1、3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用 3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型,【知識(shí)提煉】 三種函數(shù)模型的性質(zhì),增函數(shù),增函數(shù),增函數(shù),y軸,x軸,越來越快,越來越慢,axxnlogax,【即時(shí)小測(cè)】 1.思考下列問題 (1)在區(qū)間(0,+)上,當(dāng)a1,n0時(shí),是否總有l(wèi)ogax1,n0,xx0時(shí),logaxx0時(shí),數(shù)量增加特別快,足以體現(xiàn)“爆炸”的效果.,2.已知變量y=1+2x,當(dāng)x減少1個(gè)單位時(shí),y的變化情況是() A.y減少1個(gè)單位 B.y增加1個(gè)單位 C.y減少2個(gè)單位 D.y增加2個(gè)單位 【解析】選C.由y=1+2x可知,當(dāng)x減少1個(gè)單位時(shí),y相應(yīng)減少2個(gè)單位.,3.某超市每月的利潤的平均增長率為2%

2、,若12月份的利潤是當(dāng)年1月份利潤的m倍,則m等于() A.(1.02)12 B.(1.02)11 C.(0.98)12 D.(0.98)11 【解析】選B.設(shè)1月份的利潤為a,則當(dāng)年12月份的利潤為a(1+2%)11,故m=(1.02)11.,4.在函數(shù)y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增長速度最快的是. 【解析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)的增長差異可判斷出y=3x的增長速度最快. 答案:y=3x,5.如圖所示曲線反映的是函數(shù)模型的增長趨勢(shì).,【解析】由圖象知,此函數(shù)的增長速度越來越慢,因此反映的是冪函數(shù)模型或?qū)?shù)型函數(shù)模型的增長速度. 答案:冪函數(shù)或?qū)?shù)型,【知識(shí)探

3、究】 知識(shí)點(diǎn) 幾類函數(shù)模型的增長差異 觀察圖形,回答下列問題:,問題1:函數(shù)t(x),f(x),g(x),h(x)隨著x的增大,函數(shù)值有什么共同的變化趨勢(shì)? 問題2:函數(shù)t(x),f(x),g(x),h(x)增長的速度有什么不同?,【總結(jié)提升】 1.四類不同增長的函數(shù)模型 (1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型. (2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型. (3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型. (4)增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型.,2.幾類函數(shù)模型的選擇 (1)一次函數(shù)模型:當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y增加或減少的量為定值,則y是x的一次函數(shù),一次函數(shù)的圖象為

4、直線. (2)二次函數(shù)模型:二次函數(shù)是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函數(shù),常用來求最大值或最小值問題,要注意定義域. (3)指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型:當(dāng)問題中每期(或每年、每段等)的增長率相同,則為指數(shù)函數(shù)模型或?qū)?shù)函數(shù)模型,一般與增長率、衰減率、利息等現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密.,【知識(shí)拓展】求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破的三關(guān) (1)閱讀理解關(guān):一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大,要通過閱讀審題,找出關(guān)鍵詞、句,理解其意義. (2)建模關(guān):即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. (3)數(shù)理關(guān):運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型.,【題型探究】 類型一幾類函數(shù)模型的增長差異 【典例】1.

5、(2015懷柔高一檢測(cè))四個(gè)變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表: 關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是.,2.函數(shù)f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)= 的圖象如圖所示,試分別指出 各曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù),并比較三個(gè)函數(shù)的增長差異(以1,e,a,b,c,d為分 界點(diǎn)).,【解題探究】1.典例1表格中四個(gè)變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化最快的是哪一組? 提示:由表中的數(shù)據(jù)可以看出y2隨著x變化,數(shù)值增長的速度最快. 2.典例2中判斷各曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的關(guān)鍵是什么?1,e,a,b,c,d的含義是什么? 提示:關(guān)鍵是依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度,判斷各曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù).

6、1,e,a,b,c,d的含義是相應(yīng)曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).,【解析】1.從表格觀察函數(shù)值y1,y2,y3,y4的增加值,哪個(gè)變量的增加值最大,則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.從表格中可以看出,變量y2,y3,y4均是從2開始變化,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,根據(jù)指數(shù)函數(shù)變化的特點(diǎn),可知變量y2隨著x變化呈指數(shù)函數(shù)變化. 答案:y2,2.由指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長、冪函數(shù)增長的差異可得曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=1.1x,曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)是h(x)= ,曲線C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)是g(x)=lnx+1. 由題圖知,當(dāng)0h(x)g(x); 當(dāng)1g(x)h(x

7、); 當(dāng)ef(x)h(x); 當(dāng)ah(x)f(x); 當(dāng)bg(x)f(x); 當(dāng)cf(x)g(x); 當(dāng)xd時(shí),f(x)h(x)g(x).,【方法技巧】常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn) (1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k0)的增長特點(diǎn)是直線上升,其增長速度不變. (2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a0,b1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長特點(diǎn)是隨著自變量x的增大,函數(shù)值增長的速度越來越快,常稱之為“指數(shù)爆炸”.,(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m0,x0,a1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長的特點(diǎn)是開始階段增長得較快

8、,但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值變化得越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”. (4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=ax+b(a,b,為常數(shù),a0, 1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長情況由a和的取值確定,常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型.,【變式訓(xùn)練】有一組數(shù)據(jù)如下表: 現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,則其中最接近的一個(gè)是() A.v=log2t B.v= t C.v= D.v=2t-2,【解析】選C.取t=1.992,代入A,得v=log22=11.5,代入B,得v= =-11.5,代入C,得v= =1.5,代入D,得v=22-21.5. 經(jīng)計(jì)算可知最接近的一個(gè)是選項(xiàng)C.,類型

9、二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較 【典例】(2015赤峰高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2),且x1x2. (1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù). (2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2011), g(2011)的大小.,【解題探究】本例圖中兩圖象分別過哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?增加的速度怎樣?它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2大約在什么范圍內(nèi)? 提示:曲線C1過原點(diǎn),曲線C2與y軸有交點(diǎn),曲線C2增加的速度快.又因?yàn)閒(1)g(1),f(2)g(10),所以1x12,9x210.,【解析】(1)C1對(duì)應(yīng)的函

10、數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x. (2)因?yàn)閒(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.從圖象上可以看出,當(dāng)x1x2時(shí),f(x)g(x),所以f(2011)g(2011).又因?yàn)間(2011)g(6),所以f(2011)g(2011) g(6)f(6).,【延伸探究】 1.(改變條件)若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解(1)呢? 【解析】由圖象的變化趨勢(shì)以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知:C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.,28,可編輯,2.(改變問法)本例條件不變,(2)中結(jié)論若改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),

11、g(8),f(2015),g(2015)的大小. 【解析】因?yàn)閒(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.從圖象上可以看出,當(dāng)x1x2時(shí),f(x)g(x),所以f(2015)g(2015).又因?yàn)間(2015)g(8),所以f(2015)g(2015)g(8)f(8).,【方法技巧】由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法 根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí),通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015包頭高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示:,(1)

12、試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù). (2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn),對(duì)f(x),g(x)的大小進(jìn)行比較).,【解析】(1)曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lgx. (2)當(dāng)0f(x);當(dāng)x1g(x); 當(dāng)xx2時(shí),g(x)f(x);當(dāng)x=x1或x=x2時(shí),g(x)=f(x).,【延伸探究】 1.(改變問法)本題條件不變,試根據(jù)圖象確定x1與1,x2與10的大小關(guān)系. 【解析】根據(jù)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=lgx,結(jié)合圖象與x的交點(diǎn)為(1,0)可知,x1 f(10),根據(jù)圖象,可知x210.,2.(改變問法)本題條

13、件不變,試根據(jù)圖象比較f(1.5),g(1.5), f(2015),g(2015)的大小. 【解析】由于f(3)=lg30,g(3)=0.33-1f(10),結(jié)合圖象可知3g(x),故f(1.5)g(1.5);由于x210時(shí),g(x)f(x),故g(2015)f(2015),又因?yàn)閒(2015)f(1.5),所以g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5).,類型三函數(shù)模型的選擇問題 【典例】1.(2015臨汾高一檢測(cè))某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求,對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整.調(diào)整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與產(chǎn)量x的關(guān)系,則可選用() A

14、.一次函數(shù) B.二次函數(shù) C.指數(shù)型函數(shù) D.對(duì)數(shù)型函數(shù),2.(2015邯鄲高一檢測(cè))某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元,其成本價(jià)為25元,因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計(jì)兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理,并準(zhǔn)備實(shí)施. 方案一:工廠的污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元,并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元; 方案二:工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理,每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi).問:,(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí),你作為廠長,在不污染環(huán)境,又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案?通過計(jì)算加以說明. (2)若工廠每月生

15、產(chǎn)6000件產(chǎn)品,你作為廠長,又該如何決策呢?,【解題探究】1.典例1中由“初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢”,聯(lián)想到哪類函數(shù)的增長特性? 提示:符合對(duì)數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn). 2.典例2中要進(jìn)行兩種方案的選擇,需對(duì)兩種方案進(jìn)行什么比較? 提示:需分為每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品,每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品兩種情況下分別計(jì)算出兩種方案的利潤,進(jìn)行比較利潤大小,作出選擇.,【解析】1.選D.一次函數(shù)保持均勻的增長,不符合題意;二次函數(shù)在對(duì)稱軸的兩側(cè)有增也有降;而指數(shù)函數(shù)是爆炸式增長,不符合“增長越來越慢”;因此,只有對(duì)數(shù)函數(shù)最符合題意,先快速增長,后來越來越慢.,2.設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí),依方案一的利潤為

16、y1,依方案二的利潤為y2,由題意知 y1=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000, y2=(50-25)x-140.5x=18x. (1)當(dāng)x=3000時(shí),y1=42000,y2=54000, 因?yàn)閥1y2,所以應(yīng)選擇方案一處理污水.,【方法技巧】解函數(shù)應(yīng)用題的四個(gè)步驟 第一步:閱讀、理解題意,認(rèn)真審題. 讀懂題中的文字?jǐn)⑹?理解敘述所反映的實(shí)際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量,善于聯(lián)想、化歸,實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.,第二步:引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型. 一般地,設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)已知條件,運(yùn)用已

17、掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化,即所謂建立數(shù)學(xué)模型. 第三步:利用數(shù)學(xué)方法解答得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型),求得結(jié)果. 第四步:再轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答.,【變式訓(xùn)練】(2015撫順高一檢測(cè))某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每枝0.5元,該店推出兩種優(yōu)惠辦法:(1)買一本軟皮本贈(zèng)送一枝鉛筆;(2)按總價(jià)的92%付款.現(xiàn)要買軟皮本4本,鉛筆若干枝(不少于4枝),若購買鉛筆數(shù)為x枝,支付款數(shù)為y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合算?,【解題指南】根據(jù)題意列出兩個(gè)一次函

18、數(shù)關(guān)系式,辦法(1)的函數(shù)模型增長得快,辦法(2)的函數(shù)模型增長得慢.,【解析】由優(yōu)惠辦法(1)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為: y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,且xN). 由優(yōu)惠辦法(2)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為: y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4,且xN).令0.5x+6=0.46x+ 7.36,解得x=34,且當(dāng)4x34時(shí),0.5x+60.46x+7.36,即當(dāng)購買鉛筆數(shù)少于34枝(不少于4枝)時(shí),用優(yōu)惠辦法(1)合算;當(dāng)購買鉛筆數(shù)多于34枝時(shí),用優(yōu)惠辦法(2)合算;當(dāng)購買鉛筆數(shù)是34枝時(shí),兩種優(yōu)惠辦法支付的總錢數(shù)是相同的,即一樣合算.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】有甲,乙兩家健身中心,兩家設(shè)備和服務(wù)都相當(dāng),但收費(fèi)方式不同.甲中心每小時(shí)5元;乙中心按月計(jì)費(fèi),一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))90元,超過30小時(shí)的部分每小時(shí)2元.某人