1、4、 2 定積分得簡單應(yīng)用（二）復(fù)習(xí)：（1） 求曲邊梯形面積得方法就是什么?（2） 定積分得幾何意義就是什么？（3） 微積分基本定理就是什么？引入 :我們前面學(xué)習(xí)了定積分得簡單應(yīng)用求面積。求體積問題也就是定積分得一個(gè)重要應(yīng)用。下面我們介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積得求法。1. 簡單幾何體得體積計(jì)算問題 : 設(shè)由連續(xù)曲線與直線， 及軸圍成得平面圖形 （如圖甲 )繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體得體積為 , 如何求 ?分析 :在區(qū)間內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)，使 ,把曲線 (）分割成個(gè)垂直于軸得“小長條” ,如圖甲所示。設(shè)第個(gè)“小長條”得寬就是 ,。這個(gè)“小長條”繞軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)厚度就是得小圓片，如圖乙所示。當(dāng)很小時(shí)

2、,第個(gè)小圓片近似于底面半徑為得小圓柱。因此，第個(gè)小圓臺(tái)得體積近似為該幾何體得體積等于所有小圓柱得體積與:這個(gè)問題就就是積分問題,則有：歸納：設(shè)旋轉(zhuǎn)體就是由連續(xù)曲線與直線 ,及軸圍成得曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成 ,則所得到得幾何體得體積為2. 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體得體積（1） 找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)得平面圖形 ,它得邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2） 分清端點(diǎn)（3） 確定幾何體得構(gòu)造（4） 利用定積分進(jìn)行體積計(jì)算3. 一個(gè)以軸為中心軸得旋轉(zhuǎn)體得體積若求繞軸旋轉(zhuǎn)得到得旋轉(zhuǎn)體得體積 ,則積分變量變?yōu)?，其公式為類型?:求簡單幾何體得體積例 1:給定一個(gè)邊長為得正方形 ,繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周 ,得到一個(gè)幾何體，求它得體積思路 :

3、由旋轉(zhuǎn)體體積得求法知，先建立平面直角坐標(biāo)系 ,寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對(duì)邊得方程，確定積分上、下限 ,確定被積函數(shù)即可求出體積。解 :以正方形得一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn) ,兩邊所在得直線為軸建立如圖所示得平面直角坐標(biāo)系 ,如圖 .則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱得體積為 :規(guī)律方法 :求旋轉(zhuǎn)體得體積 ,應(yīng)先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為 。確定積分上、下限 ,則體積練習(xí) 1：如圖所示 ,給定直角邊為得等腰直角三角形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周 ,求形成得幾何體得體積。解 :形成得幾何體得體積為一圓柱得體積減去一圓錐得體積。類型二 :求組合型幾何體得體積例 2:如圖 ,求由拋物線與直線及所圍成得圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體得體積。思路：

4、解答本題可先由解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)再把組合體分開來求體積。解 :解方程組得:與直線得交點(diǎn)坐標(biāo)為所求幾何體得體積為：V( 8x)2 dx(6 x)2 dx 1664112260233規(guī)律方法 :解決組合體得體積問題 ,關(guān)鍵就是對(duì)其構(gòu)造進(jìn)行剖析,分解成幾個(gè)簡單幾何體體積得與或差,然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí) 2：求由直線 ,直線與軸圍成得平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體得體積.解：旋轉(zhuǎn)體得體積 :類型三 :有關(guān)體積得綜合問題 :例 3：求由曲線與所圍成得平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體得體積.思路： 解題得關(guān)鍵就是把所求旋轉(zhuǎn)體體積瞧作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖確定被積函數(shù)得邊界確定積分上、下限用

5、定積分表示體積求定積分解 :曲線與所圍成得平面圖形如圖所示：設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體得體積為根據(jù)圖像可以瞧出等于曲線,直線與軸圍成得平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得得旋轉(zhuǎn)體得體積(設(shè)為）減去曲線直線與軸圍成得平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得得旋轉(zhuǎn)體得體積(設(shè)為 )反思 :結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題就是解決此類問題得一般方法 .練習(xí) 3:求由 ,以及軸圍成得圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體得體積。解 :由 得：誤區(qū)警示 :忽略了對(duì)變量得討論而致錯(cuò)例 :已知曲線，與直線 ,。試用表示該四條曲線圍成得平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成得幾何體得體積 .思路： 掌握對(duì)定積分得幾何意義,不要忽視了對(duì)變量得討論。解：由得由示意圖可知：要對(duì)與得關(guān)系進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) ,所得旋轉(zhuǎn)體得體積為追本溯源 :利用定