1、1.5 信號(hào)的分解 為了便于研究信號(hào)的傳輸和處理問題，往往將信號(hào)為了便于研究信號(hào)的傳輸和處理問題，往往將信號(hào) 分解為一些簡(jiǎn)單分解為一些簡(jiǎn)單( (基本基本) )的信號(hào)之和，分解角度不同，的信號(hào)之和，分解角度不同， 可以分解為不同的分量可以分解為不同的分量 直流分量與交流分量直流分量與交流分量 偶分量與奇分量偶分量與奇分量 脈沖分量脈沖分量 實(shí)部分量與虛部分量實(shí)部分量與虛部分量 正交函數(shù)分量正交函數(shù)分量 利用分形理論描述信號(hào)利用分形理論描述信號(hào) )()()( DA tftftf 平均值。平均值。：信號(hào)的直流分量，即：信號(hào)的直流分量，即tfD Tt t ttf T tf 0 0 d)( 1 )( D

2、 信號(hào)的平均功率信號(hào)的平均功率 = = 信號(hào)的直流功率信號(hào)的直流功率 + + 交流功率交流功率 )(tf EE O ttt )( A tf)( D tf OO ttf T tfttftf T ttf T P Tt t Tt t Tt t d)( 1 )(d)()( 1 d)( 10 0 0 0 0 0 2 A 2 D 2 AD 2 一直流分量與交流分量一直流分量與交流分量 對(duì)任何對(duì)任何實(shí)實(shí)信號(hào)而言：信號(hào)而言： 信號(hào)的平均功率信號(hào)的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e : )( : )( )()()( ooee o e oe tftft

3、ftf tf tf tftftf 奇分量奇分量 偶分量偶分量 )()( 2 1 )( e tftftf )()( 2 1 )( o tftftf 二偶分量與奇分量二偶分量與奇分量 O t )(tf O t )( tf O t )( e tf O t )( o tf 例例 求求f(t)的奇分量和偶分量的奇分量和偶分量 tf t f O , t當(dāng)當(dāng) , f脈高：脈高： , 脈寬：脈寬： 1 1矩形窄脈沖序列矩形窄脈沖序列 此窄脈沖可表示為此窄脈沖可表示為 )()( tutuf )()( tutu存在區(qū)間：存在區(qū)間： 三脈沖分量三脈沖分量 出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，出現(xiàn)在不同時(shí)刻的， 不同強(qiáng)度的沖激函不同強(qiáng)

4、度的沖激函 數(shù)的和。數(shù)的和。 疊加疊加可表示為許多窄脈沖的可表示為許多窄脈沖的到到從從)(,tf ）tutu f ()( )( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所以所以 0 令令 t t tututu d )(d()( lim 0 ） ,d 2 2連續(xù)階躍信號(hào)之和連續(xù)階躍信號(hào)之和 0 11 1 1 d)( d )(d )()0()(tttu t tf tuftf 將信號(hào)分解為沖激信號(hào)疊加的方法應(yīng)用很廣將信號(hào)分解為沖激信號(hào)疊加的方法應(yīng)用很廣， 后面的卷積積分中將用到后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)可利用卷積積分求系統(tǒng) 的零狀態(tài)響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 tf 1 t

5、t1 t 0f 11 ttf 1 tf O 瞬時(shí)值為瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的信號(hào)可分解為實(shí)虛部?jī)刹糠种偷男盘?hào)可分解為實(shí)虛部?jī)刹糠种汀?即即 實(shí)際中產(chǎn)生的信號(hào)為實(shí)信號(hào)實(shí)際中產(chǎn)生的信號(hào)為實(shí)信號(hào)，可以借助于復(fù)信號(hào)來可以借助于復(fù)信號(hào)來 研究實(shí)信號(hào)研究實(shí)信號(hào)。 共軛復(fù)函數(shù)共軛復(fù)函數(shù) )(j)()( ir tftftf )(j)()( ir * tftftf )()( 2 1 )( * r tftftf )()( 2 1 )(j * i tftftf 四實(shí)部分量與虛部分量四實(shí)部分量與虛部分量 如果用正交函數(shù)集來表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成如果用正交函數(shù)集來表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成 信號(hào)的各分量就是相互正交的。把

6、信號(hào)分解為正交函信號(hào)的各分量就是相互正交的。把信號(hào)分解為正交函 數(shù)分量的研究方法在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位，數(shù)分量的研究方法在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位， 這將是本課程討論的主要課題。這將是本課程討論的主要課題。 我們將在第三章中開始學(xué)習(xí)。我們將在第三章中開始學(xué)習(xí)。 五正交函數(shù)分量五正交函數(shù)分量 分形幾何理論簡(jiǎn)稱分形理論或分?jǐn)?shù)維理論；分形幾何理論簡(jiǎn)稱分形理論或分?jǐn)?shù)維理論； 創(chuàng)始人為創(chuàng)始人為B.B.Mandelbrot; 分形是“其部分與整體有形似性的體系”；分形是“其部分與整體有形似性的體系”； 在信號(hào)傳輸與處理領(lǐng)域應(yīng)用分形技術(shù)的實(shí)例表現(xiàn)在在信號(hào)傳輸與處理領(lǐng)域應(yīng)用分形技術(shù)的實(shí)例表現(xiàn)在 以

7、下幾個(gè)方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語音合成、地震信以下幾個(gè)方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語音合成、地震信 號(hào)或石油探井信號(hào)分析、聲納或雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)、通號(hào)或石油探井信號(hào)分析、聲納或雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)、通 信網(wǎng)業(yè)務(wù)流量描述等。這些信號(hào)的共同特點(diǎn)都是具信網(wǎng)業(yè)務(wù)流量描述等。這些信號(hào)的共同特點(diǎn)都是具 有一定的自相似性，借助分性理論可提取信號(hào)特征，有一定的自相似性，借助分性理論可提取信號(hào)特征， 并利用一定的數(shù)學(xué)迭代方法大大簡(jiǎn)化信號(hào)的描述，并利用一定的數(shù)學(xué)迭代方法大大簡(jiǎn)化信號(hào)的描述， 或自動(dòng)生成某些具有自相似特征的信號(hào)?；蜃詣?dòng)生成某些具有自相似特征的信號(hào)。 可瀏覽網(wǎng)站： 六利用分六利用分形（fractal）理論描述信號(hào) 1.6 系

8、統(tǒng)模型及其分類 描述系統(tǒng)的基本單元方框圖描述系統(tǒng)的基本單元方框圖 系統(tǒng)的定義和表示系統(tǒng)的定義和表示 系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的分類 1.1.加法器加法器 2.2.乘法器乘法器 3.3.標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器） 4.4.微分器微分器 5.5.積分器積分器 6.6.延時(shí)器延時(shí)器 一信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算（基本元件一信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算（基本元件） 3.標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器） te tr a a )()(taetr 2.乘法器乘法器 te1 te2 tr tetetr 21 1.加法器加法器 te1 te2 tr tetetr 21 te1 te2 tr 注

9、意注意: : 與公式中的卷積符號(hào)相區(qū)別，沒有卷積器。與公式中的卷積符號(hào)相區(qū)別，沒有卷積器。 基本元件基本元件1 1 4.微分器微分器 te tr d d t te tr d )(d t ttetrd)()( 5.積分器積分器 te tr 6.延時(shí)器延時(shí)器 te tr te tr T tetr 基本元件基本元件2 2 例例 請(qǐng)用積分器畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng)請(qǐng)用積分器畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng) 的系統(tǒng)框圖。的系統(tǒng)框圖。 )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 te t te tr t tr t tr )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 te

10、t te tr t tr t tr 方程左端只保留輸出的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)方程左端只保留輸出的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 積分積分 n=2 次，使方程左端只剩下次，使方程左端只剩下r(t) 項(xiàng)項(xiàng) ttettettrttrtrd)(d)(d)(2d)(3)( 系統(tǒng)框圖如下頁：系統(tǒng)框圖如下頁： )(tr 3 2 )(te 系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖 系統(tǒng)：系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號(hào)的變換具有特定功能的總體，可以看作信號(hào)的變換 器、處理器。器、處理器。 系統(tǒng)模型：系統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。 系統(tǒng)的表示：系統(tǒng)的表示： 數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。

11、 系統(tǒng)圖：系統(tǒng)圖：形象地表示其功能。形象地表示其功能。 二系統(tǒng)的定義和表示二系統(tǒng)的定義和表示 混合系統(tǒng)混合系統(tǒng) 程程離散時(shí)間系統(tǒng)：差分方離散時(shí)間系統(tǒng)：差分方 程程連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：微分方連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：微分方 ：微分方程或差分方程：微分方程或差分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（記憶系統(tǒng)）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（記憶系統(tǒng)） ）：代數(shù)方程）：代數(shù)方程即時(shí)系統(tǒng)（非記憶系統(tǒng)即時(shí)系統(tǒng)（非記憶系統(tǒng) ),( : )( : zyxt t 偏微分方程偏微分方程分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng) 常微分方程常微分方程集總參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng) 三系統(tǒng)的分類三系統(tǒng)的分類 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng) 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 重點(diǎn)研究重點(diǎn)研究: 確定性信號(hào)作用下的集總參數(shù)線性時(shí)不

12、變系統(tǒng)確定性信號(hào)作用下的集總參數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng) 。 不可逆系統(tǒng)不可逆系統(tǒng) 可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng) 非時(shí)變非時(shí)變 時(shí)變時(shí)變 非線性非線性 線性線性 若系統(tǒng)在不同的激勵(lì)信號(hào)作用下產(chǎn)生不同若系統(tǒng)在不同的激勵(lì)信號(hào)作用下產(chǎn)生不同 的響應(yīng)，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。的響應(yīng)，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。 若系統(tǒng)在若系統(tǒng)在t0時(shí)刻的響應(yīng)只與時(shí)刻的響應(yīng)只與t = t0和和t t0時(shí)時(shí) 刻的輸入有關(guān)，否則，即為非因果系統(tǒng)。刻的輸入有關(guān)，否則，即為非因果系統(tǒng)。 1.7 線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性 因果

13、系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) )()()()( )()( )()( 2121 22 11 trtrtete trte trte tkrtketrte 指具有線性特性的系統(tǒng)。指具有線性特性的系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)： 線性線性:指均勻性，疊加性。指均勻性，疊加性。 疊加性：疊加性： 均勻性均勻性( (齊次性齊次性) )： 1.定義 一一線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) tete 2211 H trtr 2211 )()()()( 22112211 tttt rree H te2 tr 2 H )( 1 te tr 1 線性特性線性特性 先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算先線

14、性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算 若若 tfHCtfHCtfCtfCH 22112211 注意：注意：外加激勵(lì)與系統(tǒng)非零狀態(tài)單獨(dú)處理外加激勵(lì)與系統(tǒng)非零狀態(tài)單獨(dú)處理。 則系統(tǒng)則系統(tǒng) 是線性系統(tǒng)是線性系統(tǒng),否則是非線性系統(tǒng)。否則是非線性系統(tǒng)。 H 1 C 2 C tf1 tf2 tfC 11 tfC 22 tfCtfCH 2211 H H tf1 tf2 tfH 1 tfH 2 1 C 2 C tfHC 11 tfHC 22 tfHCtfHC 2211 H 2.2. 判斷方法判斷方法 判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)? 0 )(5)(10 d

15、 )(d ttetr t tr 分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有 均勻性和疊加性。可以證明：均勻性和疊加性?？梢宰C明： 所以所以此系統(tǒng)為此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。 請(qǐng)看下面證明過程請(qǐng)看下面證明過程 系統(tǒng)不滿足均勻性系統(tǒng)不滿足均勻性 系統(tǒng)不具有疊加性系統(tǒng)不具有疊加性 例例1 1 設(shè)信號(hào)設(shè)信號(hào)e(t)作用于系統(tǒng)，響應(yīng)為作用于系統(tǒng)，響應(yīng)為r(t) )1(0 )(5)(10 d )(d ttAetAr t tAr 原方程兩端乘原方程兩端乘A： )2(0 )(5)(10 d )(d ttAetr t tr A (1),(2)兩式矛盾兩式矛盾。故

16、此系統(tǒng)故此系統(tǒng)不滿足均勻性不滿足均勻性 當(dāng)當(dāng)Ae(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，作用于系統(tǒng)時(shí)，若此系統(tǒng)具有線性若此系統(tǒng)具有線性，則則 證明均勻性證明均勻性 )4(0510 d d )3(0510 d d 22 2 11 1 ttetr t tr ttetr t tr ) 5 (0510 d d 212121 ttetetrtrtrtr t )6(01010 d d 212121 ttetetrtrtrtr t (5)、(6)式矛盾，該系統(tǒng)為式矛盾，該系統(tǒng)為不具有疊加性不具有疊加性 假設(shè)有兩個(gè)輸入信號(hào)假設(shè)有兩個(gè)輸入信號(hào) 分別激勵(lì)系統(tǒng)，則由分別激勵(lì)系統(tǒng)，則由 所給微分方程式分別有：所給微分方程式分別有： )(

17、)( 21 tete及及 當(dāng)當(dāng) 同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，若該系統(tǒng)為線性同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，若該系統(tǒng)為線性 系統(tǒng)，應(yīng)有系統(tǒng)，應(yīng)有 )()( 21 tete (3)+(4)得得 證明疊加性證明疊加性 一個(gè)系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，在零初始條件下在零初始條件下，其輸出響應(yīng)與輸入信號(hào)其輸出響應(yīng)與輸入信號(hào) 施加于系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)施加于系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，稱為非時(shí)變系統(tǒng)稱為非時(shí)變系統(tǒng)，否則否則 稱為時(shí)變系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)。 認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí): : 電路分析上看電路分析上看: :元件的參數(shù)值是否隨時(shí)間而變?cè)膮?shù)值是否隨時(shí)間而變 從方程看從方程看: :系數(shù)是否隨時(shí)間而變系數(shù)是否隨時(shí)間而變 從輸入輸出關(guān)系看從輸入輸出關(guān)系看: :時(shí)不變

18、性時(shí)不變性 1.定義 二時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)二時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng) )(te )( 0 tte )(tr )( 0 ttr H )(te tt TOO )(tr t )( 0 tte O 0 tTt 0 t O )( 0 ttr 0 t 時(shí)不變性時(shí)不變性 先時(shí)移，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再時(shí)移先時(shí)移，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再時(shí)移 H tf tfH DE ty DE tf H tfH tf ty 若若 則系統(tǒng)則系統(tǒng) 是非時(shí)變系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng), ,否則是時(shí)變系統(tǒng)否則是時(shí)變系統(tǒng)。 tytfH H 2.2. 判斷方法判斷方法 例例2 2 判斷下列兩個(gè)系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng)。判斷下列兩個(gè)系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng)。 1.

19、系統(tǒng)的作用是對(duì)輸入信號(hào)作余弦運(yùn)算系統(tǒng)的作用是對(duì)輸入信號(hào)作余弦運(yùn)算。 )()()1( 0 0 ttete t 時(shí)移時(shí)移 0 )(cos)( 011 tttetr 經(jīng)過系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng) )(cos)()2(tete 經(jīng)過系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng) 所以所以此系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)此系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。 trtr 1211 0cos ttetr 系統(tǒng)系統(tǒng)1 1： 0cos tttetr 系統(tǒng)系統(tǒng)2 2： 0 )(cos)( 012 0 tttetr t時(shí)移時(shí)移 )()()1( 0 0 ttete t 時(shí)移時(shí)移 0cos)()( 021 ttttetr 經(jīng)過系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng) ttetecos)()()2( 經(jīng)過系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng) 0)c

20、os()()( 0022 0 tttttetr t 時(shí)移時(shí)移 此系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)此系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 )()( 2221 trtr 系統(tǒng)作用系統(tǒng)作用:輸入信號(hào)乘輸入信號(hào)乘cost 0cos tttetr系統(tǒng)系統(tǒng)2 2： 判斷系統(tǒng)是否為線性非時(shí)變系統(tǒng)判斷系統(tǒng)是否為線性非時(shí)變系統(tǒng)。 tftty 是否為線性系統(tǒng)？是否為線性系統(tǒng)？是否為時(shí)不變系統(tǒng)？是否為時(shí)不變系統(tǒng)？ 可見可見, ,先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再線性先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)先經(jīng)系統(tǒng)，再線性 運(yùn)算運(yùn)算, ,所以此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。所以此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 1 C 2 C tf1 tf2 tfC 11 tfC 22 tfCtfCt 2211 H H

21、tf1 tf2 tft 1 tft 2 1 C 2 C tftC 11 tftC 22 ttfCttfC 2211 H 例例3 3 H tf tft DE tft DE tf H tft tf 可見可見，時(shí)移時(shí)移、再經(jīng)系統(tǒng)再經(jīng)系統(tǒng) 經(jīng)系統(tǒng)經(jīng)系統(tǒng)、再時(shí)移再時(shí)移，所以所以 此系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)此系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。 是否為時(shí)不變系統(tǒng)呢？是否為時(shí)不變系統(tǒng)呢？ 線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微分特性線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微分特性、積分特性積分特性 利用線性證明利用線性證明，可可推廣推廣至高階至高階。 系統(tǒng)系統(tǒng) te tr 系統(tǒng)系統(tǒng) t te d d t tr d d 系統(tǒng)系統(tǒng) tte t d ttr t d 三線性時(shí)不變系統(tǒng)

22、的微分特性三線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性 1. 定義定義 因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號(hào)因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)時(shí)，才會(huì)出才會(huì)出 現(xiàn)輸出現(xiàn)輸出（響應(yīng)響應(yīng)）的系統(tǒng)的系統(tǒng)。也就是說也就是說，因果系統(tǒng)的輸出因果系統(tǒng)的輸出 （響應(yīng)響應(yīng)）不會(huì)出現(xiàn)在輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)在輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)以前的以前的時(shí)刻時(shí)刻。 系統(tǒng)的這種特性稱為系統(tǒng)的這種特性稱為因果特性因果特性。 符合因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)符合因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(非超前系統(tǒng)非超前系統(tǒng))。 輸出不超前于輸入輸出不超前于輸入 2.判斷方法 四四. .因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) )()()(tutete 0)(, 0 tet相當(dāng)于相當(dāng)于 表示為：表示為： 非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信 號(hào)的壓縮、擴(kuò)展，語音信號(hào)處理等。號(hào)的壓縮、擴(kuò)展，語音信號(hào)處理等。 若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度 等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。 t = 0接入系統(tǒng)