1、 4.5 用拉普拉斯變換法分析 電路、s域元件模型 主要內容 用拉氏變換法分析電路的步驟用拉氏變換法分析電路的步驟 微分方程的拉氏變換微分方程的拉氏變換 利用元件的利用元件的s域模型分析電路域模型分析電路 一. 用拉氏變換法分析電路的步驟 列列s域方程（可以從兩方面入手）域方程（可以從兩方面入手） 列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換；列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換； 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數方程。域模型建立代數方程。 求解求解s域方程。域方程。 )()(tfsF ，得到時域解答。，得到時域解答。 二微分方程的拉氏變換 )0()( d )(d fssF t tf L

2、)0()0()( )0(0 d )(d 2 2 2 fsfsFs ffssFs t tf L 我們采用我們采用0-系統(tǒng)求解系統(tǒng)求解瞬態(tài)瞬態(tài)電路，簡便起見，只要知電路，簡便起見，只要知 道道起始狀態(tài)起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)， 求出元件的求出元件的s域模型域模型。 。求求 已知已知 tvtv tE tE te RC , 0 0 )( )(te R C )(tvC )(tvR )(tiC 例例4 4- -5 5- -1 1 求起始狀態(tài)求起始狀態(tài)(1) EvC 0 0)2( t列方程列方程 換換等式兩邊取單邊拉氏變等式兩邊取單邊拉氏變 )3( ? t

3、vC求求 Etetv t tv RC C C )()( d )(d s E sVvssVRC CCC )()0()( （4）求反變換）求反變換 t tvC E O E RC s s E 1 21 0)( e2)( tEEtv RC t C 所以所以 ;0)(EEtvC充電到充電到的的從從 均可。均可。和和換路定則，采用換路定則，采用 符合符合和和時，其時，其在求在求 00 00 )(tvC RCS RCv s E sV C C 1 )0( )(所以所以 RC ss s RC E 1 1 求 ? tvR )()(d )(1 tetvt R tv C R t R 系統(tǒng)系統(tǒng)也可以采用也可以采用系統(tǒng)系

4、統(tǒng)求解時可以采用求解時可以采用 0 ,0 Evv RR 2)0(, 0)0(1 ）（ )()2(為變量列微分方程為變量列微分方程以以tvR 采用采用0 0- -系統(tǒng)系統(tǒng) 采用采用0 0+ +系統(tǒng)系統(tǒng) 兩種方法結果一致。兩種方法結果一致。 使用使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。系統(tǒng)使分析各過程簡化。 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 )()()e(tEutEut 因為因為 )(2 d )e(d tE t t 所以所以 EvssVsV RC RRR 2)0()()( 1 00 R v RC

5、 s E sVR 1 2 )( 所以所以 0 e2)( tEtv RC t R 所以所以 (3)對微分方程兩邊取拉氏變換對微分方程兩邊取拉氏變換 采用0-系統(tǒng) t tv R E2 O 采用0+系統(tǒng) EvR20 02)()( 1 EssVsV RC RR 0 d )(d t te 處理處理按按）此時）此時（ 03te (4)原方程取拉氏變換原方程取拉氏變換 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 三利用元件的s域模型分析電路 1.電路元件的s域模型 2.電路定理的推廣 線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。 ),()(sIti )()

6、(sVtv 0)(0)(:KCLsIti 0)(0)(:KVLsVtv 3.求響應的步驟 畫畫0- -等效電路，求起始狀態(tài)；等效電路，求起始狀態(tài)； 畫畫s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代數方程）；域方程（代數方程）； 解解s域方程，求出響應的拉氏變換域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或或I(s)； 拉氏反變換求拉氏反變換求v(t)或或i(t)。 電阻元件的s域模型 )()(sRIsV RR R sV sI R R )( )( 或或 R )(sVR )(sI R tRitv RR 電感元件的s域模型 )0()()( LLL LiLssIsV 利用電源轉換可以得到電流源形式的利用電源轉換

7、可以得到電流源形式的s域模型：域模型： )0( 1)( )( L L L i sLs sV sI sVL sI L Ls 0 L Li sI L Ls 0 1 L i s sVL t ti Ltv L L d d 電容元件的s域模型 )0( 11 )()( CCC v ssC sIsV 電流源形式：電流源形式： sC 1 0 1 C v s sIC sVC sIC sC 1 0 C Cv sVC t CC ti C tvd 1 )0()()( CCC CvssCVsI 求響應的步驟 畫畫0- -等效電路，求起始狀態(tài)；等效電路，求起始狀態(tài)； 畫畫s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代數方程

8、）；域方程（代數方程）； 解解s域方程，求出響應的拉氏變換域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或或I(s)； 拉氏反變換求拉氏反變換求v(t)或或i(t)。 例例4-5-2 ? 0 0 )( tvs tE tE te C 域模型求域模型求利用利用 已知已知 )(te R C )(tvC )(tiC )()()(tEutEute EvC ) 0( s E s E sC RsIC 1 )( 列列s域方程域方程: s E R sC 1 )(sVC )(sIC s E sC Rs E sIC 1 2 )( 所以所以 s E sC sIsV CC 1 )()( RC s E s E sVC 1 2 )(

9、0 e1)( tEtv RC t C t tvC E O E 結果同例結果同例4-5-1 例例4 4- -5 5- -3 3 波形求電流電源 閉合，接入直流時開關 ，為下圖所示電路起始狀態(tài) tiE t , S0 0 S L C R E ti Ls sC 1 R s E sI (1) V00A,00 CL vi起始狀態(tài)為起始狀態(tài)為 (2) 域等效模型域等效模型的的st0 (3) 列方程列方程 s E sI Cs sRIsLsI 1 解：解： 極點極點 s E sI Cs sRIsLsI 1 LC s L R s L E sC RLss E sI 1 1 1 2 ：極點極點 2, 1 pp LCR

10、 L R L p 1 22 2 1 LCR L R L p 1 22 2 2 故故 21 1 pspsL E sI 2121 111 pspsppL E 逆變換逆變換 tptp ppL E ti 21 ee 21 設設 LC L R1 , 2 0 則則 回路回路無損耗的無損耗的，第一種情況：第一種情況：LC0 LCQR 2 Q 0 0 回路，回路，的的較小，高較小，高即即第二種情況：第二種情況： 0 第三種情況第三種情況 ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低第四種情況第四種情況QR 0 2 0 2 2 2 0 2 1 p,p 回路回路無損耗的無損耗的，LC0 第一種情況：第一種情況： 01 j

11、p 02 jp tt L E ti 00 jj 0 ee j2 1 t L C E 0 sin 階躍信號對回路作用的結果產生不衰減的正弦振蕩。階躍信號對回路作用的結果產生不衰減的正弦振蕩。 第二種情況：第二種情況： LCQR 2 Q 0 0 回路，回路，的的較小，高較小，高即即 引入符號引入符號 2 0 d 所以所以 d j 0 2 d pj 1 d pj 2 tt d dd L E ti jj ee j2 1 t L E d t d sine 就越小，衰減越慢就越小，衰減越慢越小，越小，衰減振蕩，衰減振蕩，R L R , 2 第三種情況：第三種情況： 0 LC L R1 2 pp 21 表示

12、式為表示式為這時有重根的情況，這時有重根的情況， sI 2 1 sL E sI t L R t t L E L E ti 2 ee 生振蕩，是臨界情況生振蕩，是臨界情況越大，阻尼大，不能產越大，阻尼大，不能產R 第四種情況：第四種情況： ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低QR 0 t t t L E ti 2 0 2 2 0 2 eee 2 1 2 0 2 t L E t 2 0 2 2 0 2 sinhe 1 波形波形 Ot ti 0 0 0 0 4.6 系統(tǒng)函數(網絡函數)H(s) 系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數 LTI互聯網絡的系統(tǒng)函數互聯網絡的系統(tǒng)函數 并聯并聯 級聯級聯 反饋連接反饋連接 1.定

13、義 一系統(tǒng)函數 sHsEsR 響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比 )(th sH te sE tr sR )( )( )( sE sR sH 所以所以 thtetr )()(),()( teLsEtrLsR 其中其中 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時時當當 ,)()(tte )()(thtr )()(sHsR )()(sHthL 則則 2.H(s)的幾種情況 策動點函數：策動點函數：激勵與響應在同一端口時激勵與響應在同一端口時 策動點導納策動點導納 )( )( )( 1 1 sI sV sH 策動點阻抗策動點阻抗 單端口單端口 網絡網絡 sI1 sV1 1 1 雙端口雙端口 網絡網絡 sI1

14、 sV1 1 1 sI2 sV2 2 2 )( )( )( 1 2 sV sI sH 轉移導納轉移導納 )( )( )( 1 2 sI sV sH 轉移阻抗轉移阻抗 )( )( )( 1 2 sV sV sH 電壓比電壓比 )( )( )( 1 2 sI sI sH 電流比電流比 轉移函數：轉移函數：激勵和響應激勵和響應不不在同一端口在同一端口 4.應用：求系統(tǒng)的響應 3求H(s)的方法 )()()()()(thtetrthsH 方法一：方法一： )()()()(trsEsHsR 方法二：方法二： sHth sE sR sH sE sR sH 利用網絡的利用網絡的s域元件模型圖，列域元件模型圖

15、，列s域方程域方程 微分方程兩端取拉氏變換微分方程兩端取拉氏變換 二LTIS互聯的系統(tǒng)函數 ththth 21 )()()( 21 sHsHsH )()()( : 21 ththth 時域時域 )()()( : 21 sHsHsH 頻域頻域 sH1 sH2 sE sR sH1 sH2 sE sR 1LTI系統(tǒng)的并聯 2LTI系統(tǒng)的級聯 3LTI系統(tǒng)的反饋連接 )()()( 21 sEsEsE )()()( 22 sHsRsE )()()()( 21 sEsEsHsR )()()()( 211 sEsHsEsH )()()()()( 211 sRsHsHsEsH )()(1 )( )( )( )

16、( 21 1 sHsH sH sE sR sH 所以所以 sH1 sH2 sE sR sE1 sE2 4結論 在在s域可進行代數運算：域可進行代數運算： 。，可以求出整個系統(tǒng)的，可以求出整個系統(tǒng)的或或已知子系統(tǒng)的已知子系統(tǒng)的sHsHth ii )()( 。子系統(tǒng)的子系統(tǒng)的 ，也可以求出另一個，也可以求出另一個及部分系統(tǒng)的及部分系統(tǒng)的已知總的已知總的 )( )()( sH sHsH j i 例4-6-1 (1)在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換 )(6)(2)(6)(5)( 22 ssEsEssRssRsRs 2 4 2 2 2 )( ss s sE s

17、R sH則則 (2) 。和零狀態(tài)響應和零狀態(tài)響應，求系統(tǒng)的沖激響應，求系統(tǒng)的沖激響應 ，激勵為，激勵為已知系統(tǒng)已知系統(tǒng) )( )()()e1()( d )(d 6 d )(d 2)(6 d )(d 5 d )(d zs 2 2 2 2 trthtute t te t te tr t tr t tr t )()()( zs tethtr )()()( ZS sEsHsR 或或 因為因為 )1( 12 2 2 )( ZS ss s s s sR 1 2 2 6 )1)(2( )12(2 ssss s 所以所以 )(e6)(e2)( 2 ZS tututr tt 所以所以 )(e4)(2)( 2 tutth t 所以所以 例4-6-2 已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和 描述此系統(tǒng)的微分方程。描述此系統(tǒng)的微分方程。 3 1 3 1 1 1 s s s sH 3 1 ssE sR sH sEsRssR 3)()(3 d )(d tetr t tr 所以所以 sE sR s 1 3 例4-6-3 sV1 1 s1s1 1 sI1 sI2 sI 3 。導納函數導納函數求下圖所示電路的轉移求下圖所示電路的轉移 )( )( )( 1 2 21 sV sI sY 解：解： sV