1、12 求解NS方程的壓力修正方法,1、壓力修正的意義：對動量方程的離散形式進(jìn)行求解時，我們迭代的壓力場P*計(jì)算出來的速度場，未必可以滿足連續(xù)方程。所以我們要尋找一個改進(jìn)壓力估計(jì)值P*的方法，以使所得的帶*的速度場逐漸的滿足連續(xù)方程。 2、壓力修正方法的基本思想：在對NS方程的離散形式進(jìn)行迭代求解的任一層次上，可以給定一個壓力場，它可以是給定的或是上一層次計(jì)算出來的。但由它所計(jì)算出的速度場未必滿足連續(xù)性方程，所以要對壓力場進(jìn)行修正。 3、修正原則：與改進(jìn)后的壓力場相對應(yīng)的速度場能滿足這一迭代層次上的連續(xù)性方程，據(jù)此來導(dǎo)出壓力與速度修正值，并以修正后的壓力與速度開始下一層次的迭代計(jì)算。,4、壓力修

2、正法步驟： 1）假設(shè)一個壓力場p*。 2）利用p*，求解動量離散方程，得出相應(yīng)的u*,v*(不完善的速度場)。 3）改進(jìn)壓力場，要求與改進(jìn)后的壓力場相對應(yīng)的速度場能滿足連續(xù)性方程。即用p,u,v分別表示壓力與速度的修正量，稱之為壓力修正值（pressure correction）與速度修正量(velocity correction)。 4）以正確的壓力（p*+ p），及相應(yīng)的（u*+ u），（v*+ v）作為本層次的解，并據(jù)此開始下一層次的迭代計(jì)算。,引出兩個關(guān)鍵問題： 1、如何獲得壓力修正值p 以使與p相應(yīng)的u、v滿足連續(xù)性方程? 2、 獲得壓力修正值p后，如何確定u*,v*?,12.1 速

3、度修正值的計(jì)算公式 改進(jìn)后的壓力場和速度場滿足這一迭代層次上的動量離散方程：,因?yàn)閡*e是據(jù)p*從這一動量離散方程中導(dǎo)出的，因此也滿足 動量離散方程，雖可能不滿足連續(xù)性方程。,兩式相減得：,說明：任意點(diǎn)速度的改進(jìn)值ue由兩部分組成： 1) 該速度在同一方向上的相鄰兩節(jié)點(diǎn)間壓力修正值之差產(chǎn)生速度修正值的直接動力。 2) 由鄰點(diǎn)速度修正值所引起的，可視為是四周壓力的修正值對所討論位置上的速度改進(jìn)的間接影響。,為了簡化，忽略間接影響，相當(dāng)于假設(shè) anbue 中anb=0的。 得到速度修正方程：,或,類似可得,于是改進(jìn)后的速度為：,(1),12.2 求解壓力修正值的代數(shù)方程 壓力修正值p應(yīng)滿足的條件：

4、由p而改進(jìn)的速度場u、v能滿足 連續(xù)性方程。將式1代入連續(xù)性方程的離散格式即可獲得p的代數(shù)方程。,在時間間隔t內(nèi)對主控制體做積分，得：,將（1）代入并整理可得：,其中：,-壓力修正值的代數(shù)方程。,（2）,說明： 1）b項(xiàng)是按帶星號的速度取值的離散化連續(xù)性方程左側(cè)的負(fù)值。如b=0，說明該速度場已滿足連續(xù)性方程，不必對壓力進(jìn)一步進(jìn)行修正，p方程迭代已收斂，即由該壓力場求解的速度場定滿足二守恒方程； 2）可用各控制容積b值（不滿足連續(xù)性方程的剩余質(zhì)量的大?。┳鳛榕袛嗨俣葓鍪諗康呐袚?jù)。收斂速度與p的特定方程有關(guān)，如忽略項(xiàng)過多，會影響收斂速度。如b0，重新校正壓力場p后，再求b值，直至 b0時， p 壓

5、力場可使速度分布滿足連續(xù)性方程； 3）由p計(jì)算而得的u，v可使u、v能滿足連續(xù)性方程，以u，v作為本層次上的速度場的解，并用它去改進(jìn)動量離散化方程系數(shù)，開始進(jìn)行下一層次的迭代計(jì)算；,4）因求解的問題是非線性的，沒有必要在每一層次迭代上去獲得p真解，采用ADI方式對p場作3-5次掃描后即可停止迭代（初始令各點(diǎn)p=0）。 12.3 壓力修正值方程的邊界條件 工程流場計(jì)算中邊界條件一般有兩種。 1) 邊界上的壓力已知：則p=0 2) 邊界上的法向速度已知，設(shè)ue已知，則ue=0，則不必引入pE。,說明：不論是邊界壓力已知，還是法向速度已知，都沒有必要引入關(guān)于邊界上壓力修正值的信息。在計(jì)算中，可令與邊

6、界相鄰的主控制容積的p方程相應(yīng)的影響系數(shù)為零。 12.4 SIMPLE算法（Semi-Implicit Method for Pressuer Linked ）（解壓力耦合方程的半隱方法） SIMPLE法就是一種計(jì)算壓力修正的一種方法。 1、半隱含義：所謂半隱式是在公式中略去了某一項(xiàng)的處理方法。略去間接影響保留直接影響的稱為半隱式,全保留是全隱式,1）后部分是壓力修正對ue的直接影響；前一部分是壓力修正對ue的間接影響，忽略該項(xiàng)稱為半隱； 2）計(jì)算中若保留 anbunb項(xiàng)，則ue方程就是全隱的代數(shù)方程。勢必存在ue的相鄰點(diǎn)的壓力修正和速度修正，相鄰點(diǎn)又引入新的相鄰點(diǎn)，這樣使計(jì)算變復(fù)雜，無法進(jìn)行

7、逐點(diǎn)計(jì)算。但此項(xiàng)的忽略并不影響最終收斂解。,2、simple算法的計(jì)算步驟 1）假定一個速度分布，記為u0，v0，以此計(jì)算動量方程中的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。 （源項(xiàng)中壓力梯度無法求）,2）假定一個壓力場p*； 3）依次求解兩個動量方程，得u*,v*（初始場）； 4）求解壓力修正值方程，得p；（ u*滿足動量守恒但不滿足連續(xù)性方程） 5）據(jù)p改進(jìn)速度值；（以使新速度u滿足連續(xù)性方程但可能不滿足動量守恒） 6）利用改進(jìn)后的速度場（uu0，vv0）重新計(jì)算動量離散方程的系數(shù)及源項(xiàng)中有影響速度場耦合的變量，如果并不影響流場，應(yīng)在速度場收斂后再求解。 7）利用改進(jìn)后的壓力場（pp*）作為下一次迭代計(jì)算的初值。重

8、復(fù)上述步驟，直到得到收斂解（即滿足質(zhì)量方程b0，又滿足動量方程0）。,分析討論： 1）為什么在獲得壓力的改進(jìn)值p（p*+ p）后，不直接利用這一改進(jìn)值及u*,v*去開始下一層次的迭代，而還要計(jì)算這一層次的u，v？ 因u*,v*還不滿足這一層次的連續(xù)性方程，如果用它們?nèi)ゴ_定新的系數(shù)，開始下一層次迭代，會影響迭代的收斂速度，也會使ap = anb 的關(guān)系得不到保證。（注（Fe- Fw）項(xiàng)，會使代數(shù)方程組系數(shù)矩陣對角占優(yōu)的條件遭到破壞。） 2）如何獲得p的離散化方程？ 盲目試探壓力場p*是不明智的，如能找到一種調(diào)節(jié)壓力方法，即壓力修正p方程，壓力校正方程僅是起引向正確壓力場的一個中間算法，作用相當(dāng)于

9、一個負(fù)反饋器，對最終結(jié)果無直接影響，如推導(dǎo)p方程略去項(xiàng)太多，可能導(dǎo)致發(fā)散，起正反饋?zhàn)饔谩?12.5 simple算法的討論 1、采取的簡化假定 1）速度場u0,v0 及p*的假定是各自獨(dú)立進(jìn)行的，兩者間沒有任何聯(lián)系。但實(shí)際上如果給定一個速度場，壓力也隨之而定。獨(dú)立設(shè)定可能會使兩場不匹配。 2）略去 anbunb項(xiàng)意味著在對速度修正值計(jì)算時沒有把鄰點(diǎn)速度修正值的影響考慮在內(nèi)，如果對等號前的項(xiàng)作相應(yīng)的變化，可以減少因?yàn)槁匀ム忺c(diǎn)修正值的影響。 3）采用線性化的動量離散方程，也就是在一個層次的計(jì)算中，動量離散方程中的系數(shù)及源項(xiàng)假定為定值。實(shí)際上它們與速度有關(guān)。,2、上述簡化只會影響收斂的快慢，不會影響

10、收斂的解 simple算法是以迭代方式進(jìn)行求解的過程，它必須滿足一個基本要求，即迭代模式的組織不能影響最終的收斂解。Simple算法中采用的簡化處理都滿足這一基本要求。 1）u0,v0與p*之間獨(dú)立的假設(shè)，可能造成速度場與壓力場之間的不協(xié)調(diào)，但只要迭代過程是收斂的，隨著迭代的進(jìn)行，這種不協(xié)調(diào)會逐漸減小，以致消失。 2）略去 anbunb， anbvnb對最終的收斂解也沒有影響。因?yàn)槿绻諗浚瑒tu0,因而 anbunb， anbvnb均0， 3）當(dāng)?shù)吔谑諗繒r，兩層間u，v也趨于相等。因而離散方程的系數(shù)及源項(xiàng)保持不變。,12.6 速度與壓力修正值的亞松弛 速度修正時略去鄰界點(diǎn)的影響，使壓

11、力修正本身被夸大了，從而使疊代過程中速度場與壓力場不能同步，需采用亞松弛。 壓力修正：,為限制兩層之間的變化，以有利于非線性問題的迭代收斂，將本層次的計(jì)算結(jié)果與上一層次結(jié)果的差值做適當(dāng)縮減，以避免由于差值過大而引起非線性迭代過程發(fā)散，需采用亞松弛。 速度修正：,ap0.8為壓力亞松弛因子,p0為上一層次之解，a為松弛因子,式子改為：,主對角線的系數(shù)是 而不是ap，源項(xiàng)改為 此時代數(shù)方程的解就是亞松弛后的解。,12.7 流場迭代收斂的判據(jù) 作用:在算法中,對E、W、N、S和b假定為定值。但實(shí)際 受流速的變化而變化。因而沒有必要把一組臨時的系數(shù)與源項(xiàng)的代數(shù)方程準(zhǔn)確地求出來，采用迭代法可以適時地停止

12、迭代，及時地用所得到的解去更新系數(shù)與源項(xiàng)，以進(jìn)入下一層次的計(jì)算。 1、兩種迭代收斂問題 1）同一層次上代數(shù)方程迭代求解內(nèi)迭代 2）非線性問題，從一層次向另一層次推進(jìn)的問題外迭代,小于某一數(shù)值.,3) 終止迭代時的范數(shù)與初始范數(shù)之比小于允許值.,注:p成為余量下降率.其值一般取0.250.05. 迭代次數(shù)從始至終近似相同. 缺點(diǎn):增加了計(jì)算范數(shù)的工作量.,1) 簡單的規(guī)定迭代的輪數(shù). 2) p方程余量的范數(shù),2、終止內(nèi)迭代的判據(jù)一般有三種方法,說明：在內(nèi)迭代中p方程求解是關(guān)鍵，在每一層次的迭代上： 1）若p迭代停止的太早，則速度修正值u,v不能較好地滿足連續(xù)性方程，由于u,v要用于下一層次迭代方

13、程系數(shù)的確定，于是，誤差就會傳播出去，以至于使迭代發(fā)散， 2）若p終止迭代的太晚，將不經(jīng)濟(jì)。即占計(jì)算機(jī)內(nèi)存和求解時間，因?yàn)閜方程的求解時間占到整個求解時間的80%以上。 3） p方程組相當(dāng)于一個擴(kuò)散方程的離散形式，邊界條件處理相當(dāng)于絕熱，一個絕熱體系只有當(dāng)源項(xiàng)總合為零時，才能維持穩(wěn)定的場，這相當(dāng)于要求計(jì)算區(qū)域滿足總體質(zhì)量守恒。,3、終止非線性問題迭代的判據(jù) 1）特征量在連續(xù)若干個層次迭代中的相對偏差小于允許值。(如Num平均努謝爾特?cái)?shù)) 2）內(nèi)節(jié)點(diǎn)上連續(xù)方程余量的代數(shù)和(Rsum)及余量的最大絕對值(Rmax)小于一定數(shù)值。(考慮有流量作參考) 且,3）連續(xù)性方程余量范數(shù)的相對值小于允許值。 4）要求在整個求解區(qū)域內(nèi)動量方