1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用求 y(3x 2)2， f(u)u2，g(x) 3x2 的導(dǎo)數(shù)1復(fù)合函數(shù)的概念對于兩個函數(shù) y f(u)和 ug(x)，如果通過變量 u，y 可以表示成 x 的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù) yf(u)和 u g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作 y f(g(x)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù) y f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yxyuux，即 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)等于 y 對 u 的導(dǎo)數(shù)與 u 對 x 的導(dǎo)數(shù)的乘積題型一 簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題 例 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y1 2x2； (2)yesin x； (3)ysin 2x；23

2、(4)y5log (2x 1)1111解設(shè)2，則 y( u 22 (1)y2， u 1 2x)2 4x)u(12x )u(2 1 1- 2x21 2x(4x)2 .2212xu，usin x，則 yxux u sin x(2)設(shè) yeyuecos xecos x.ux（） .(3)設(shè) ysin u， u 2x3，則 yx2x+yucos u 22cos31010(4)設(shè) y5log2u， u 2x1，則 y5(log2u) x(2 1) uln 22x1 ln 2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y (2x 1)4；(2) y 102x3；(3)ysin4xc

3、os4x.解： (1)令 u2x 1，則 yu4， yxyuux 4u3(2x1) 4u32 8(2x1)3.(2)令 u2x3，則 y10u， yxyuux 10uln 10 (2x3) 2ln 10 102x3.442222sin2 2 12 1cos 4x)(3)y sinx cos x (sin xcos x)x cos x 12sin 2x 14(13 1 4 4cos 4x.所以 y 44cos 4x sin 4x.31題型二復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用 例 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1x2；(2)y xcos 2xsin 2x.(1)yx22解2) x 1 x2 x(1x2 )

4、1x2 x2(1)y (x1x1x21 2x21x21x2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用1(2)y xcos 2x 2sin2x 2 x( sin2x)cos 2x 2 xsin4x ， y11x 1xsin 4x2sin 4x2cos 4x2sin 4x242xcos 4x.練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2 x33(1)y sin 3；(2)ysin xsin x；(3)yxln(12x)解： (1)y sin2 x2sinx sinx2sinxx x12x3333 cos333sin3 .33332322(2)y(sin xsin x ) (sin x) (sin x ) 3sin xcos xcos x

5、 3x 3sin xcos x2x(3)yx ln(12x)xln(1 2x) ln(1 2x) 1 2x .題型三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題 例 3設(shè) f(x) ln(x1) x1axb(a，bR，a，b 為常數(shù) )，曲線 yf(x)與直線 y3 在(0,0)點(diǎn)相切求，的值2xa b 解 由曲線 yf(x)過(0,0)點(diǎn)，可得 ln1 1 b 0，故 b 1.由 f(x) ln(x 1) x 1 axb，得 f(x) 11 a，則 f(0)1 1a3a，此即x1 2x122為曲線 yf(x)在點(diǎn) (0,0)處的切線的斜率由題意，得3a3，故 a0.22練習(xí) 有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上

6、端下滑的距離s(單位： m)關(guān)于時間t(單位： s)的函數(shù)為ys(t)52259t.求函數(shù)在7t15時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義解：函數(shù)y5259t2 可以看作函數(shù)f(x) 5x和x(t)25 9t2 的復(fù)合函復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用數(shù)，其中 x 是中間變量由導(dǎo)數(shù)公式表可得f(x)11-x2 ，(18t.2t)再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得yt ( (119t，2( 18t)s t)fx)t)-x25 9t22將 t7 代入 s(t)，得 s7 0.875.當(dāng) t7時，梯子上端下滑的速度為 0.875 m/s.151515易錯函數(shù) yxe1 2x 的導(dǎo)數(shù)為 _1 2x1 2x) e1 2x1 2x 1 2x

7、1 2x 解析 y e x(exe2x)exe2)(1(1(2x)e1 2x. 答案 y (12x)e1 2x函數(shù) ylnex在 x 0 處的導(dǎo)數(shù)為 _x1e解析： ylnex xln exln(1exln(1 x，則 exx1e)xe )y11e .當(dāng) x0 時， y 11 1 答案：11 12.2課后練習(xí)函數(shù)y (2 0158x)3的導(dǎo)數(shù) y()1A8x)2B 24xC 24(2 0158x)2D8x)23(2 01524(2 015解析： y3(2 015 8x)2(2 0158x) 3(2 0158x)2( 8) 24(2 0158x)2.2函數(shù)yx2cos 2x 的導(dǎo)數(shù)為()A y

8、2xcos 2x x2sin 2xBy 2xcos 2x 2x2sin 2xC y x2cos 2x2xsin 2xDy 2xcos 2x 2x2sin 2x解 y(x2) cosx2x2(cos 2x) 2xcos 2x x2( sin 2x)(2x) 2xcos 2x2x2sin 2x.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用3已知 f(x)ln(3x1)，則 f (1)_.解析： f(x)1 1)3， f(1)3答案：33x1 (3x3x12.24設(shè)曲線 yeax 在點(diǎn) (0,1)處的切線與直線x 2y10 垂直，則 a _.解析：令 y f(x) ，則曲線 yeax 在點(diǎn) (0,1)處的切線的斜率為 f(0)，又切線與直線x2y 1 0 垂直，所以 f (0) 2.因為 f(x) eax，所以 f(x) (eax) eax(ax) aeax，所以 f(0) ae0 a，故 a2.答案： 25求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y cos(x 3)；(2)y(2x1)3 ；(3)ye2x 1.解：(1)函數(shù) ycos(x 3)看作函數(shù) y cos u 和 u x3 的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得 yxux(3)yu(c