1、第3章 測量誤差基本知識,3.1 測量誤差概述,一、測量誤差 1. 測量誤差（Observation Magement Error） 觀測量的觀測值與其真值之差，包括觀測誤差和模型誤差。 觀測誤差：觀測值發(fā)生的偏差。如： 對同一量進行多次觀測，其結(jié)果通常略有差異。 模型誤差：數(shù)學(xué)模型不恰當(dāng)而導(dǎo)致待求量發(fā)生 的偏差。如：,二、觀測誤差產(chǎn)生的原因 1. 儀器的原因（Instrumental Errors） 每一種測量儀器具有一定的精確度，使測量結(jié)果受到一定的影響。另外，儀器結(jié)構(gòu)的不完善，也會引起觀測誤差。 2. 觀測者的原因（Personal Errors） 由于觀測者的感覺器官的辨別能力存在局限

2、性，在儀器對中、整平、瞄準、讀數(shù)等操作時都會產(chǎn)生誤差。,3. 外界環(huán)境的影響（Natural Errors） 測量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風(fēng)力、日光照射、大氣折光、煙霧等客觀情況時刻在變化，使測量結(jié)果產(chǎn)生誤 差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮， 風(fēng)吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定， 大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差等。,三、測量誤差的分類與處理原則 1. 系統(tǒng)誤差（Systematic Error） 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：測距儀的固定誤差和比例誤差等。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響具有累積性，因

3、而對成果質(zhì)量的影響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：,計算改正數(shù)。 采用一定的觀測方法。 2. 偶然誤差（Accident Error，& Random Error） 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，其大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。,如讀數(shù)誤差、照準誤差等。 偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計規(guī)律性，可應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法加以處理。 3. 粗差（Blunder, & Gross Error） 觀測數(shù)據(jù)中存在的錯誤，稱為粗差。是由于作業(yè)人員的粗心

4、大意或各種因素的干擾造成的，如瞄錯目標、讀錯大數(shù)，光電測距、GPS測量中對載波信號的干擾等。 粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。,4. 誤差處理原則 在進行觀測數(shù)據(jù)處理時，按照現(xiàn)代測量誤差理論和測量數(shù)據(jù)處理方法，可以消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；探測粗差的存在并剔除之；對偶然誤差進行適當(dāng)處理，來求得被觀測量的最可靠值。,四、偶然誤差的特性 設(shè)某一量的真值為X，在相同的觀測條件下對此量進行n次觀測，得到的觀測值為l1， l2， ln ，在每次觀測中產(chǎn)生的誤差（又稱“真誤差”）為1，2， n，則定義,從單個偶然誤差來看，其符號的正、負和數(shù)值的大小沒有任何規(guī)律性。但是，如果觀測的次數(shù)很多，觀察其大量的偶

5、然誤差，就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下面的必然規(guī)律。進行統(tǒng)計的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。下面結(jié)合某觀測實例，用統(tǒng)計方法進行說明和分析。,實例,在某一測區(qū)，在相同的觀測條件下共觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，由于每個三角形內(nèi)角之和的真值（180）為已知，因此，可以上式計算每個三角形內(nèi)角之和的真誤差i，將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間d=3進行誤差個數(shù)k的統(tǒng)計，并計算其相對個數(shù)kn（n358）， kn稱為誤差出現(xiàn)的頻率。,由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下： 界限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值 。 聚中性：絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較

6、大的誤差出現(xiàn)的頻率小。 對稱性：絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻率 。 抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零，即：,由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線的方程式為：,+3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24,X=,-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3,0,式中，參數(shù)為觀測誤差的標準差。 從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即 f()是偶函數(shù)，即絕對值相等的正、負誤差求得的f()相等，故曲線對稱于縱軸。 越小， f()越大；越大， f()越小。 當(dāng)= 0時， f()最大，其值為 當(dāng),方差為偶然誤差平方的理論

7、平均值： 標準差為 由上式可知，標準差的大小決定于在一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對值的大小。由于在計算標準差時取各個偶然誤差的平方和，因此，當(dāng)出現(xiàn)有較大絕對值的偶然誤差時，在標準差的數(shù)值大小中會得到明顯的反映。,3.2 衡量精度的標準,一、精度（Precision） 測量值與其真值的接近程度 準確度（Accuracy）：表示測量結(jié)果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。 精密度（ Precision ）：表示測量結(jié)果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。,二、衡量精度的指標 1. 中誤差（root mean square error） 根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標準差為標準衡量在一定觀測條件下

8、觀測結(jié)果的精度是比較合適的。 在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差為中誤差，用m表示，即,兩組觀測值的誤差絕對值相等 m1 m2，第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成果的精度,-m2 -m1,+m1 +m2,X,Y,不同中誤差的正態(tài)分布曲線,2. 相對誤差（relative error） 觀測值的中誤差與觀測值之比 ，一般用分子為1的分式表示。 例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是2cm ，可見其精度相同，但 前者的相對中誤差為0.02200 110000，而后者則為0.0240l2000，顯然前者的量距精度高于后者。,3. 極限誤差（limit erro

9、r） 根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間d中的概率： 根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為：,分別以k1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率： 由此可見，偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進行的測量次數(shù)有限，2倍中誤差應(yīng)該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱“限差”，即 允2m 現(xiàn)行測量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。,3.3 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 觀測值的

10、誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學(xué)模型，則為中誤差傳播定律。 二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設(shè)Xi（i=1,2, ,n）是一組獨立觀測量，而Y是Xi的函數(shù)，即：,式中，系數(shù)ai已知，且假定無誤差。設(shè)xij是第i個觀測量的第j次觀測值，則按上式求出待定量的計算值yj為： 將（1）式減去（2）式得：,當(dāng)對Xi各觀測k次時，上式將共有k個，分別將各式兩邊平方，并對k個式求其和，再除以觀測次數(shù)k，考慮到偶然誤差的抵償性，可得： 顧及中誤差的定義公式，并設(shè)Xi的中誤差為mi，則可得：,三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設(shè)有非線性函數(shù)Y = f（X1，X2，Xn），Xi（i =

11、1,2, ,n）為獨立觀測量，并設(shè)Xi的中誤差為mi，為此，可先將非線性函數(shù)線性化，然后再按線性函數(shù)處理。,四、誤差傳播定律的應(yīng)用 1. 步驟： 列出正確的函數(shù)模型 注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立 非線性函數(shù)線性化 運用誤差傳播定律,2. 應(yīng)用舉例 例1：用尺長為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個尺段，設(shè)丈量一個尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。 解一： 應(yīng)用誤差傳播定律得：,解二： 應(yīng)用誤差傳播定律得： 由兩種解算方法的結(jié)果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學(xué)模型是錯誤的。,例2：設(shè)有函數(shù) 。若 X、Y為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my ，試求U的中誤差。 解一：由線性

12、中誤差傳播定律，顯然有： 則有：,解二：由于 應(yīng)用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得： 即： 顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤的。解法一中由于未考慮觀測量的獨立性，顯然是錯誤的。,例3：設(shè)有函數(shù) 若觀測值d=180.23m，中誤差md=0.05m；=612210，其中誤差為m=20，試求y的中誤差。 解： 故有：,思考題,1、設(shè)自已知點A向待定點B進行水準測量，共觀測n站。設(shè)每站的觀測精度相同，其中誤差為m站，試求A、B兩點間高差的中誤差。 2、設(shè)等精度觀測n個三角形的三個內(nèi)角，獲得n個三角形內(nèi)角和的閉和差，試求測角中誤差。,例4：水平角觀測限差的制定 水平角觀測的精度與其誤差的綜合影響有關(guān)，對

13、于J6光學(xué)經(jīng)緯儀來說，設(shè)計時考慮了有關(guān)誤差的影響，保證室外一測回的方向中誤差為6。實際上，顧及到儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設(shè)計精度一般小于6，新出廠的儀器，其野外一測回的方向中誤差小于6，在精度上有所富裕。,對于水平角觀測的精度，通常以某級經(jīng)緯儀的標稱精度作為基礎(chǔ)，應(yīng)用誤差傳播定律進行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再結(jié)合由大量實測資料經(jīng)統(tǒng)計分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來確定。下面僅以標稱精度為基礎(chǔ)進行分析。,3.3 誤差傳播定律,設(shè)J6經(jīng)緯儀室外一測回的方向中誤差為： （1）一測回角值的中誤差 （2）半測回方向值的中誤差 （3）歸零差的限差 （4）同一方向值各測回較差的限差,3

14、.4 等精度觀測值平差,一、等精度觀測與非等精度觀測 等精度觀測 在相同的觀測條件下所進行的觀測。由等精度觀測而獲得的觀測值稱為等精度觀測值。 非等精度觀測 在不同的觀測條件下所進行的觀測。由非等精度觀測而獲得的觀測值稱為非等精度觀測值。,二、測量平差 由于觀測結(jié)果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實際工作中，為提高成果質(zhì)量，同時也為了檢查和及時發(fā)現(xiàn)觀測值中的粗差，通常進行多余觀測。（例如：一個平面三角形，只要觀測其中的兩個內(nèi)角，即可確定其形狀，但通常是觀測三個內(nèi)角）。,由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)觀測結(jié)果不一致。因此，必須對帶有偶然誤差的觀測值進行處理，使得消除不符值后的結(jié)

15、果，可認為是觀測值的最可靠結(jié)果。由此可知，測量平差的任務(wù)是： （1）對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。 （2）評定測量成果的精度,測量平差方法 嚴密平差：所依據(jù)的準則是建立在嚴密的理論基礎(chǔ)之上。如：間接平差法等（見測量平差基礎(chǔ)） 近似平差：所依據(jù)的準則是建立在近似的理論基礎(chǔ)之上，亦稱簡易平差。 根據(jù)某一待求量的一系列觀測值，求出其最佳估值（或最或是值）稱為直接觀測平差，分為等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。,三、等精度直接觀測值平差 1. 算術(shù)平均值原理 在相同的觀測條件下，對某個未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1，l2,

16、 ，ln，將這些觀測值取算術(shù)平均值，作為該量的最或是值，即：,現(xiàn)用偶然誤差的特性來證明:設(shè)某一量的真值為X，各次觀測值為l1，l2, ，ln ，其相應(yīng)的真誤差為1，2，n，則 將上列等式相加，并除以n，得到 等式兩端取極限，則,由偶然誤差的抵償性，有 故可得： 2. 觀測值的改正數(shù)及其性質(zhì) 觀測值的最或是值與觀測值之差，即： 將上列等式相加，得 即：一組觀測值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計算中的校核。,3. 等精度觀測值的中誤差 根據(jù)真誤差計算等精度觀測值中誤差 由于真值的不可知，導(dǎo)致真誤差的不可知。但是，有時可將理論值視為真值，例如：三角形內(nèi)角和為180等。 例4：設(shè)等精度觀測n個

17、三角形的三個內(nèi)角，試根據(jù)三角形閉合差計算測角中誤差。 解：三角形閉合差： 根據(jù)中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為：,而根據(jù)中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為： 其中，m為測角中誤差。將此式代入上式得： 此式即著名的菲列羅公式，通常用于計算三角測量的測角中誤差。但當(dāng)三角形的個數(shù)大于20時，由此公式算出的測角中誤差才比較可靠。,根據(jù)觀測值的改正數(shù)計算其中誤差 設(shè)某量的n個等精度觀測值為l1，l2, ，ln ，其真誤差和改正數(shù)為： 于是有： 將上列n個等式兩邊分別平方，并求其和，再除以n，則有： 上式中， ，考慮到中誤差的定義公式，可得：,4. 算術(shù)平均值的中誤差 設(shè)觀測值的中誤差為m

18、，算術(shù)平均值的中誤差為M，則應(yīng)用誤差傳播定律于算術(shù)平均值的計算公式，則有： 故算術(shù)平均值的中誤差為：,例題,對某一距離，在相同的條件下進行6次觀測，其觀測值為：120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120.047m 120.040m 試求其最可靠值，并評定測量成果的精度。 解算見下表:,思考題: 今有四個觀測小組對同一個水平角進行觀測，第一組觀測2個測回，水平角值為l1，第二小組觀測4個測回，水平角值為l2 ，第三小組觀測6個測回，水平角值為l3 ，第四小組觀測8個測回，水平角值為l4，試計算其最可靠值，并評定測量成果精度。,3.5 權(quán)倒數(shù)傳播律,一、權(quán)的概念

19、 1. 權(quán)（weight） 衡量觀測值（或估值）及其函數(shù)的相對可靠程度的一種指標。通常用P表示。 權(quán)的定義公式為： 上式表明：在一組觀測值中，某觀測值的權(quán)與其中誤差的平方成反比，而2為比例系數(shù)，可任意選取，但對于同一個觀測問題，應(yīng)在數(shù)據(jù)處理前確定，并在計算過程中保持不變。,2. 單位權(quán)（unit weight） 數(shù)值等于1的權(quán)。此時，有 ，當(dāng)二者單位相同時，稱為單位權(quán)中誤差。此時的觀測值為單位權(quán)觀測值。 3. 權(quán)的特性 權(quán)只能反映觀測值之間的相對精度，在反映觀測值精度時，起作用的不是權(quán)本身的大小，而是權(quán)之間的比例關(guān)系。 權(quán)既可反映同一類量的若干個觀測值之間的精度高低，也可反映不同類量的觀測值之

20、間的精度高低。,4. 權(quán)的確定 根據(jù)權(quán)的定義公式確定權(quán) 例1：已知一組角量觀測值X1、X2、X3的中誤差m1=2； m2=4； m3=8，試求各觀測值之權(quán)。 解一：,解二： 由上例可以看出，系數(shù)改變，各觀測值的權(quán)亦改變，但觀測值之間的權(quán)之比并未改變。,距離測量中根據(jù)邊長確定權(quán) 例2：按同等精度丈量三條邊長，得S1，S2，S3，相應(yīng)的長度為3km，4km，6km。試確定三條邊邊長觀測值的權(quán)。 解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。設(shè)每千米丈量中誤差為mkm，則邊長Si的中誤差為： 將其代入權(quán)的定義公式得：,本例中，取C為12km，則得S1，S2，S3的權(quán)分別為4，3，2。此時S為12

21、km時的權(quán)為1。也就意味著，以12km的觀測為單位權(quán)觀測，相應(yīng)的權(quán)為單位權(quán)，相應(yīng)的中誤差為單位權(quán)中誤差。由此還可以看出，上式中C的含義就是單位權(quán)觀測。,水準測量中根據(jù)水準路線長度或測站數(shù)定權(quán) 例3：設(shè)一個水準網(wǎng)由四條同一等級的水準路線所構(gòu)成。設(shè)四條水準路線的路線長度為S1=4km， S2=2km ， S3=1km ， S4=3km ，相應(yīng)的測站數(shù)為n1=50， n2=25 ， n3=10 ， n4=40 。試分別按路線長度和測站數(shù)來確定這四條水準路線觀測高差的權(quán)。 解：由于這四條水準路線是按同一等級觀測的，所以它們每千米觀測高差中誤差mkm和每測站觀測高差中誤差m站均是相同的，則第i條路線觀測高差的中誤差為：,將其代入權(quán)的定義公式得： 令 則，第i條水準路線觀測高差的權(quán)為： 本例中，當(dāng)按各水準按路線長度定權(quán)時，若取C為12km，則各水準路線觀測高差的權(quán)分別為3，6，12，4；當(dāng)按各水準路線的測站數(shù)定權(quán)時，若取C為100