1、 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù) 學(xué)（理）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1復(fù)數(shù)的模為 ( )A. B. C. D.【測量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.【考查方式】直接給出復(fù)數(shù)，利用對復(fù)數(shù)進行化簡，然后再求模.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】.2已知集合，則 （ ）A B C D 【測量目標(biāo)】集合的基本運算.【考查方式】考查了對數(shù)不等式及交集運算.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】，.3已知點，則與向量同方向的單位向量為 （ ）A. B. C. D.【測量目標(biāo)】向量的基本概念.【

2、考查方式】給出兩點坐標(biāo)及方向，求同方向的單位向量.【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】，則與其同方向的單位向量.4下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題：數(shù)列是遞增數(shù)列； ：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列； ：數(shù)列是遞增數(shù)列；其中的真命題為 （ ）A. B. C. D.【測量目標(biāo)】等差數(shù)列的性質(zhì).【考查方式】給出的等差數(shù)列，求數(shù)列的增減性.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定.,是真命題， （步驟1）,但是的符號不知道，是假命題. （步驟2）同理是假命題.,是真命題. （步驟3）5某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60

3、分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是 （ ）A. B. C. D.第題圖 【測量目標(biāo)】頻率分布直方圖. 【考查方式】給出頻率分布直方圖及某一頻數(shù)，求總體頻數(shù).【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】根據(jù)頻率分布直方圖的特點可知，低于分的頻率是，所以該班的學(xué)生人數(shù)是. 6在上，內(nèi)角所對的邊長分別為且則 ( )A B C D 【測量目標(biāo)】正弦定理，兩角和的正弦，誘導(dǎo)公式.【考查方式】給出三角形各邊長及內(nèi)角和邊長的公式，求角.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】根據(jù)正弦定理與和角公式求解.由正弦定理可得, （步驟1）又, ,.（步驟2）,. （步驟3）7使得 的展開式中含有常數(shù)項的最小的為

4、（ ）A B C D 【測量目標(biāo)】二項式定理.【考查方式】考查了二項展開式的通項公式.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.，當(dāng)是常數(shù)項時，當(dāng)，時成立.8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的 （ ）A B C D 第題圖 【測量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖. 【考查方式】給出輸入值，求輸出值.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】， ，（步驟1），輸出.（步驟2）9已知點若為直角三角形，則必有 （ ）A B C D【測量目標(biāo)】直線的傾斜角與斜率.【考查方式】給出三點坐標(biāo)，由三角形的邊的性質(zhì)，求出之間的關(guān)系.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】根據(jù)直角

5、三角形的直角的位置求解.若以為直角頂點，則在軸上，則必為，此時，重合，不符合題意；（步驟1）若，則，若，根據(jù)斜率關(guān)系可知，即.以上兩種情況皆有可能，故只有滿足條件.（步驟2）10已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，則球的半徑為 （ ）A B C D 【測量目標(biāo)】立體幾何的綜合問題.【考查方式】給出三條棱長及兩棱垂直關(guān)系，求三棱柱外接球的半徑.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】根據(jù)球的內(nèi)接三棱柱的性質(zhì)求解.直三棱柱中,且為過底面是截面圓的直徑，取中點，則底面，則在側(cè)面內(nèi)，矩形的對角線長即為球直徑，,即. 11已知函數(shù)，.設(shè)，表示中的較大值，表示中的較小值，記的最小值為，的最小值為，

6、則( )A. B. C. D.【測量目標(biāo)】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).【考查方式】給出兩函數(shù)解析式，設(shè)出較大值、較小值、最大值、最小值，求最值.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的特征解決.由，得 ， （步驟1）當(dāng)和時，兩函數(shù)值相等.圖象為開口向上的拋物線，圖象為開口向下的拋物線，兩圖象在和處相交，則 （步驟2），（步驟3）12設(shè)函數(shù)滿足，則時， （ ）A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值也無極小值【測量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.【考查方式】通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化能力.通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查知識的靈活應(yīng)用能

7、力.【難易程度】較難【參考答案】D【試題解析】由題意知.（步驟1）令，則.（步驟2）由得，當(dāng)時，即，則當(dāng)時，（步驟3）故在上單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值.（步驟4）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 . 第題圖 【測量目標(biāo)】由三視圖求幾何體的體積. 【考查方式】給出三視圖，求體積.【難易程度】容易【參考答案】【試題分析】由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內(nèi)部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為14.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和，若是方程的兩個根，則 .

8、【測量目標(biāo)】等比數(shù)列及其性質(zhì)，等比數(shù)列的前項和.【考查方式】給出方程，已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，先求等比數(shù)列中兩項值，即方程的兩根，再由數(shù)列為遞增數(shù)列求出數(shù)列的前項和. 【難易程度】中等【參考答案】63【試題分析】是方程的兩個根，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，15已知橢圓的左焦點為橢圓C與過原點的直線相交于兩點，連接，若，則的離心率 .【測量目標(biāo)】余弦定理，橢圓的簡單幾何性質(zhì).【考查方式】畫圖表示橢圓及直線位置，通過數(shù)量關(guān)系確定三角形形狀以及橢圓系數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的能力.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)和余弦定理求解.設(shè)橢圓的右焦點為，直線過原點，,.（步驟1）在中，設(shè)，由

9、余弦定理得，（步驟2）解得，即.,是直角三角形，（步驟3）,即.（步驟4）又在中，即，（步驟5）.（步驟6）16為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 .【測量目標(biāo)】用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征.【考查方式】給出樣本平均數(shù)、樣本方差樣本組數(shù)，求樣本數(shù)據(jù)中的最大值.【難易程度】較難【參考答案】10【試題解析】設(shè)5個班級中參加的人數(shù)分別為則由題意知五個整數(shù)的平方和為，則必為，由可得或，由可得或，由上可知參加的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，故樣本數(shù)據(jù)中的

10、最大值為10.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分12分）設(shè)向量（I）若求的值； （）設(shè)函數(shù)，求的最大值.【測量目標(biāo)】平面向量的基本概念、向量的數(shù)量積運算、兩角和與差的正弦和三角函數(shù)的最值.【考查方式】給出兩向量坐標(biāo)，兩向量模的關(guān)系，函數(shù)與向量的關(guān)系，求的值，函數(shù)的最大值. 【難易程度】容易【試題解析】（） （步驟1）又，. （步驟2）（）當(dāng)時，取最大值1. （步驟3）的最大值為. （步驟4）18（本小題滿分12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.（I）求證：平面平面（II）若求證：二面角的余弦值.第18題圖 【測量目標(biāo)】面面垂直的

11、判定，二面角，空間直角坐標(biāo)系和空間向量及其運算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的確定考查定理的靈活應(yīng)用能力，空間直角坐標(biāo)系的建立考查空間想象能力及運算求解能力.【難易程度】中等【試題解析】()由是圓的直徑,得,（步驟1）由平面,平面,得,又,平面,平面,平面平面平面平面.（步驟2）()解法一：如圖（1），以點為坐標(biāo)原點，分別以直線,為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.在中,.又,.（步驟3）故,.設(shè)平面的法向量為，則不妨令，則.（步驟4）,設(shè)平面的法向量為,則（步驟5）不妨令，則.于是.由圖（1）知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.（步驟6）第18題圖（1） 解法二：如圖（2），過作于

12、，平面,平面,.又,且平面,平面,平面.過作于,連接,由三垂線定理得為二面角的平面角.（步驟3）在中,由,得,.在中,由,得.,.（步驟4）在中,二面角的余弦值為.（步驟5）第18題圖（2） 19（本小題滿分12分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.（I）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.用表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【測量目標(biāo)】古典概型，互斥事件與對立事件的概率，離散型隨機變量的分布列及期望.【考查方式】至

13、少類問題反面求解考查轉(zhuǎn)化化歸能力，分布列及數(shù)學(xué)期望的求解考查運算求解能力.【難易程度】中等【試題解析】 (1)設(shè)事件“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有 “張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”，.（步驟1） (2)所有的可能取值為,.（步驟2）；（步驟3）；（步驟4）；（步驟5）.（步驟6）的分布列為：（步驟7）.（步驟8）20（本小題滿分12分）如圖，拋物線，點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于），切線的斜率為.（I）求的值；（II）當(dāng)在上運動時，求線段中點的軌跡方程. 第題圖 【測量目標(biāo)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，圓錐曲線的軌跡方程.【考查方式】給出兩拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及

14、坐標(biāo)中點與直線的關(guān)系求解；利用橢圓與直線的位置關(guān)系及待定系數(shù)法求解.【難易程度】中等【試題解析】（）拋物線上任意一點（的切線斜率為，且切線的斜率為，點坐標(biāo)為（，）， （步驟1） 切線的方程為. (步驟2) .點（在切線及拋物線上， （步驟3）由得. （步驟4）（）設(shè)為線段中點，. （步驟5）切線的方程為，. （步驟6）由得的交點（的坐標(biāo)為 （步驟7）點（在上，即 （步驟8）由得 （步驟9）當(dāng)時，重合于原點中點為，坐標(biāo)滿足中點的軌跡方程為 （步驟10）21（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.當(dāng)時，（I）求證： ；（II）若恒成立，求實數(shù)取值范圍.【測量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題

15、.【考查方式】第一問不等式的證明利用構(gòu)造函數(shù)法，通過導(dǎo)數(shù)證明，考查簡單的轉(zhuǎn)化化歸能力；第二問的兩種解法都對轉(zhuǎn)化化歸能力進一步升級考查，解法一利用第一問的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，解法二通過構(gòu)造函數(shù)，兩次利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化.【難易程度】較難【試題解析】()證明：要證時，只需證明.（步驟1）記，則，（步驟2）當(dāng)時，因此在上是增函數(shù)，（步驟3）故.所以（步驟4）要證時，只需證明.（步驟5）記，則，（步驟6）當(dāng)時，因此在上是增函數(shù)，（步驟7）故.所以，（步驟8）綜上，（步驟9）()解法一： （步驟10）設(shè)，則.（步驟11）記，則，（步驟12）當(dāng)時，于是在上是減函數(shù)，（步驟13）從而當(dāng)時，故在上是減函數(shù)（步驟14）于是，

16、從而.（步驟15）所以，當(dāng)時，在上恒成立（步驟16）下面證明當(dāng)時，在上不恒成立 ，（步驟17）記，則，（步驟18）當(dāng)時，故在上是減函數(shù)，（步驟19）于是在上的值域為（步驟20）因為當(dāng)時，使得，（步驟21）此時，即在上不恒成立（步驟22）綜上，實數(shù)的取值范圍是（步驟23）解法二：先證當(dāng)時，.（步驟10）記，則.（步驟11）記，則，（步驟12）當(dāng)時，于是在上是增函數(shù)，（步驟13）因此當(dāng)時，從而在上是增函數(shù)（步驟14）因此，所以當(dāng)時，.（步驟15）同理可證，當(dāng)時，.（步驟16）綜上，當(dāng)時，.（步驟17）當(dāng)時，.（步驟18）所以當(dāng)時，在上恒成立（步驟19）下面證明當(dāng)時，在上不恒成立，（步驟20） (例

17、如取和中的較小值)滿足（步驟21）即在上不恒成立（步驟22）綜上，實數(shù)的取值范圍是（步驟23）請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，為半圓的直徑，直線與半圓相切于，垂直于，垂直于，垂直與，連接.證明：（I）； （II） 第題圖 【測量目標(biāo)】幾何證明選講. 【考查方式】給出點、線、面之間的各種關(guān)系，根據(jù)圓中直線的垂直等角關(guān)系證明；根據(jù)圓中三角形的全等和線段間的關(guān)系求解.【難易程度】容易【試題解析】()直線與相切， （步驟1）為的直徑，,； （步驟

18、2）又,. （步驟3）. （步驟4）（）,是公共邊，,. （步驟5）類似可證,得. （步驟6）又在中，,，. （步驟7）23（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中以為極點，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓，直線的極坐標(biāo)方程分別為（I）求與交點的極坐標(biāo)；（II）設(shè)為的圓心，為與交點連線的中點.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求的值.【測量目標(biāo)】極坐標(biāo)與參數(shù)方程.【考查方式】給出各直線的極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程，聯(lián)立與方程求交點；由參數(shù)方程的性質(zhì)求解.【難易程度】容易【試題解析】()圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.解得 (步驟1)與交點的極坐標(biāo)為. （步驟2）注：極坐標(biāo)系下點的表示不是唯一的.（）由（）可得，點與點的直角坐標(biāo)分別為.直線