1、1,第十章 微分方程,2,微分方程,第十章, 積分問(wèn)題, 微分方程問(wèn)題,推廣,3,引例1.,一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的,解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:,(C為任意常數(shù)),由 得 C = 1,因此所求曲線方程為,由 得,切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 .,一、引例,4,引例2. 列車在平直路上以,的速度行駛, 制動(dòng)時(shí),獲得加速度,求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,由已知得,由前一式兩次積分, 可得,利用后兩式可得,因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才,能停住 ,以及制動(dòng)后行

2、駛了多少路程 .,即求 s = s (t) .,5,1.微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,二、微分方程的基本概念,實(shí)質(zhì)：聯(lián)系自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的式子 .,區(qū)別：與以往學(xué)習(xí)的代數(shù)方程的區(qū)別是：代數(shù)方程是含未知數(shù)的等式，微分方程是含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式 .,常微分方程：所含未知函數(shù)是一元函數(shù).,偏微分方程,注：本章只討論常微分方程,分類,2.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.,6,三、微分方程的主要問(wèn)題-求方程的解, 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解, 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,的階數(shù)相同.,特解,1.微分方程的解, 通解中的任意常數(shù)

3、被確定后的解.,通解:,特解:,7, 確定通解中任意常數(shù)的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,2.定解條件,過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;,一階:,二階:,過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問(wèn)題: 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.,8,3.解的幾何意義,解: 積分曲線.,特解: 微分方程的一條積分曲線.,通解: 積分曲線族.,通解:,特解:,9,例1. 驗(yàn)證函數(shù),是微分方程,的解,的特解 .,解:,這說(shuō)明,是方程的解 .,是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:,故所求特解為,故它是方程的通解.,并求滿足初始條件,10,第二節(jié) 一階微分方程,1.可分離變量的微分方程,兩邊積分,

4、 得,11,(2)解法：,為微分方程的解.,這種解法叫分離變量法,1.分離變量:,2.兩邊積分,分離變量法步驟:,1.分離變量;,2.兩端積分-隱式通解.,12,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數(shù) ),或,說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ),13,注意:,例2. 解初值問(wèn)題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,14,求所滿足的微分方程 .,例3. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q,解

5、: 如圖所示,設(shè)所求曲線的方程為y=f(x).,令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo),即,則點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為,且線段 PQ 被 y 軸平分,15,練習(xí):,解法 1 分離變量,即,( C 0 ),解法 2,故有,兩邊積分,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,兩邊積分得,16,2.齊次微分方程,(1)定義：形如,的方程叫做齊次方程 .,(2)解法:,-變量代換法,令,代入原方程得：,即,則,即,求此可分離變量方程的解，,并回代,17,例1 求解微分方程,故微分方程的解為,解,原方程可變?yōu)椋?即,則,即,18,例1 求解微分方程,微分方程的解為,另解,原方程可變?yōu)椋?即,即,則,

6、即,19,例2. 解微分方程,解:,則有,分離變量,積分得,代回原變量得通解,即,說(shuō)明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 為任意常數(shù)),求解過(guò)程中丟失了.,20,例3,求解微分方程,解,則,于是,即,分離變量得,積分得,將,代入上面式子得：,注意：,的方程可用,將其化為可分離變量的方程.,代換，,形如,21,例4 已知曲線積分,與路徑無(wú)關(guān), 其中,求由,確定的隱函數(shù),解:,因積分與路徑無(wú)關(guān) , 故有,即,因此有,22,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說(shuō)明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .,例如, 方程,解;,階;,通解;,特解,y = x 及 y = C,分離變量法步驟:,1.分離變量;,2