1、初三數(shù)學(xué)初三數(shù)學(xué)一元二次方程的解法及應(yīng)用一元二次方程的解法及應(yīng)用人教實(shí)驗(yàn)版人教實(shí)驗(yàn)版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 一元二次方程的解法及應(yīng)用 教學(xué)目的 使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握利用求根公式解一元二次方程的方法； 掌握一元二次方程因式分解解法的步驟； 明確這個解法的方程一邊必須是零； 理解由高次轉(zhuǎn)化為低次是解方程的思路之一。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用求根公式求一元二次方程的根的方法。用因式分解法解一元二次方程。 難點(diǎn)：含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法。 教學(xué)過程 一、公式法 一元二次方程 ax2bxc0(a0)中，b24ac，叫做根的判別式，通常用記號表示， bacbac 22

2、 44()注意不是 定理 1 方程有兩個不等實(shí)數(shù)根。axbxca 2 000()中， 定理 2 方程有兩個相等實(shí)數(shù)根。axbxca 2 000()中， 定理 3 方程沒有實(shí)數(shù)根。axbxca 2 000()中， 正用的作用是用已知方程的系數(shù)，來判斷根的情況。 反用的作用是已知方程根的情況，來確定系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出系數(shù)中某些字母 的值。 例 1. 解方程：x(x1)7(x1)2(x2)。 解：解：（1）先把方程化為一元二次方程的一般形式 x26x110。 （2）確認(rèn) a，b，c 的值 a1，b6，c11 （3）判斷 b24ac 的值 b24ac6241(11)800， （4）代入求根公式

3、因?yàn)閤 bbac a 2 4 2 64 5 2 所以 xx 12 32 532 5 ， 例 2. 解關(guān)于 x 的方程 x2mx2mx23x。 解：解：把原方程整理，化為 (1m)x2(m3)x20 因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù) 1m 是含字母 m 的式子，應(yīng)該分類討論： （1）當(dāng) 1m0，m1 時，式是一元二次方程，可代入求根公式。 a1m，bm3，c2，b24ac(m3)242(1m)(m1)20 x bbac a mm m x m x ， 2 12 4 2 31 2 1 2 1 1 ()() () （2）當(dāng) 1m0，m1 時，原方程為2x20，得 x1。 例 3. 不解方程，判斷下列方程的根的情況： （

4、1）2x211x50（2）322 6 2 xx （3）2x23x40（4）xx 2 3 33 5 （5）(x1)(x2)8（6） 3 2 1 2 2 2 xx （7）ax2bx0(a0)（8）ax2c0(a0) 解：解：（1）2x211x50 a2，b11，c5 b24ac(11)242(5)121401610 即0 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）322 6 2 xx 將方程整理為一般式：32 620 2 xx abc 32 62， bac 22 42 643224240() 即0 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 （3）2x23x40 a2，b3，c4 b24ac3242(4)932410 即0

5、方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （4）xx 2 3 33 5 將方程整理為一般式： xx abc 2 3 33 50 13 33 5 ， bac 22 43 3413 52712 50()() 即0 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （5）(x1)(x2)8 將方程化為一般式：x23x280 a1，b3，c10 b24ac(3)24110940310 即0 方程沒有實(shí)數(shù)根。 （6） 3 2 1 2 2 2 xx 將方程化為一般式； 3 2 2 2 10 2 xx abc 3 2 2 2 1， bac 22 4 2 2 4 3 2 1 1 2 2 30() 即0 方程沒有實(shí)數(shù)根 （7）ax2bx0(a0)

6、 此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零。 b24acb24a0b2 不論 b 取任何實(shí)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù) 0 方程有兩個實(shí)數(shù)根。 （8）ax2c0(a0) 此方程是缺少一次項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將一次項(xiàng)系數(shù)視為零。 b24ac04ac4ac 討論 a，c 的符號，才能確定判別式的符號： (a)當(dāng) a 與 c 異號時，4ac0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； (b)當(dāng) a 與 c 同號時，4ac0，方程沒有實(shí)數(shù)根； (c)當(dāng) c0 時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。 例 4. 關(guān)于 x 的方程 x2(2m1)x(m2)20。m 取什么值時， （1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？ （2）

7、方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根？ （3）方程沒有實(shí)數(shù)根？ 解：解：(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）當(dāng)，即時，原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；430mm 3 4 （2）當(dāng)時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；m 3 4 （3）當(dāng)時，原方程沒有實(shí)數(shù)根。m 3 4 例 5. 已知方程 2x2(k9)x(k23k4)0 有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求 k 值，并求出方 程的根。 解：解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€相等實(shí)數(shù)根，所以0 即(k9)28(k23k4)0，k218k818k224k320 化簡，得 k26k70，(k7)(k1)0 所以 k17，k1。 當(dāng) k7 時，原方程為 2x216x320，得 x1x24； 當(dāng)

8、k1 時，原方程為 2x28x80，得 x3x42。 例 6. a，b，c 是三角形的三條邊， 求證：關(guān)于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)xc20 沒有實(shí)數(shù)根 分析：分析：此題需證出0。已知條件中 a，b，c 是三角形的三邊，所以有 a0，b0，c0。還應(yīng)注意有一個隱含關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊” ， “任意兩邊之 差小于第三邊” 。 證明：證明：因?yàn)?b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判斷這個乘積是不是負(fù)的，應(yīng)審查每個因式的正、負(fù)) 因?yàn)?bca，即 bca0， 同理

9、 bca0，又 cab，即 bca0。 又 abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程沒有實(shí)數(shù)根。 二、因式分解法 例 1. 解方程：x23x 解：解：原方程變形為 x23x0 左邊分解因式， x(x3)0，x0 或 x30 xx 12 03， 例 2. 解方程：3x(x4)5(x4) 解：解：移項(xiàng) 3x(x4)5(x4)0 提取公因式(x4)得(x4)(3x5)0 得 x40 或 3x50 所以xx 12 4 5 3 ， 例 3. 解方程(2x1)270 解：解：原方程可變形為 ()()2172170 xx 21702170 xx 或 xx 12 1 2 17

10、1 2 17()()， 例 4. 解下列方程： （1）3x216x50；（2）3(2x21)7x 解：解：（1）方程左邊運(yùn)用十字相乘，得，所以。()()3150 xxxx 12 1 3 5， （2）原方程整理為 6x27x30。左邊分解因式，得(3x1)(2x3)0，所以， xx 12 1 3 3 2 ， 例 5. 解方程：2x27x30 解法一：解法一：配方法 2 7 2 3 2 0 7 2 3 2 0 22 ()xxxx， xx 222 7 2 7 4 7 4 3 2 0( )( ) ()xx 7 4 25 16 7 4 5 4 2 ， ，xx 12 3 1 2 解法二：解法二：公式法 x

11、 77423 22 75 4 2 () ，xx 12 3 1 2 解法三：解法三：分解因式法 ()()xxxx3 2103 1 2 12 ， 3 種方法，結(jié)果相同。 三、應(yīng)用題 例 1. 某印刷廠一月份印刷 50 萬冊書，三月份印刷 72 萬冊書，求月平均增長率是多少？ 解：解：設(shè)月平均增長率為 x。一月份印 50 萬冊，二月份的印刷數(shù)為 5050 x50（1x） ， 三月份的印刷數(shù)為 50（1x）50（1x）x50(1x)2 列方程 50(1x)272 (1x)21.44 1x1.2 x10.220，x22.2（不合題意舍去） 答：月平均增長率為 20。 例 2. 剪一塊面積是 150cm2

12、的長方形鐵片，使它的長比寬多 5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？ 解：解：設(shè)這塊鐵片寬 xcm，則長是(x5)cm。依題意，得 x(x5)150，即 x25x1500 ， x 5541150 2 525 2 2 () x110，x215(舍去) x10，x515 答：答：應(yīng)將之剪成長 15cm，寬 10cm 的形狀。 四、含有絕對值的一元二次方程 例 1. 方程 x|x|8|x|40 的實(shí)數(shù)根的個數(shù)是（ ） a. 1b. 2c. 3d. 4 解：解： 顯然 x0 不是方程的根。 當(dāng) x0 時，xx8x40。 x0 的任何實(shí)數(shù)不可能是方程的根。 當(dāng) x0 時，方程為 x28x40。 此方程兩根之積為40

13、，可見兩根為一正一負(fù)。又因 x0， 故負(fù)根舍去。所以方程只有一個實(shí)數(shù)根。應(yīng)選 a。 例 2. 求方程 x2|2x1|40 的實(shí)數(shù)根。 解：解：令得210 x x 1 2 顯然不是方程的解x 1 2 當(dāng)時，方程是x 1 2 xx 2 2140() 即xxxx 2 23031 ，解得或 x1 舍去，x3 當(dāng)時，方程是x 1 2 xx 2 1240() 即解得xx 2 250 ，x 16 舍去，x 16x 16 故方程的實(shí)數(shù)根是。xx 12 316 ， 【模擬試題模擬試題】 （答題時間：40 分鐘） 一、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 ；( ) 1220 2 xx( )2 2810 2 yy

14、；( ) 3 23 1 8 0 2 xx( )4 321 2 yy ；( ) 5 2510 2 xx( )62 530 2 xx ；( )7 3450 2 xx( )824 32 20 2 xx ；( ) .9 002003035 2 xx()()()10 12 33 13 2 xx 2. 解方程：(求根的近似值，精確到 0.01) （1）x23x70；（2）5x25x10 3. 解關(guān)于 x 的方程： （1）x22axb2a2 （2）x2m(3x2mn)n20 （3）(ab)x2(4a2b)x(b5a)0 （4）abx2(a2b2)xa2b20 二、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：

15、（1）x25x240； （2）12x2x60； （3）x24x1650； （4）2x223x560； （5）；92416412 2 xxx （6）；333 3 2 ()()xx （7）；xx 2 3260() （8）；()xx 25106 2 （9）t(t3)28； （10）(x1)(x3)15。 2. 用因式分解法解下列方程： （1）(y1)22y(y1)0； （2）(3x2)24(x3)2； （3）9(2x3)24(2x5)20； （4）(2y1)23(2y1)20。 三、根的判別式 1. 下列方程中，有兩個相等實(shí)數(shù)根的方程是（ ） a. 7x2x10b. 9x24(3x1) c. d.

16、xx 2 7150 3 2 2 2 10 2 xx 2. 若 a，b，c 互不相等，則方程(a2bc2)x22(abc)x30（ ） a. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根b. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 c. 沒有實(shí)數(shù)根d. 根的情況不確定 3. 不解方程，判別下列方程的根的情況： （1）2x24x350；（2）4m(m1)10； （3）；（4）；025 3 2 2 . xx400924 2 (.).yy （5）；（6） 1 2 23 2 xx25 1 5 2 tt() 4. 已知關(guān)于 x 的方程 x2(2m1)x(m2)20。m 取什么值時， （1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？ （2）方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根？

17、（3）方程沒有實(shí)數(shù)根？ 5. k 取什么值時，方程 4x2(k2)xk10 有兩個相等的實(shí)數(shù)根？并求出這時方程的 根。 6. 求證：關(guān)于 x 的方程 x2(2k1)xk10 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 【試題答案試題答案】 一. 公式法 1. ( ) 11313 12 xx ， ( )2 43 2 2 43 2 2 12 yy ， ；( ) 3 32 2 4 32 2 4 12 xx ， ；( )41 1 3 12 yy ， ；( ) 5 533 4 533 4 12 xx ， ；( )65252 12 xx ， (7)方程無實(shí)數(shù)根； ；( )862 262 2 12 xx ， (9)先在方程兩邊

18、同乘以 100，化為整數(shù)系數(shù)，再代入求根公式，；xx 12 5 7 2 ， 。()10313 12 xx， 2. （1）x14.54，x21.54； （2）x11.17，x20.17. 3. （1）x22ax(a2b2)0,(2a)24(a2b2)4b20 x1ab,x2ab （2）m24mn4n2(m2n)20，x12mn，x2mn。 （3）這個方程的二次項(xiàng)系數(shù)(ab)是含字母的式子，所以應(yīng)分 ab0 與 ab0 兩 種情況討論之。當(dāng) ab0，即 ab 時，這個方程是關(guān)于 x 的一元二次方程。 解得 xx ba ab 12 1 5 ， 當(dāng)時，原方程為，abab 0即axa 0 若 a0 時，

19、得 x1，若 a0，x 為任意實(shí)數(shù)。 （4）當(dāng) a0 且 b0 時，原方程為一元二次方程 解得。x ab a x ab b 12 ， 提示：(a2b2)24ab(a2b2)(2aba2b2)2 當(dāng) a0 且 b0 時，原方程為 b2xb20，x1 當(dāng) a0 且 b0 時，原方程為 a2xa20，x1 當(dāng) a0 且 b0 時，原方程為恒等式 二、因式分解 1. （1）；()()xxxx 83083 12 ， （2）；()()32 430 2 3 3 4 12 xxxx ， （3）；()()xxxx 151101511 12 ， （4）；()()2780 7 2 8 12 xxxx， （5）；()()92202 2 9 12 xxxx ， （6）；33 13303 93 3 12 ()()xxxx ， （7）；()()xxxx32032 12 ， （8）(x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25； （9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24； （10）x24x315，(x6)(x2)0，x16，x22。 2. （1）；()()yyyyy11201 1 3 12 ， （2）()()()()322332230 xxxx ()()5480 4 5 8 12 xxxx ， （3）3