1、.線性代數(shù)練習題第四章向量組的線性相關性系專業(yè)班姓名學號第一節(jié)向量組及其線性組合第二節(jié)向量組的線性相關性一選擇題1 n 維向量1 ,2 , s( 10) 線性相關的充分必要條件是（ A ）對于任何一組不全為零的數(shù)組都有k11k2 2kss0（ B ）1 ,2 ,s 中任何 j ( js) 個向量線性相關（ C）設 A(1 ,2 ,s ) ，非齊次線性方程組 AXB 有唯一解（ D）設 A(1 ,2 ,s ) ， A 的行秩 s.2若向量組,線性無關，向量組, 線性相關，則（ A ）必可由,線性表示（ B）必不可由,線性表示（ C）必可由 , ,線性表示（ D）比不可由,線性表示二填空題：1 設

2、1(1,1,0)T ,2(0,1,1) T ,3(3,4,0)T則 12(1,0,1)T312 23(0,1,2)TDC2 設 3(1)2(2)5( 3) ，其中1(2,5,1,3)T ， 2 (10,1,5,10)T3 (4,1,1,1)T ，則(1,2,3,4) T3 已知1(1,1,2,1)T ,2(1,0,0,2)T,3( 1,4, 8, k )T 線性相關，則 k24 設 向 量 組1(a,0, c) ,2 (b, c,0) ,3(0, a, b) 線 性 無 關 ， 則 a, b, c 滿 足 關 系 式abc0.三計算題：1 設向量1,1,1T(1, 1,1)T ， 3 (1,1

3、,1)T ，(1, , 2 )T ，試問當1， 2為何值時（ 1）可由1 ,2 ,3 線性表示，且表示式是唯一？（ 2）可由1 ,2 ,3 線性表示，且表示式不唯一？（ 3）不能由1 , 2 , 3 線性表示？解因為11101112( 1, 2 , 3 , )111r1r3111111211101112rL02,00(3)(122 )111202,00(3)(122 )(1)0且3時, R( 1 ,2 , 3,)R(1, 2 ,3 )3,可由 1,2 , 3線性表示 ,且表達式唯一 ;(2)0時, R(1, 2 ,3 ,)R(1, 2 , 3 )13,可由 1,2 , 3線性表示 ,但表達式不

4、唯一;(3) 當3時, R( 1,2 ,3 ,)3R( 1,2 ,3 )2,不能由 1 , 2 ,3線性表示 .線性代數(shù)練習題第四章向量組的線性相關性系專業(yè)班姓名學號第三節(jié)向 量 組 的 秩一選擇題：1已知向量組1 , 2 ,3 ,4 線性無關，則下列向量組中線性無關的是C（ A ） 12 ,23 ,34 ,41（ B） 12 ,23 ,34 ,41（ C） 12 ,23 ,34 ,41（D ） 12 ,23 ,34 ,412設向量可由向量組1,2 , m 線性表示，但不能由向量組（）： 1 ,2 ,m 1 線性表示，記向量組（） ：1 ,2 ,m 1 ,，則B（ A ） m 不能由（）線性表

5、示，也不能由（）線性表示（ B ） m 不能由（）線性表示，但可由（）線性表示（ C） m 可由（）線性表示，也可由（）線性表示（ D） m 可由（）線性表示，但不可由（）線性表示3設 n 維向量組1 , 2 , , s 的秩為 3，則C（ A ）1 ,2,s 中任意 3 個向量線性無關（ B）1 , 2 ,s 中無零向量（ C）1 ,2,s 中任意 4 個向量線性相關（ D）1 , 2 ,s 中任意兩個向量線性無關4設 n 維向量組1 , 2 , , s 的秩為 r，則C（ A ）若 rs，則任何 n 維向量都可用1 ,2 ,s 線性表示（ B ）若 sn ，則任何 n 維向量都可用1 ,2

6、 ,s 線性表示（ C）若 rn ，則任何 n 維向量都可用1 ,2 ,s 線性表示（ D）若 sn ，則 rn二填空題：1已知向量組1(1,2, 1,1) ,2 已知向量組1(1,2,3,4) ，的秩為22( 2,0, t,0) ,3( 0, 4,5, 2) 的秩為 2，則 t =32(2,3,4,5) ，3(3,4,5,6) ， 4 ( 4,5,6,7)，則該向量組2 向量組1(a,3,1)則 a =2T ， 2(2,b,3)T ， 3(1,2,1) T ， 4( 2,3,1)T 的秩為 2，b =5.三計算題：1設1(3,1,1,5)T ，2(2,1,1,4)T ，3(1,2,1,3)T

7、 ，4(5,2,2,9)T ，(2,6,2, d ) T（ 1）試求1 ,2 , 3 , 4 的極大無關組（ 2） d 為何值時，可由1 ,2 ,3 ,4 的極大無關組線性表示，并寫出表達式32151112解：1 ,2 ,3 ,4 )11 2 2r1r 31 1 2 2(1) (111232155439543911121112r2r10 0 10r4r30 0 1 0r3 3 r1r3 ( 1)r55 r101210121012100001112r2r3012100100000因為 R(1,2 ,3 )3, 則 1 ,2 ,3線性無關，且412 .故 1 ,2 ,3為 1 ,2 ,3 ,4的一

8、個極大無關組 .321232121126r4r11 126r3 r 2r4 r2r4 r 3(2)r4r311121112543d001d10只有 d6時 R( 1, 2 , 3, ) R1 , 2 , 33,321211260014000d 6即可由 1 ,2 ,3 ,4的極大無關組1, 2 , 3表示 .321201041126r10020014001400000000所以= 214243 .3 已知 3 階矩陣 A ， 3 維向量 x 滿足 A3 x 3AxA2 x，且向量組 x, Ax, A2 x 線性無關。(1) 記 P ( x, Ax, A2 x) ,求 3 階矩陣 B ,使 AP

9、PB ;(2)求 | A |00解： Q Ax(x, Ax, A2 x)1, A2 x(x, Ax, A2 x)0010且 A3 x3AxA2 x( x, Ax, A2 x)31000AP A( x, Ax, A2 x)( Ax, A2 x, A3 x)( x, Ax, A2 x) 103(x, Ax, A2 x)B011又因向量組 x, Ax , A2 x 線性無關 ,故 P( x, Ax, A2 x) 可逆 .000000得 B P 1P 1 0 31 0 3 .011011(2) A PBP 1 , | A | | PBP 1 | | P | B | P 1 | | B |0 .線性代數(shù)

10、練習題第四章向量組的線性相關性系專業(yè)班姓名學號第五節(jié)向 量 空 間綜 合 練 習一選擇題：1設向量組1 , 2 ,3 線性無關，則下列向量組中，線性無關的是B, C（ A ） 12 , 23 , 31（B ） 12 , 23 , 12 2（ C） 1 2 2 ,2 23 3 ,3 31（ D） 123 ,2 13 222 3 ,3 15 25 32設矩陣 A m n 的秩 R (A)mn ， E m 為 m 階單位矩陣，下列結論中正確的是 B（ A ） A 的任意 m 個列向量必線性無關（B ） A 通過初等行變換，必可以化為（Em0）的形式（ C）A 的任意 m 階子式不等于零（ D）非齊次線性方程組 Axb 一定有無窮多組解二填空題：.1221設 A212，三維列向量(a,1,1) T ，已知 A與線性相關，則a =13042從 R 2 的基1111231，21到基1，22的過渡矩陣為2011三計算題：1111T331T206T1 設1， 21 ， 38 試用施密特正交化方法將向量組標準正交化。111T解：1112 ,1 T22 1, 1 12 222 3 , 1 3 ,2 T33 1, 1 12 , 2 21 11 11111111T|1 |22212222T|2 |43111