1、回顧：一元函數(shù) y = f (x) 的極值概念：,總有,（1）極值是一個(gè)局部概念，它只是對極值點(diǎn)鄰 近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。,（2）（極值存在的必要條件）若 f (x) 在極值點(diǎn) 處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定為 0 ，反之不成立。,（3）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）,設(shè),存在，則有,（1）如果,（3）如果,，則,為 f ( x ) 的極小值；,（2）如果,，則,為 f ( x ) 的極大值；,，定理失效。,定義 ：設(shè) z = f ( x , y ) 的定義域?yàn)?D，,總有,總有,是 D 的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，,若存在點(diǎn) 的一個(gè)去心鄰域,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 ；,一、 多元函數(shù)的極值,例如 :,在點(diǎn) (0

2、,0) 有極小值;,在點(diǎn) (0,0) 有極大值;,在點(diǎn) (0,0) 無極值.,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) ；,同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個(gè)局部概念,極值點(diǎn)必是D 的內(nèi)點(diǎn) ；,結(jié)論：二元函數(shù)的極值點(diǎn)是其曲面在某個(gè)領(lǐng)域的最高（低）點(diǎn),問題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？,定理1 (必要條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0 ,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0 ,y0)有極值，則有：,證明: 如果取y=y0，則函數(shù)f(x,y0)是x的一元函數(shù),同理有,極值點(diǎn)的幾何意義： 若曲面z=f(x,y)在點(diǎn) 處有切平面，則切平面,使函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為0的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn).,成為平行于xo

3、y坐標(biāo)面的平面,說明：,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。,極值點(diǎn)也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。,極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生.,例如,有駐點(diǎn)( 0, 0 ),例：,解：,得駐點(diǎn),該函數(shù)無極值。,時(shí), 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,1) 當(dāng),A0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 沒有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),則f(x,y)在(x0 ,y0)處取得極值的條件如下：,問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？,求極值的步驟,第一步 解方程組,得一切駐點(diǎn);,例1.,求函數(shù)

4、,解: 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 求二階偏導(dǎo)數(shù)及判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,例2. 討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在點(diǎn)(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,解,例3,令,代入上式，解得駐點(diǎn)為,得,二、最值應(yīng)用問題,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f

5、在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點(diǎn),駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí),為極小 值,為最小 值,(大),(大),依據(jù),求可微函數(shù)最大值和最小值的一般方法：,（1）求函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)；,（2）求函數(shù)在 D 的邊界上的最大值和最小值；,（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的 最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。,在實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最 大或最小值存在且一定在 D 的內(nèi)部取得，而函數(shù)在 D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在 D 上的最大或 最小值點(diǎn)。,把它折起來做成,解: 設(shè)折

6、起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,解：,得唯一駐點(diǎn),（2）在 D 的邊界上,所以當(dāng),斷面的面積最大。,解,如圖,解：設(shè)箱子的長、寬、高分別為x、y、z, 容量為V， 則V=xyz, 設(shè)箱子的表面積為S， 則 S=2(xy+yz+zx),例6. 要造一個(gè)容量一定的長方形箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使用的材料最少？,解得唯一駐點(diǎn),根據(jù)實(shí)際問題可知S一定存在最小值 ，并一定在D 內(nèi)部取得，

7、所以當(dāng),S 取得最小值，此時(shí)用料最省。,解,由,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,例：求表面積為,解： 設(shè)長方體的長、寬、高分別為 x , y , z , 體積 為V , 則問題可描述為：,求體積,在約束條件,下的最大值,轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。,而體積為最大的長方體體積,(1) 若z=f(x,y)在 取得極值，則有,(2) 若在 的某一鄰域內(nèi)，f(x,y)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,由隱函數(shù)存在定理可知，

8、確定一個(gè)單值可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),所以，z=f(x,y)在 取得所求的極值，即相當(dāng)于函數(shù) 取得極值，由一元函數(shù)取得極值的必要條件,有,而 ，用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有,代入上式得：,(3) 令,由(1)、(2)、(3)式得:,此即在 取極值的必要條件,（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（Lagrange） ：,其中 為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子,（2）聯(lián)解方程組，求出問題的所有可能的極值點(diǎn)。,求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值。,（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。,拉格朗日乘數(shù)法：,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到

9、多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可能點(diǎn) .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,例8.,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？,的長方體開口水箱, 試問,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià),最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、

10、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,例9：在橢球面,上，求距離平面,的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。,解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn),則該點(diǎn)到平面的距離為,問題1：在約束條件,下，求距離d的最大最小值。,由于d 中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題：,（1）作拉格朗日函數(shù),（2）聯(lián)解方程組,求得兩個(gè)駐點(diǎn)：,對應(yīng)的距離為,問題2：在條件,下，求函數(shù),的最大最小值。,（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距 離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以,最近距離為,最遠(yuǎn)距離為,例10：求,在條件,解：,下的極值，,其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。,（

11、1）作拉格朗日函數(shù),（2）聯(lián)解方程組,由對稱性知，x = y = z ，,代入最后一個(gè)方程解得,這是唯一可能的極值點(diǎn),（3）判斷：,設(shè)條件,所確定的隱函數(shù)為,代入目標(biāo)函數(shù)中得,它有唯一駐點(diǎn) ( 3 a , 3 a ),經(jīng)計(jì)算可得,所以， ( 3a , 3a ) 是函數(shù) u = x y ( x , y ) 的極小值點(diǎn),從而原條件極值問題有極小值點(diǎn) ( 3a , 3a , 3a),對應(yīng)的極小值為,解,可得,即,例12 求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線C： 的最短距離。,解：設(shè)曲線C上點(diǎn)（x, y, z）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d，,解得,和,綜合上面討論可知只有兩個(gè)駐點(diǎn)，它們到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都是1，由實(shí)際問題一定有最短

12、距離，可知最短距離為1。,另外， 由于C為雙曲線，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到C的最大距離不存在。,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,設(shè)拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步 判別, 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小, 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),3. 函數(shù)的最值問題,在條件,求駐點(diǎn) .,提問,解答,已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓,圓周上求一點(diǎn) C, 使,ABC 面積 S最大.,解答提示:,設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí),則,設(shè)拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn),對應(yīng)面積,而,比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形,面積最大.,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn) 動(dòng)畫開始或暫停,備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最