅耸种匾?/p>

9、作用。,熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和 等價(jià)矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。,一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,矩陣的初等變換與線性方程組,矩陣的初等變換,初 等 方 陣,矩 陣 的 秩,線 性 方 程 組,矩 陣 的 初 等 變 換,概 念,1.對(duì)換矩陣的i, j兩行（列）.,2.用k0乘矩陣的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去.,性 質(zhì),1.初等變換不改變矩陣的秩.,2.對(duì)

10、A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價(jià)B.,用 途,求逆，,求矩陣A的秩、最簡(jiǎn)型、標(biāo)準(zhǔn)形.,求線性方程組的解.,初 等 方 陣,性 質(zhì),初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.,對(duì)Amn矩陣實(shí)施一次行初等變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的 m 階初等方陣；對(duì)A實(shí)施一次列初等變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的 n 階初等方陣.,任何可逆矩陣都可以表為若干個(gè)初等方陣的乘積.,概 念,對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.,三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等方陣.,矩 陣 的 秩,概 念,k階子式.,秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).,性 質(zhì),零矩陣的秩為零.,R(A)=R(AT),若B可逆，則R(AB

11、)=R(A).,R(A+B) R(A)+R(B),R(AB) minR(A), R(B),R(AB) R(A)+R(B)n,若AB=0, 則R(A)+R(B) n,線 性 方 程 組,有非零解 R(A)n.,求 解,1.化系數(shù)矩陣為最簡(jiǎn)形. 2.找等價(jià)的方程組. 3.寫通解.,有解 R(A)=R(B).,求 解,1.把增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)形. 2. 找等價(jià)的方程組. 3.寫通解.,二、重要定理,1、若A 與B等價(jià)，則R(A) = R(B).,2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結(jié)果就相當(dāng)于對(duì)A 作相應(yīng)的初等行（列）變換。,3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。,4、若A 與B等價(jià)，則存在可逆

12、矩陣P和Q,使PAQ = B.,5、若A可逆，則存在有限個(gè)初等方陣P1,P2,Pl,使 A P1P2Pl 。,6、n 元齊次線性方程組Amnx = 0 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A) n 。,7、n 元非齊次線性方程組Amnx = b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A) 等于增廣矩陣R(A，b) 的秩。,三、重要公式,1、矩陣的秩 R(A) = R(AT) ; R(A+B) R(A) + R(B) R(AB) min R(A) R(B) 若P、 Q可逆，則R(PA) = R(AQ) = R(PAQ)= R(A) R(A), k 0 , (5) R(kA) = 0 , k =

13、 0; A 0 (6) R = R(A) + R(B)。 0 B,2、用初等變換求逆,3、用初等行變換求A-1B,四、典型例題,1、用初等變換求逆和求秩。,2、用初等變換求解線性方程組。,3、用初等變換求A-1B。,向量組的線性相關(guān)性,向量組的線性相關(guān)性是代數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的概念，對(duì)討論線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu)起到了至關(guān)重要的作用。,本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深 刻理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，會(huì)用向量組 線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。了解向量組的 極大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無關(guān) 組和秩。了解向量組等價(jià)的概念，以及向量組的秩與矩陣

14、秩的關(guān)系。了解n 維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo) 等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，正確理解非齊 次線性方程組和它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān) 系，深刻理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間 的概念，熟練求解線性方程組的通解。,一、向量組的線性相關(guān)性主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性,n 維 向 量,運(yùn)算,線性表示,概念,判定,線性相關(guān),概念,判定,線性無關(guān),概念,判定,充要條件,充分條件,充要條件,充分條件,極大無關(guān)組,概念,求法,向 量 空 間,概念,向量空間的基,線 性 方 程 組,Ax = 0,初 等 行變換,階 梯 形,有解判定,總 有 解,R(A)

15、R(B)無解 R(A)=R(B)有解,R(A)=n僅有零解 R(A)n有非零解,解 的 結(jié) 構(gòu),基 礎(chǔ) 解 系,Ax = b,二、重要定理,1、線性無關(guān),（1）一個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是它不是零向量。,（2）兩個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們對(duì)應(yīng)的 分量不成比例。,（3）n 個(gè) n 維向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們所 構(gòu)成n階行列式不為零。,（4）若整組向量線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性 無關(guān)。,（5）若r 維的向量組線性無關(guān)，則在每個(gè)向量的后邊 都添上一個(gè)分量而得的向量組仍線性無關(guān)。,2、線性相關(guān),（1）一個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它是零向量。,（2）兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必

16、要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量成比例。,（3）n 個(gè)n 維向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的行列式等于零。,（4）向量組1，2，m 線性相關(guān)的充分必要條件是 該向量組中至少有一個(gè)向量能由其余的m1個(gè)向量線性表 示。,（5）若向量組1，2，r 線性相關(guān)，則向量組1， 2，r ， r+1，m 仍線性相關(guān)。,3、線性相關(guān)性與線性表示,（1）向量組1，2，m 線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣 A = (1，2，m)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m, 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A) = m。,（2）若向量組1，2，m 線性無關(guān)，而向量組 ， 1，2，m 線性相關(guān)，則能由1，2，m 線性表 示，且表示法是惟

17、一的。,（3）向量 能由向量組1，2，m 線性表示的充分必要條件是矩陣A = (1，2，m )的秩等于矩陣B=(1，2，m , )的秩。,4、向量組的秩,（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩（列秩），也等于它的行向量組的秩（行秩）。,（2）若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的 秩不大于向量組A的秩。,（3）等價(jià)的向量組的秩相同。,5、解空間,（1）n元齊次線性方程組Amn x = 0 的全體解所構(gòu)成的 集合S是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩 R(Amn ) = r 時(shí) ， 解空間S的維數(shù)為nr。,三、重要公式,1、向量組線性相關(guān)性證明,（1）公式 11 + 22 + + mm = 0,（2

18、）方法 定義法； 反證法； 用等價(jià)說法。,2、求向量組的秩及其極大無關(guān)組,（1）若求向量組的秩和向量組的極大無關(guān)組，將其向 量組寫成矩陣的形式，行向量組作初等列變換；列向量組 作初等行變換，使之變成階梯形矩陣，非零的列（行）的 數(shù)即是向量組的秩，而非零的列（行）的非零首元所在的 行（列）向量組即是該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。,3、方程組的通解,（1）齊次線性方程組Ax = O 的通解：,x = k11+ k22 + + kn-rn-r k1,k2,kn-r為任意常數(shù)。,（2）非齊次線性方程組Ax = b 的通解：,x = k11+ k22 + + kn-rn-r+* k1,k2,kn-r為任意常

19、數(shù)。,其中 1 ，2， n-r為Ax = O的基礎(chǔ)解系； *是Ax = b的一個(gè)特解。,四、典型例題,2、求解線性方程組、特別是帶有參數(shù)的方程組。,3、驗(yàn)證一組向量是某向量空間的基，把空間中的某 個(gè)向量用該組基線性表示。,1、求向量組的秩和其極大無關(guān)組,把不是無關(guān)組的向 量用極大無關(guān)組線性表示。,相似矩陣及二次型,特征值的問題在代數(shù)學(xué)中占有十分重要的位置。用它可以討論方陣相似對(duì)角化。進(jìn)而將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。,理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩 陣的特征值和特征向量。理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩 陣可相似對(duì)角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為相似對(duì) 角矩陣的方法。了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值

20、和特征向量的性 質(zhì)。掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了 解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī) 范形的概念以及慣性定理。掌握用正交變換化二次型為標(biāo) 準(zhǔn)的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。了解正定二次 型和所對(duì)應(yīng)的正定矩陣的性質(zhì)及判別法。,相似矩陣及二次型,向量的內(nèi)積,特征值與特征向量,二次型,一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,向量的內(nèi)積,定義：(x,y)=xiyi,性質(zhì),范數(shù): |x|=,正交: (x,y)=0,1. (x,y) = (y,x) 2. (x,y) = (x,y) 3. (x+y,z) = (x,z)+(y,z),向量的內(nèi)積,特征值與特征向量,特征值與特征向量,定義：A

21、x= x, x0,求法：,特征值,特征向量,相似,實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息,性質(zhì),1.定義法； 2.特征多項(xiàng)式法| E-A|.,1.定義法； 2. ( E-A)x=0的基礎(chǔ)解系法.,性質(zhì),性質(zhì),不同特征值的特征向量線性無關(guān),k 重特征值至多有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量,相似,相似,定義： P -1AP=B,可對(duì)角化,1. A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量； 2. R(A- kE)= n - k, k是A的k重特征值.,1. A有n個(gè)不同的特征值； 2. A是實(shí)對(duì)稱矩陣.,應(yīng)用,實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息,實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息,必可以對(duì)角化，且可用正交變換,不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交,特征值全為實(shí)數(shù),k重特征

22、值必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量,與對(duì)角矩陣合同,二次型,二次型,矩陣表示 f =x TAx,標(biāo)準(zhǔn)形,正定二次型,化標(biāo)準(zhǔn)形,正定矩陣,正定二次型及正定陣,正定二次型及正定陣,慣性定律,定義,充要條件,必要條件,二、重要方法,1、求特征值與特征向量,（1）由特征方程|AE|0，求出A的特征值 i （共n 個(gè)），再解齊次線性方程組（AiE）xO,其基礎(chǔ)解系就是i 所對(duì)應(yīng)的特征向量。,（2）用定義法Ax = x （適用于抽象的矩陣）。,2、判斷A能否對(duì)角化,若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必能對(duì)角化，這是充分條件。 對(duì)于一般的n階方陣A，判斷步驟如下：,（1）由特征方程|AE|0，求出A的特征值（共n 個(gè)），若A

23、的n個(gè)特征值各不相同，則A必能對(duì)角化。,（2）對(duì)于A的k重特征值k,求秩R(AkE) ，若其秩等于nk，則A可對(duì)角化。若秩R(AkE) nk，則A不可對(duì)角化。,3、求相似標(biāo)準(zhǔn)形的方法（可對(duì)角化的矩陣）,（1）求A的全部特征值1，2，n ;,（2）對(duì)每個(gè)特征值i 求（AiE）x0的基礎(chǔ)解系， 得出特征值i 所對(duì)應(yīng)特征向量pi;,（3）將求得的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)造可逆矩陣p, 令 p = (p1, p2, , pn) 則 p-1Ap = 。,4、用對(duì)角化求An,若A能對(duì)角化，則求出A的特征值與特征向量，由 p-1Ap = 得A =P P-1,從而An =P nP-1。其中，對(duì)角矩陣是由A的特

24、征值所構(gòu)成，可逆矩陣P由相應(yīng)的特征向量所構(gòu)成。,5、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,（1）寫出二次型的矩陣A； （2）求A的特征值、特征向量； （3）對(duì)于A的各不相同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng) 正交，只需單位化；對(duì)于A的k 重特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 是線性無關(guān)的，需用施密特正交化方法將這k個(gè)線性無關(guān)的 特征向量化成兩兩正交的單位向量； （4）用所求得的n 個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)造正交矩陣 P = (P1,P2,Pn) （5）令x = Py，則得標(biāo)準(zhǔn)形f = 1y1+ 2y2+ nyn。,6、二次型及矩陣正定的判別法,（1）用定義，x 0 ,總有xTAx 0,（2）用順序主子式全大于零；,（3）用

25、n個(gè)特征值全大于零；,（4）用正慣性指數(shù)p = n；,（5）存在可逆矩陣C，使A = CTC 。,三、典型例題,1、求方陣的特征值、特征向量。,2、方陣對(duì)角化。,3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。,4、二次型及矩陣正定性的判定。,線性空間,線性空間是線性代數(shù)中比較抽象的部分。概念的抽象性、理論的概括性固然增加了學(xué)習(xí)的難度，但是，只要掌握了抽象思維與論證的規(guī)律，我們就可以在更高的視點(diǎn)上觀察并解決某些理論與實(shí)際方面的問題。,它研究的內(nèi)容包括數(shù)及其運(yùn)算、多項(xiàng)式及其運(yùn)算、矩陣（向量）及其運(yùn)算等。研究的方法是針對(duì)每一種具體對(duì)象探索它們運(yùn)算所滿足的各種性質(zhì)，并用以解決本系統(tǒng)內(nèi)的相應(yīng)問題。,線性空間,基本性質(zhì),子空間,

26、一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,集合、數(shù)域、運(yùn)算律,常用結(jié)論,基底,維數(shù),基向量的個(gè)數(shù),基不惟一,n維空間中任意n個(gè)線性無關(guān)向量。,L(1，2，,s) =,定義,坐標(biāo)與坐標(biāo)變換,坐標(biāo)定義,向量與其坐標(biāo),過渡矩陣,坐標(biāo)變換公式,保持加法數(shù)乘關(guān)系,保持線性相關(guān) （或無關(guān)）的一致性,設(shè)V是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域.如果能定義一種V的元素間的運(yùn)算,叫做加法:對(duì)于V中任意兩個(gè)元素, ,都有V中惟一的元素 之對(duì)應(yīng); 稱為 與 的和,記為 = + .另外,還能定義一種數(shù)域F的數(shù)與集合V的元素間的運(yùn)算,叫做數(shù)乘:對(duì)于數(shù)域F中任一數(shù)k及集合V中任一元素 ,都有V中惟一的元素與之對(duì)應(yīng); 稱為k與的數(shù)積,記為= k.并且,集合V在以上兩種運(yùn)算下具有如下性質(zhì):對(duì)于任意, , V 及 k,l F,1) + = + ;,2)( + )+ = +( + );,3)V中存在零元素,通常記為0,對(duì)于任何,恒有 +0= ;,4) 對(duì)于V,都有的負(fù)元素V,使+ =0;,5) l = ;,6) k(l)=(kl )